герб

ГОСТы

флаг

Справочник Раздел 3 Таблицы для проектирования мостов. Раздел 3. Данные к статическому расчету мостовых конструкций

А.М. ОСТРОВИДОВ, И.А. КУЗНЕЦОВ

ТАБЛИЦЫ
ДЛЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МОСТОВ

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
АВТОТРАНСПОРТНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1959

Содержание

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

§ 30. Площади F, периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

§ 32. Неразрезные многопролетные балки

§ 33. Деформации балок

§ 34. Формулы интегрирования типовых эпюр

Глава 11

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ

§ 35. Рамы однопролетные, двухпролетные и трехпролетные

Глава 12

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА АРОК

§ 36. Очертание осей арок

§ 37. Изменение сечений арок

§ 38. Определение усилий в бесшарнирных арках

§ 39. Определение усилий в двухшарнирных арках

§ 40. Определение усилий в трехшарнирных арках

Глава 13

БОКОВОЕ ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА ПОДПОРНЫЕ СТЕНКИ

§ 41. Общие данные

§ 42. Основные случаи загружения подпорной стенки

§ 43. Давление земли от временной нагрузки

§ 44. Определение давлений грунта по таблицам С.В. Зелепугина

В справочнике приводятся основные данные для проектирования мостов и труб: таблицы по расчету отверстий, основные сведения о главнейших строительных материалах, таблицы для статического расчета конструкций, а также нормативные материалы по габаритам, расчетным нагрузкам, допускаемым напряжениям и пр.

Справочник рассчитан на инженеров, студентов вузов и техников, проектирующих мосты.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДАННЫЕ К СТАТИЧЕСКОМУ РАСЧЕТУ МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Глава 8

ГЕОМЕТРИЯ ФИГУР И ТЕЛ

§ 28. Геометрические характеристики плоских фигур. Объемы и поверхности геометрических тел

Таблица 133

Геометрические характеристики плоских фигур
В нижеследующих формулах F - площадь фигуры

Фигура

Общие формулы

Прямоугольный треугольник

m и n - отрезки на гипотенузе, отсекаемые перпендикуляром p

a 2 + b2 = c2; c = m+ n;
a = csinA = btgA; b = ccosA;

Косоугольный треугольник

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга;

2 S - периметр;

ha , hb и hc - высоты;

ma , mb и mc - медианы




Правильный равносторонний треугольник

a - сторона;

h - высота;

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга


Четырехугольник

Общий случай

D 1 и D 2 - диагонали;

φ - угол между ними;

 - полупериметр;

m - линия, соединяющая середины диагоналей


Если четырехугольник вписан в круг, то

 и ac + bd = D 1 D 2 .

Радиус описанного круга:

Параллелограмм



Прямоугольник

R - радиус описанного круга;

r - радиус вписанного круга

Для квадрата:


Трапеция



Несимметричная трапеция с двумя прямыми углами


Симметричная трапеция

Четырехугольник с одним пряным углом



Произвольный четырехугольник






Правильный шестиугольник


Скрещенный четырехугольник


Круг

β - центральный угол в радианах;

β ° - центральный угол в градусах;

a - окружность





 где k -   длина хода половинной дуги

Круговой сегмент

Приблизительно для пологих сегментов:



Круговой сектор

Другие элементы дуги круга


Координаты конца дуги:


Радиус дуги:

где S – длина дуги;
β – центральный угол в радианах

Отрезок кольца


Эллипс

a и b - полуоси

F = πab

Длина эллипса:

u ≈ 2 a ψ .

Значения коэффициента ψ приведены в следующей таблице:

Таблица

ψ

ψ

ψ

0,10

2,032

0,48

2,398

0,75

2,763

0,20

2,102

0,50

2,423

0,76

2,778

0,22

2,120

0,52

2,448

0,78

2,807

0,24

2,138

0,54

2,474

0,80

2,836

0,25

2,147

0,55

2,487

0,82

2,865

0,26

2,156

0,56

2,500

0,84

2,895

0,28

2,175

0,58

2,527

0,85

2,910

0,30

2,145

0,60

2,553

0,86

2,926

0,32

2,215

0,62

2,580

0,88

2,956

0,34

2,230

0,64

2,607

0,90

2,986

0,35

2,247

0,65

2,621

0,92

3,017

0,36

2,258

0,66

2,635

0,94

3,048

0,38

2,280

0,68

2,663

0,95

3,063

0,40

2,302

0,70

2,691

0,96

3,079

0,42

2,325

0,72

2,719

0,98

3,110

0,44

2,349

0,74

2,748

0,45

2,361

0,46

2,373

Парабола

Уравнение, отнесенное к хорде:

Тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси;

Значения ординаты параболы и tg φ приведены в следующей таблице.

Таблица

№ точек

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Множитель

Абсцисса x

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

l

Ордината y

0,00

0,19

0,36

0,51

0,64

0,75

0,84

0,91

0,96

0,99

1,00

f

tg φ

4,0

3,6

3,2

2,8

2,4

2,0

1,6

1.2

0,8

0,4

0,0

f / l

при x = 0

при x = 0,25 l

Длина всей дуги параболы от x = 0 до x = l

При f < 0,4 l

Площадь, ограниченная параболой:

Площади, расположенные под данной кривой (приближенные вычислении)

а) Элементарная формула Симпсона.

Если y - целая функция x не выше 3-й степени, то искомая площадь равна:

б) Формула трапеций.

Разбивают интервал b - a на большое число ( n ) равных частей.

Тогда площадь:

в) Правило Симпсона (параболическая формула).

Делят абсциссу в интервале от a до b на четное число (2 n ) равных частей и вычисляют ординаты y 0 , y ` , y 2 ,…, y 2 n .

Тогда площадь:

Прямая и наклонная призмы

а) Для прямой призмы:

M = Uh ,

где U - периметр основании;

Q = Uh + 2F ;

V = Fh .

б) Для наклонной призмы с параллельными основаниями:

V = Nl ,

где N - площадь нормального к ребрам сечения;

l - длина ребра

Усеченная трехгранная призма

где F - площадь нормального к ребрам сечения

Цилиндр (прямой)

M = πdh ;

Наклонный цилиндр (основании параллельны)

V = Nl ,

где N - площадь сечения, нормального к образующей

Усеченный цилиндр


Полый цилиндр (труба)



δ - толщина стенки

Цилиндрическим клин



При 2 φ = π ; хорда 2 a = 2 r ; b = r и M = 2 rh ;

При 2 φ = 2 π ; хорда 2 a = 0; b = 2 r и M = π rh ;

Цилиндрический круговой с под


Призмойд (тело, ограниченное двумя параллельными основаниями и произвольным числом плоских боковых граней)

Плоскость f параллельна плоскости F , Fm - площадь среднего сечения.

По формуле Симпсона

Обелиск (с прямоугольными основаниями)

Клин (с прямоугольным основанием)

Пирамида

M равна сумме площадей ограничивающих треугольников

Усеченная пирамида

Круглый конус (прямой)


M = πrS;

Усеченный круговой конус


M = π(R + r)S;

Эллиптический конус

где a и b - полуоси эллипса основании

Усеченный эллиптический конус

где A и B - полуоси эллипса нижнего основания;

a и b - полуоси эллипса верхнего основания

Шар


Пустотелый шар

При очень тонкой стенке, толщиной δ, объем можно определять приближенно по формуле:

V ≈ 4π Rm 2 δ ,

где Rm - средний радиус

Шаровой сегмент

a 2 = h(2R - h);

Шаровой сектор

Q = πR(2h + a)

Шаровой слой (шаровой пояс)

Q = 2 πRh

Эллипсоид

a , b , c , - полуоси

Эллипсоид вращения ( c = b и 2 a - ось вращения):

Параболоид вращения

Параболоид, усеченный двумя параллельными основаниями, перпендикулярными к оси

Земляные подходы к мосту1

Для приближенного подсчета объемов работ по подходам можно пользоваться следующими формулами.

Обозначения:

L - длина земляной призмы;

H - высота насыпи в месте сопряжения с мостом;

i 1 - уклон дороги в пределах въезда;

i 2 - средний уклон естественной поверхности грунта;

B - ширина насыпи поверху;

m - отношение заложения откоса насыпи к высоте.

Объем земляной призмы:

при полуторных откосах ( m = 1,5):

Объем конуса (на всю ширину насыпи), не учитывая влияния уклона естественной поверхности земли:

Площадь поверхности конуса:

Площадь поверхности двух откосов:

Длина откоса:

1 Е.Е. Гибшман, А.А. Герцоги А.Ф. Скрипко. Материалы для вариантного проектирования автодорожных мостов Гострансиздат, 1936.

Глава 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

§ 29. Простые геометрические фигуры

Таблица 135

Моменты инерции, радиусы инерции, моменты сопротивления и площади некоторых плоских фигур

Наименование

Форма сечения

Площадь сечении F

Расстояние от центральной оси до крайнего волокна y

Момент инерции I

Момент сопротивления W

Радиус инерции

Прямоугольник

bh

bh

bh

Прямоугольники

с вырезом

bh - b1h1

Два прямоугольника

b (hh1)

С вырезом

a 2b2

Параллелограмм

bh

Треугольник

Трапеция

Прямоугольник с трапецией

ad – (a - b)h

Устой с обратными стенками

Ix = I1 – Fy2

Тавр

d 0 h + bd

y 2 = hy1

-

-

Бык с симметричными закруглениями

bd + πR 2

Круг и его части

Круг

Полукруг

Полукруг

x = 0,2122 d

Круговой сектор

Квадрант

Wx = 0,096 R 3

Кольцо

Полукольцо

Круговой треугольник

y 1 = 0,7766R ;

y 2 = 0,2234R

Ix = 0,0075R 4 ;

I 1 = 0,137R 4

Wx = 0,00966R 3

rx = 0,18693R

Круг без двух сегментов

Круг без четырех сегментов (с обзолами)

F 1 , F 2 , F 3 , F 4 - площади обзолов

Сегмент

до центра тяжести

шестиугольник

x = R

Восьмиугольник

a = 0,7653R ;

h = 2,414a

Wx = 0,6906R3 = 1095h3;

W 1 = 0,6381R3 = 0,1012h3

rx = 0,475R = 0,257h

Правильный многоугольник

Число сторон - n ;

α = 180°:n;

r = R cosα

Эллипс и его части

Эллипс

F = πab

Wx = 0,7854b2a;

Wx = 0,7854a2b

Эллиптическое кольцо

F = π(ab - a0b0)

Половина эллипса

Четверть эллипса

Эллиптический треугольник

Wx = 0,00966ba3

rx = 0,18693a

Параболы

Парабола x 2 = 2 py

-

-

Парабола y 2 = 2 px

b

Для половины параболы

От оси 1 – 1

-

-

Треугольник параболы y 2 = 2 px

-

-

Парабола xn = py

Парабола yn = px

b

Половина параболы

Треугольник параболы yn = px

Разные фигуры

F = BH + bh

F = HB - hb

F = Ha + bd =

= BH - b(y2 +h)

где :

( b = B - a )

y 2 = H - y1

F = Ha + b1d1 + B1d, где :

( b 1 = b - a )

( B 1 = B - a )

y 2 = H - y1


§ 30. Площади F , периметры S и моменты сопротивления Wx и Wy некоторых поперечных сечений мостовых опор

Симметричное поперечное сечение с закругленными гранями (рис. 26 ):

Рис. 26. Сечение опоры с закругленными гранями

Значения коэффициентов Kf , Ks , K x и K y даны в табл. 136 .

Таблица 136

Значения коэффициентов Kf , Ks , K x ,, K y (см. рис. 26 )

n

Kf

Ks

K x

K y

1,0

1,7854

5,1416

0,2648

0,4954

2,0

2,7854

7,1416

0,4315

1,2230

3,0

3,7854

9,1416

0,5982

2,2831

4,0

4,7854

11,1416

0,7648

3,6763

5,0

5,7854

13,1416

0,9315

5,4027

6,0

6,7854

15,1416

1,0982

7,4623

Симметричное поперечное сечение со срезанными углами (рис. 27 ):

Рис. 27. Сечение опоры прямоугольной формы со скошенными углами

F = ac – 2e2;

S = 2(c + a - 1,17e)

Симметричное поперечное сечение с закругленными углами (рис. 28 ):

Рис. 28. Сечение опоры прямоугольной формы с закругленными углами

Значения коэффициентов Kf , K x , K y даны в табл. 138 .

Симметричное поперечное сечение с заостренными гранями (рис. 29 ).

Рис. 29. Сечение опоры с заостренными передними гранями

e = 1,1547r;

p = 0,866(a - e);

z = a - 1,732e;

F = [n + 0,866(1 - m2) - 0,006 - 0,161m2]a2 = KFa2.

Длина периметра с учетом выкружек:

S = (2п + 3,975 - 2,373т)а;

Wx = [0,1667n + 0,0722(1 - m4)]a3 = Kxa3;

Коэффициенты Kf, Kx, и Ky даны в табл. 139 .

Поперечное сечение быка с ледорезом (рис. 30 ):

Рис. 30. Сечение опоры с ледорезом

α = 30°;

β = 60°;

e = 2rtg30° = 1,155r.

Площадь сечения с учетом выкружек:

F = a2(n + 0,823 - 0,514m2) = KFa2;

S = a (2n + 3,558 - 1,185m) = KSa.

Значения W даются для контура 1- 2- 3- 4-5- 6- 7.

Центр тяжести сечения принят в точке О, неточность в определении Wy при этом не превышает 5%.

Wx = a3(0,167n + 0,885 - 0,036m4) = Kxa3;

Формулы для Wy (лед) и Wy (норм) .

Рис. 31. Приближенные радиусы инерции составных сечений

Коэффициенты Kf, Kx, и KS даны в табл. 140, а коэффициенты Ky (лед) и Ky (норм) в табл. 137 .

Таблица 137

Значения коэффициентов Ky (ледор.) и Ky (норм) к рис. 30

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

Ky (лед)

Ky (норм)

0

0,4222

1,0650

2,0330

3,3305

4,9591

6,9196

0,5767

1,3248

2,4051

3,8181

5,5642

7,6432

0,1

0,4472

1,1105

2,1014

3,4231

5,0765

7,0624

0,5721

1,3173

2,3950

3,8056

5,5490

7,6261

0,2

0,4689

1,1484

2,1581

3,4997

5,1739

7,1809

0,5594

1,2960

2,3661

3,7696

5,5064

7,5764

0,3

0,4881

1,1794

2,2038

3,5613

5,2521

7,2760

0,5399

1,2629

2,3208

3,7126

5,4380

7,4968

0,4

0,5055

1,2043

2,2393

3,6091

5,3119

7,3486

0,5154

1,2200

2,2612

3,6374

5,3466

7,3898

0,5

0,5221

1,2240

2,2655

3,6426

5,541

7,3995

0,4871

1,1694

2,1896

3,5450

5,2346

7,2579

0,6

0,5396

1,2399

2,2837

3,6644

5,3800

7,4298

0,4567

1,1130

2,1086

3,4393

5,1046

7,1038


Таблица 138

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 28 )

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

Ky

0

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

6,0000

0,1667

0,3333

0,5000

0,6667

0,8333

1,0000

0,1667

0,6667

1,5000

2,6667

4,1667

6,0000

0,1

0,9914

1,9914

2,9914

3,9914

4,9914

5,9914

0,1628

0,3294

0,4961

0,6628

0,8294

0,9961

0,1628

0,6585

1,4875

2,6499

4,1456

5,9746

0,2

0,9657

1,9657

2,9657

3,9657

4,9657

5,9657

0,1524

0,3190

0,4857

0,6524

0,8190

0,9857

0,1524

0,6353

1,4515

2,6010

4,0849

5,9000

0,3

0,9227

1,9227

2,9227

3,9227

4,9227

5,9227

0,1372

0,3038

0,4705

0,6372

0,8038

0,9705

0,1372

0,5992

1,3941

2,5222

3,9337

5,7784

0,4

0,8627

1,8627

2,8627

3,8627

4,8627

5,8627

0,1188

0,2854

0,4521

0,6188

0,7854

0,9521

0,1188

0,5520

1,3173

2,4156

3,8471

5,6119

Таблица 139

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 29 )

Значения m

Значения n

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

Ky

0

1,8599

2,8599

3,8599

4,8599

5,8599

6,8599

0,2389

0,4055

0,5722

0,7389

0,9055

1,0722

0,4819

1,1478

2,1381

3,4575

5,1079

7,0904

0,1

1,8495

2,8495

3,8495

4,8495

5,8495

6,8495

0,2389

0,4055

0,5722

0,7389

0,9055

1,0722

0,5030

1,1877

2,1991

3,5407

5,2140

7,2197

0,2

1,8188

2,8188

3,8188

4,8188

5,8188

6,8188

0,2388

0,4054

0,5721

0,7388

0,9054

1,0721

0,5064

1,2025

2,2269

3,5826

5,2704

7,2910

0,3

1,7675

2,7675

3,7675

4,7675

5,7675

6,7675

0,2383

0,4049

0,5716

0,7383

0,9049

1,0716

0,4946

1,1941

2,2236

3,5851

5,2792

7,3062

0,4

1,6955

2,6955

3,6955

4,6955

5,6955

6,6955

0,2371

0,4037

0,5704

0,7371

0,9037

1,0704

0,4696

1,1650

2,1915

3,5505

5,2425

7,2676

0,5

1,6031

2,6031

3,6031

4,6031

5,6031

6,6031

0,2344

0,4010

0,5677

0,7344

0,9010

1,0677

0,4338

1,1170

2,1323

3,4806

5,1620

7,1767

0,6

1,4901

2,4901

3,4901

4,4901

5,4901

6,4901

0,2295

0,3961

0,6628

0,7295

0,8961

1,0628

0,3892

1,0523

2,0482

3,3772

5,0395

7,0351

Таблица 140

Значения коэффициентов Kf, Kx, и Ky (см. рис. 30 )

Значения m

Значения n

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

KF

Kx

KS

0

0,8226

1,8226

2,8226

3,8226

4,8226

5,8226

6,8226

0,0852

0,2519

0,4186

0,5853

0,7520

0,9187

1,0854

3,5580

5,5580

7,5580

9,5580

11,5580

13,5580

15,5580

0,1

0,8175

1,8175

2,8175

3,8175

4,8175

5,8175

6,8175

0,0852

0,2519

0,4185

0,5853

0,7520

0,9187

1,0854

3,4395

5,4395

7,4395

9,4395

11,4395

13,4395

15,4395

0,2

0,8021

1,8021

2,8021

3,8021

4,8021

5,8021

6,8021

0,0851

0,2518

0,4185

0,5852

0,7519

0,9186

1,0853

3,3210

5,3210

7,3210

9,3210

11,3210

13,3210

15,3210

0,3

0,7764

1,7764

2,7764

3,7764

4,7764

5,7764

6,7764

0,0849

0,2516

0,4183

0,5850

0,7517

0,9184

1,0851

3,2025

5,2025

7,2025

9,2025

11,2025

13,2025

15,2025

0,4

0,7404

1,7404

2,7404

3,7404

4,7404

5,7404

6,7404

0,0843

0,2510

0,4177

0,5344

0,7511

0,9178

1,0845

3,0840

5,0840

7,0840

9,0840

11,0840

13,0340

15,0840

0,5

0,6942

1,6942

2,6942

3,6942

4,6942

5,6942

6,6942

0,0829

0,2496

0,4163

0,5830

0,7497

0,9164

1,0831

2,9655

4,9655

6,9655

8,9655

10,9655

12,9655

14,9655

0,6

0,6377

1,6377

2,6377

3,6377

4,6377

5,6377

6,6377

0,0805

0,2472

0,4139

0,5806

0,7473

0,9140

1,0807

2,8470

4,8470

6,8470

8,8470

10,8470

12,8470

14,8470

Глава 10

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК

§ 31. Балки однопролетные и консольные

Таблица 141

Формулы для расчета простых балок

Схема нагрузки; эпюры M , Q и линия прогибов

Опорные реакции А и В

A = P; B = P

Поперечная сила в сечении x , Qx

Моменты в сечении x , Mx

Максимальный момент M max и расстояние x 0

M max = Pa

x 0 = от a до (l - a)

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место y max


при x 2 = ~0,54 l

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M , Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = qa; B = qa

Поперечная сила в сечении х , Qx

Моменты в сечении x , Mx

Максимальный момент M max и расстояние x 0

x 0 = от c до d

Уравнение упругой линии

-

Наибольший прогиб и его место y max

-

Углы поворота φ

-

Схема нагрузки; эпюры M , Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

Поперечная сила в сечении x , Qx

Моменты в сечении x , Mx

Максимальный момент M max и расстояние x 0

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место y max

при x = 0,5193 l

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M , Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

Поперечная сила в сечении x , Qx

Моменты в сечении x , Mx

Максимальный номент M max и расстояние x 0

x 0 = 0

x 0 = l

x 0 = 0

x0 = 0

Уравнение упругой линии

-

Наибольший прогиб и его место y max

-

Углы поворота φ

Схема нагрузки; эпюры M , Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = 0

A = P

A = ql

A = P

A = P

Поперечная сила в сечении x , Qx

Qx = 0

Qx = P

Моменты в сечении x , Mx

Mx = M0

Минимальный момент M min и расстояние x 0

M max = M0;

x0 = от 0 до l

M min = -Pl;

x 0 = 0

x 0 = 0

x 0 = 0

x0 = 0

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место y max

при x = l

при x = l

при x = l

при x = l

при x = l

Углы поворота φ

φ 1 = 0;

φ 1 = 0;

φ 1 = 0;

φ 1 = 0;

φ 1 = 0;

Схема нагрузки; эпюры M , Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

A = P

A = qb

A = qa

A = B = P

Поперечная сила в сечении x , Qx

Q 1 = P;

Q 1 = qb;

Q 2 = q(l - x2)

Q 1 = q(a - x);

Q 2 = 0

Qc = -P;

Qc = P

Qc = -qxc;

Qa = A - qx

Моменты в сечении x , Mx

Минимальный момент M min и расстояние x 0

при x 1 = 0

при x 1 = 0

при x1 = 0

На участке AB

Уравнение упругой линии

Наибольший прогиб и его место y max

при x2 = l

Прогиб посередине:

В середине:

Углы поворота φ

*

Прогиб на концах:

Упругая линия между A и B представляет дугу круга радиуса ρ

Схема нагрузки; эпюры M , Q и линия прогибов

Опорные реакции A и B

Поперечная сила в сечении x , Qx

Q 1 = -P;

Q 2 = 0

Моменты в сечении x , Mx

На участке AB:

На участке CA:


(на участке AP);


(на участке PB)

Минимальный момент M min и расстояние x 0


(под грузом P)

Уравнение упругой линии

На участке AB:

На консолях :

На участке AB:

На участке AB:

На участке C A:

На участке BD:

На участке AP:

На участке Pb

Наибольший прогиб и его место y max

при x = 0,577 l

Прогиб под грузом P:

Прогиб в любом сечении консоли на расстоянии x1 от A до B

y max в пролете:

прогиб в c:

Максимальный прогиб на расстоянии:

при a > b

при b > a


Таблица 142

Опорные моменты и опорные реакции балки с одним защемленным и другим свободно опертым концом (момент инерции постоянен)

Схема загружения

Опорные реакции

Опорные моменты

B = p - A

B = 2p - A

A = 0,233pl;

B = 0,433pl

Таблиц a 143

Коэффициенты K для определения величин опорных моментов балки MB защемленной одним концом при действии на нее различных видов нагрузок, а также при осадке опор

Формулы момента MB

Схемы нагрузки

Значения коэффициента α

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

Значение коэффициента K

-KPl

0,000

0,0855

0,1440

0,1785

0,1920

0,1875

0,1680

0,1365

0,0960

0,0495

0,000

-KPl

0,000

0,0495

0,0900

0,1355

0,1680

0,1875

0,1920

0,1785

0,1440

0,0855

0,000

-KPl

0,000

0,1350

0,2400

0,3150

0,3600

0,3750

0,3600

0,3150

0,2400

0,1350

0,000

-KPl

0,000

0,0355

0,0480

0,0420

0,0240

0

-0,0240

-0,0420

-0,0480

-0,0355

0,00

+KM

1,000

0,7150

0,4600

0,2350

0,0400

-0,1250

-0,2600

-0,3650

-0,4400

-0,4850

-0,5000

0,000

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

-Kql2

0,000

0,0045

0,0162

0,0325

0,0512

0,0703

0,0882

0,1035

0,1152

0,1225

0,1250

-Kql2

0,000

0,0025

0,0098

0,0215

0,0368

0,0547

0,0738

0,0925

0,1088

0,1205

0,1250

-Kql2

0,000

0,0187

0,0370

0,0546

0,0710

0,0860

0,0990

0,1098

0,1180

0,1232

0,1250

-Kql2

0,000

0,0070

0,0260

0,0540

0,0880

0,1250

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,0020

0,0064

0,0110

0,0144

0,0156

0,0144

0,0110

0,0064

0,0020

0,000

-Kql2

0,000

0,0030

0,0105

0,0207

0,0319

0,0427

0,0520

0,05 8 7

0,0623

0,0623

0,0584

-Kql2

0,000

0,0017

0,0065

0,0142

0,0241

0,0354

0,0471

0,0577

0,0657

0,0694

0,0567

-Kql2

0,000

0,0045

0,0170

0,0349

0,0560

0,0781

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,0016

0,0057,

0,0118

0,0193

0,0276

0,0363

0,0448

0,0529

0,0603

0,0657

-Kql2

0,000

0,0009

0,0033

0,0073

0,0127

0,0193

0,0253

0,0349

0,0431

0,0511

0,0584

-Kql2

0,000

0,0024

0,0090

0,0191

0,0320

0,0469

-

-

-

-

-

-Kql2

0,000

0,1226

0,1160

0,1059

0,0930

0,0781

-

-

-

-

-

-Kq 0 l 2

0,0307

0,0725

0,0748

0,0842

0,0900

0,0959

0,1017

0,1075

0,1134

0,1192

0,1250

Таблица 144

Опорные моменты и опорные реакции балки, защемленной двумя концами (момент инерции постоянен)

Схема загружения

Опорные реакции

Опорные моменты

B = qb - A

A = B = P

A = B = P

MA = MB = -0,222Pl

A = B = 1,5P

MA = MB = -0,313Pl

A = B = 2P

MA = MB = -0,4Pl

MA = 0;

MB = +M


Таблица 145

Коэффициенты KA и KB для определения величин опорных моментов балки, защемленной двумя концами

Формулы моментов

Схемы нагрузки

Значение коэффициента α

0,0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,0

MA

MB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

KA

KB

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0810

0,0090

0,1280

0,0320

0,1470

0,0630

0,1440

0,0960

0,1250

0,1250

0,0960

0,1440

0,0630

0,1470

0,0320

0,1280

0,0090

0,0810

0

0

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0090

0,0090

0,1600

0,1600

0,2100

0,2100

0,2400

0,2400

0,2500

0,2500

-

-

-

-

-

-

-

-

0

0

-KAPl

-KBPl

0

0

0,0711

-0,0711

0,0960

-0,0960

0,0840

-0,0840

0,0480

-0,0480

0

0

-0,0480

0,0480

-0,0840

0,0840

-0,0960

-0,0960

-0,0711

0,0711

0

0

-MKA

-M KB

1,000

0

0,6293

0,1700

0,3200

0,2800

0,0700

0,3300

-0,1200

0,3200

-0,2500

0,2500

-0,3200

0,1200

-0,3300

-0,0700

-0,2800

-0,3200

-0,1700

-0,6293

0

1,000

0

0

0,10

-0,10

0,20

-0,20

0,30

-0,30

0,40

-0,40

0,50

-0,50

0,60

-0,60

0,70

-0,70

0,80

-0,80

0,90

-0,90

1,00

-1,00

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0043

0,0003

0,0151

0,0023

0,0290

0,0070

0,0437

0,0149

0,0573

0,0261

0,0684

0,0396

0,0763

0,0543

0,0811

0,0683

0,0830

0,0790

0,0833

0,0833

-KAql2

-KB

0

0

0,0125

0,0125

0,0247

0,0247

0,0364

0,0364

0,0473

0,0473

0,0573

0,0573

0,0660

0,0660

0,0732

0,0732

0,0787

0,0787

0,0821

0,0821

0,0833

0,0833

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0047

0,0047

0,0173

0,0173

0,0360

0,0360

0,0587

0,0587

0,0833

0,0833

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0040

-0,0040

0,0128

-0,0128

0,0220

-0,0220

0,0288

-0,0288

0,0312

-0,0312

0,0288

-0,0288

0,0220

-0,0220

0,0128

-0,0128

0,0040

-0,0040

0

0

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0029

0,0002

0,0097

0,0017

0,0181

0,0051

0,0265

0,0109

0,0333

0,0187

0,0379

0,0281

0,0398

0,0377

0,0393

0,0461

0,0367

0,0510

0,0334

0,0500

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0030

0,0030

0,0133

0,0133

0,0232

0,0232

0,0373

0,0373

0,0521

0,0521

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0015

0,0001

0,0054

0,0006

0,0109

0,0019

0,0173

0,0041

0,0240

0,0073

0,0305

0,0115

0,0365

0,0166

0,0418

0,0222

0,0463

0,0280

0,0500

0,0334

-KAql2

-KBql2

0

0

0,0016

0,0016

0,0060

0,0060

0,0127

0,0127

0,0213

0,0213

0,0312

0,0312

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAql2

-KBql2

0,0833

0,0833

0,0817

0,0817

0,0773

0,0773

0,0706

0,0706

0,0620

0,0620

0,0521

0,0521

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-KAqal2

-KBqal2

0,0500

0,0334

0,0533

0,0383

0,0567

0,0433

0,0600

0,0484

0,0633

0,0533

0,0667

0,0583

0,0700

0,0634

0,0733

0,0683

0,0767

0,0733

0,0600

0,0784

0,0833

0,0833


§ 32. Неразрезные многопролетные балки

Общие замечания

Для расчета многопролетных неразрезных балок с равными пролетами приведены таблицы 146 - 160 .

В таблицах 146 - 151 для двух- и трехпролетных балок с равными пролетами и постоянным моментом инерции приведены ординаты линий влияния моментов и опорных реакции, а также площади линии влияния моментов и поперечных сил. Ординаты линий влияния для поперечных сил приведены на рисунках 33, 34 и 36.

Очертания остальных линий влияния и обозначения даны на рисунках 32 и 35.

Рис 32. Линии влияния усилий в двухпролетной балке

Рис. 33. Ординаты линий влияния поперечных сил в двухпролетной балке (штриховкой показана линия влияния Q4)

Рис. 34. Ординаты линий влияния поперечных сил в первом пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q5)

Рис. 35. Линии влияния усилий в трехпролетной балке

Рис . 36. Ординаты линий влияния поперечных сил для сечений в среднем пролете трехпролетной балки (штриховкой показана линия влияния Q 15 )

В таблицах 152 - 153 для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами и постоянными моментами инерции приведены ординаты и площади линий влияния моментов поперечных сил и опорных реакций (рисунки 37 - 38).

Рис. 37. Линии влияния моментов в четырехпролетной балке

Рис. 38. Ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил в четырехпролетной балке

Таблицы 146 - 153 могут применяться и в том случае, когда пролеты неразрезной балки l 1 , l2, ... l n неравны между собой, но жесткость балки в пролетах меняется пропорционально их пролетам, т.е. если имеет место отношение  В этом случае следует величине l, являющейся табличным множителем, придавать значения, соответствующие величинам пролетов, на которых расположены ординаты линий влияния M или площади влияния M и Q .

В табл. 155 даются коэффициенты для вычисления фокусных расстоянии в неразрезных балках с постоянным моментом инерции при некоторых соотношениях в длинах пролетов.

В таблицах 156 - 157 для неразрезных балок с постоянными моментами инерции приведены формулы для определения усилии в балках, вызываемых осадками опор.

Для приближенного определения расчетных моментов и опорных реакции в двух- и трехпролетных балках с учетом влияния переменности моментов инерции по длине пролета (наличие прямолинейных или параболических вут) могут быть использованы таблицы 158 - 160 .

Моменты для балок с 5 и более пролетами, особенно от подвижной нагрузки, сравнительно мало отличаются от моментов для балки с 4 пролетами. Поэтому на практике при расчете многопролетных балок обычно ограничиваются рассмотрением четырехпролетной балки.

Необходимо помнить, что величина площади и ординаты линии влияния определяются по таблицам путем умножения табличных коэффициентов на множители:

l2 - для площадей линий влияния M ,

l -      »          »               »            »        Q,

l -      »       ординат линий влияния М ,

где l - длина пролета.

Таблица 146

Ординаты линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 32 )

№ ординаты (положение груза P -1)

Ординаты линий влияния y

моментов в сечениях

опорных реакции

х = 0,2 l

х = 0,4 l

х = 0,5 l

х = 0,6 l

х = 0,8 l

х = 0,9 l

х = 1,0 l

крайней

средней

M 2

M 4

M 5

M 6

M 8

M 9

M 10

A

B

0

0

0

0

0

0

0

0

1,0000

0

1

0,0751

0,0501

0,0376

0,0252

0,0002

-0,0123

-0,0248

0,8753

0,1495

2

0,1504

0,1008

0,0760

0,0512

0,0016

-0,0232

-0,0480

0,7520

0,2960

3

0,1264

0,1527

0,1159

0,0791

0,0054

-0,0311

-0,0683

0,6318

0,4365

4

0,1032

0,2064

0,1580

0,1096

0,0128

-0,0356

-0,0840

0,5160

0,5680

5

0,0813

0,1625

0,2031

0,1438

0,0250

-0,0344

-0,0938

0,4063

0,6875

6

0,0608

0,1216

0,1520

0,1824

0,0432

-0,0264

-0,0960

0,3040

0,7920

7

0,0422

0,0843

0,1054

0,1265

0,0686

-0,0103

-0,0893

0,2108

0,8785

8

0,0256

0,0512

0,0640

0,0768

0,1024

0,0152

-0,0720

0,1280

0,9440

9

0,0115

0,0229

0,0286

0,0344

0,0458

0,0515

-0,0428

0,0573

0,9855

10

0

0

0

0

0

0

0

0

1,000

11

-0,0086

-0,0171

-0,0214

-0,0257

-0,0342

-0,0385

-0,0428

-0,0428

0,9855

12

-0,0114

-0,0288

-0,0360

-0,0432

-0,0576

-0,0648

-0,0720

-0,0720

0,9440

13

-0,0179

-0,0357

-0,0416

-0,0536

-0,0714

-0,0803

-0,0893

-0,0893

0,8785

14

-0,0192

-0,0384

-0,0480

-0,0576

-0,0768

-0,0864

-0,0960

-0,0960

0,7920

15

-0,0188

-0,0375

-0,0469

-0,0563

-0,0750

-0,0844

-0,0938

-0,0938

0,6875

16

-0,0168

-0,0336

-0,0420

-0,0501

-0,0672

-0,0756

-0,0840

-0,0840

0,5680

17

-0,0137

-0,0273

-0,0341

-0,0410

-0,0546

-0,0611

-0,0683

-0,0683

0,4365

18

-0,0096

-0,0192

-0,0240

-0,0288

-0,0384

-0,0432

-0,0480

-0,0480

0,2950

19

-0,0050

-0,0099

-0,0124

-0,0149

-0,0198

-0,0223

-0,0248

-0,0248

0,1495

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Множитель

l

1,00

Таблица 147

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см рис. 32 )

ω

Плошали линии слиянии

моментов в сечениях

опорых реакций

х = 0,2 l

х = 0,4 l

х = 0,5 l

х = 0,6 l

х = 0,8 l

х = 0,9 l

х = 1,0 l

крайней

средней

M 2

M 4

M 5

M 6

M 8

M 9

M 10

A

B

ω 1

+0,0675

+0,0950

+0,09375

+0,08250

+0,0300

-0,0175

+0,00611

-0,0625

+0,4375

-

ω 2

-0,0125

-0,0250

-0,03125

-0,03750

-0,0500

-0,05611

-0,0625

-0,0625

-

ω 3

-

-

-

-

-

-

-

-

+1,25

ω

+0,055

+0,0700

+0,0625

+0,0450

-0,0200

-0,0675

-0,1250

+0,375

+1,25

Множитель

l 2

l

Таблица 148

Площади линий влияния поперечных сил (см. рис. 33 ) для двухпролетной неразрезной балки с равными пролетами

ω

Плошали линий влияния для поперечных сил в сечениях

х = 0

х = 0,2 l

х = 0,4 l

х = 0,5 l

х = 0,6 l

х = 0,8 l

х = 0,9 l

х = 1,0 l

Множитель

Q 0

Q 2

Q 1

Q 5

Q 6

Q 8

Q 9

Q 10(лев)

-ω1

0

-0,0249

-0,0984

-0,1523

-0,2169

-0,3744

-0,4652

-0,5625

l

+ ω 1

+0,4375

+0,2624

+0,1359

+0,0898

+0,0544

+0,0119

+0,0027

0

-ω2

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

-0,0625

ω

+0,375

+0,175

-0,025

-0,125

-0,225

-0,425

-0,525

-0,625

Таблица 149

Ординаты линий слияния моментов и опорных реакций для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 35)

№ ординаты

Ординаты линий влияния y

моментов в сечениях

опорных реакций

х = 0,2 l

х = 0,4 l

х = 0,6 l

х = 0,8 l

х = 0,9 l

х = 1,0 l

х = 1,1 l

х = 1,2 l

х = 1,5 l

крайней

средней

M 2

M 4

M 6

M 8

M 9

M 10

M 11

M 12

M 15

A

B

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1,0000

0

1

0,0747

0,0494

0,0242

-0,0011

-0,0138

-0,0264

-0,0231

-0,0198

-0,0099

0,8736

0,1594

2

0,1498

0,0995

0,0493

-0,0010

-0,0261

-0,0512

-0,0448

-0,0384

-0,0192

0,7488

0,3152

3

0,1254

0,1509

0,0763

+0,0018

-0,0355

-0,0728

-0,0637

-0,0546

-0,0273

0,6272

0,4638

4

0,1021

0,2042

0,1062

0,0083

-0,0406

-0,0896

-0,0784

-0,0672

-0,0336

0,5104

0,6016

5

0,0800

0,1600

0,1400

0,0200

-0,0400

-0,1000

-0,0875

-0,0750

-0,0375

0,4000

0,7250

6

0,0595

0,1190

0,1786

0,0381

-0,0322

-0,1024

-0,0896

-0,0768

-0,0384

0,2976

0,8364

7

0,0410

0,0819

0,1229

0,0638

-0,0157

-0,0952

-0,0833

-0,0714

-0,0357

0,2048

0,9142

8

0,0246

0,0493

0,0739

0,0986

+0,0109

-0,0768

-0,0672

-0,0576

-0,0288

0,1232

0,9728

9

0,0109

0,0218

0,0326

0,0435

0,0490

-0,0456

-0,0399

-0,0342

-0,0171

0,0544

1,0026

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1,000

11

-0,0078

-0,0156

-0,0234

-0,0312

-0,0351

-0,0390

+0,0534

0,0458

0,0230

-0,0390

0,9630

12

-0,0128

-0,0256

-0,0384

-0,0512

-0,0576

-0,0640

+0,0192

0,1024

0,0520

-0,0640

0,8960

13

-0,0154

-0,0308

-0,0462

-0,0616

-0,0693

-0,0770

-0,0042

0,0686

0,0870

-0,0770

0,8050

14

-0,0160

-0,0320

-0,0480

-0,0640

-0,0720

-0,0800

-0,0184

0,0432

0,1280

-0,0800

0,6960

15

-0,0150

-0,0300

-0,0450

-0,0600

-0,0675

-0,0750

-0,0250

0,0250

0,1750

-0,0750

0,5750

16

-0,0128

-0,0256

-0,0384

-0,0512

-0,0576

-0,0640

-0,0256

0,0128

0,1280

-0,0640

0,4480

17

-0,0098

-0,0196

-0,0294

-0,0392

-0,0441

-0,0490

-0,0218

0,0054

0,0870

-0,0490

0,3210

18

-0,0064

-0,0128

-0,0192

-0,0256

-0,0288

-0,0320

-0,0152

0,0016

0,0520

-0,0320

0,2000

19

-0,0030

-0,0060

-0,0090

-0,0120

-0,0135

-0,0150

-0,0074

0,0002

0,0230

-0,0150

0,0910

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

21

0,0023

0,0046

0,0068

0,0091

0,0103

0,0114

0,0057

0

-0,0171

0,0114

-0,0684

22

0,0038

0,0077

0,0115

0,0154

0,0173

0,0192

0,0096

0

-0,0288

0,0192

-0,1152

23

0,0048

0,0095

0,0143

0,0190

0,0214

0,0238

0,0119

0

-0,0357

0,0238

-0,1428

24

0,0051

0,0102

0,0154

0,0205

0,0230

0,0256

0,0128

0

-0,0384

0,0256

-0,1536

25

0,0050

0,0100

0,0150

0,0200

0,0225

0,0250

0,0125

0

-0,0375

0,0250

-0,1500

26

0,0045

0,0090

0,0134

0,0179

0,0202

0,0224

0,0112

0

-0,0336

0,0224

-0,1344

27

0,0036

0,0073

0,0109

0,0146

0,0164

0,0182

0,0091

0

-0,0273

0,0182

-0,1092

28

0,0026

0,0051

0,0077

0,0102

0,0115

0,0128

0,0064

0

-0,0192

0,0128

-0,0768

29

0,0013

0,0026

0,0040

0,0053

0,0059

0,0066

0,0033

о

-0,0099

0,0066

-0,0396

30

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Множитель

l

1,00

Таблица 150

Площади линии влияния моментов и опорная реакция для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетали (рис. 35 )

ω

Площади линий влияния

моментов в сечениях

опорных реакций

х = 0,2 l

х = 0,4 l

х = 0,6 l

х = 0,8 l

х = 0,9 l

х = 1,0 l

х = 1,1 l

х = 1,2 l

х = 1,5 l

крайней

средней

M 2

M 1

M 6

M 8

M 9

M 10

M 11

M 12

M 15

A

B

ω 1

+0,0668

+0,0934

+0,0800

-0,0006

+0,0270

-0,0209

+0,0056

-0,0667

-0,0578

-0,0500

-0,0250

+0,433

-

ω 2

-0,0100

-0,0200

-0,0300

-0,0396

-0,04452

-0,0500

+0,0072

-0,0124

+0,0300

+0,0750

-0,050

-

ω 1-2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+1,200

ω 3

+0,0032

+0,0066

+0,0100

+0,0132

+0,01482

+0,0167

+0,0080

0

-0,0250

+0,017

-0,100

ω

+0,0600

+0,0800

+0,0600

0

-0,0450

-0,100

-0,0550

-0,0200

+0,0250

+0,400

+1,100

Множитель

l 2

l

Таблица 151

Площади линий влияния поперечных сил для трехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рисунки 34 и 36 )

ω

Площади линий влияния Q в сечениях

х = 0

х = 0,2 l

х = 0,4 l

х = 0,5 l

х = 0,6 l

х = 0,8 l

х = 0,9 l

х = l

х = l

х = 1,1 l

х = 1,2 l

х = 1,5 l

Q 0

Q 2

Q 4

Q 5

Q 6

Q 8

Q 9

Q 10(лев)

Q 10(прав)

Q 11

Q 12

Q 15

± ω 1

-0,4333

+0,2585

-0,0252

+0,1329

-0,0996

+0,0875

-0,1542

+0,0527

-0,2194

+0,0113

-0,3780

+0,0026

-0,4691

-0,5657

+0,0833

+0,0833

+0,0833

+0,0833

± ω 2

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

-0,050

+0,500

+0,4037

-0,0037

+0,3158

-0,0158

+0,1146

-0,1146

± ω 3

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

+0,0167

-0,0833

-0,0833

-0,0833

-0,0833

ω

0,400

0,200

0,000

-0,1000

-0,200

-0,400

-0,500

-0,600

+0,500

+0,400

+0,300

0

Множитель

l

Таблица 152

Ординаты линий влияния моментов четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (рис. 37 )

Пролет

№ ординаты

Ординаты линий влияния у моментов в сечениях

x = l

x = 2 l

Множитель

M 1

M 2

M 3

M 4

M 6

M 8

M 9

M 10

M 12

1-й пролет

1

+0,13166

+0,09664

+0,06163

+0,02662

-0,04340

-0,02508

-0,01592

-0,00675

+0,01157

2

+0,09788

+0,19577

+0,12699

+0,05820

-0,07936

-0,04586

-0,02910

-0,01235

+0,02116

3

+0,06659

+0,13319

+0,19978

+0,09970

-0,10045

-0,05803

-0,03683

-0,01563

+0,02679

4

+0,03902

+0,07804

+0,11706

+0,15608

-0,09921

-0,05732

-0,03638

-0,01543

+0,02645

5

+0,01641

+0,03282

+0,04923

+0,06564

-0,06820

-0,03941

-0,02501

-0,01061

+0,01819

6

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2-й пролет

7

-0,00944

-0,01888

-0,02832

-0,03775

-0,05663

+0,06399

+0,04096

+0,01794

-0,02811

l

8

-0,01301

-0,02601

-0,03902

-0,05203

-0,07804

+0,15081

+0,09856

+0,04632

-0,05816

9

-0,01228

-0,02455

-0,03683

-0,04911

-0,07366

+0,09077

+0,17299

+0,08854

-0,08036

10

-0,00882

-0,01764

-0,02646

-0,03527

-0,05291

+0,04762

+0,09788

+0,14815

-0,08466

11

-0,00420

-0,00840

-0,01261

-0,01681

-0,02522

+0,01835

-0,04014

+0,06192

-0,06118

12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3-й пролет

13

+0,00255

+0,00510

+0,00765

+0,01020

+0,01529

-0,01020

-0,02294

-0,03569

-0,06118

l

14

+0,00353

+0,00706

+0,01058

+0,01411

+0,02116

-0,01411

-0,03175

-0,04938

-0,08466

15

+0,00335

+0,00670

+0,01005

+0,01339

+0,02009

-0,01339

-0,03013

-0,04687

-0,08036

16

+0,00242

+0,00485

+0,00727

+0,00969

+0,01454

-0,00969

-0,02181

-0,03393

-0,05816

17

+0,00117

+0,00234

+0,00351

+0,00468

+0,00703

-0,00468

-0,01054

-0,01640

-0,02811

18

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4-й пролет

19

-0,00076

-0,00152

-0,00227

-0,00303

-0,00455

+0,00303

+0,00682

+0,01061

+0,01819

l

20

-0,00110

-0,00220

-0,00331

-0,00441

-0,00661

+0,00441

+0,00992

+0,01543

+0,02645

21

-0,00120

-0,00224

-0,00335

-0,00448

-0,00670

+0,00448

+0,01004

+0,01562

+0,02679

22

-0,00088

-0,00176

-0,00265

-0,00353

-0,00529

+0,00353

+0,00794

+0,01234

+0,02116

23

-0,00048

-0,00097

-0,00145

-0,00193

-0,00289

+0,00193

+0,00434

+0,00675

+0,01157

24

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Таблица 153

Площади линий влияния моментов для четырехпролетной неразрезной балки с равными пролетами (см. рис. 37 )

Пролеты

Площади

Площади линий влияния моментов в сечениях

1

2

3

4

6

8

9

10

12

Множители

M 1

M 2

M 3

M 4

M 6

M 8

M 9

M 10

M 12

1

ω 1

+0,05828

+0,08879

+0,09152

+0,06647

-0,06696

-0,03869

-0,02453

-0,01042

+0,01786

l 2

2

ω 2

-0,00819

-0,01637

-0,02455

-0,03274

-0,04911

+0,06052

+0,07366

+0,05903

-0,05357

l 2

3

ω 3

+0,00223

+0,00446

+0,00670

+0,00893

+0,01339

-0,00893

-0,02009

-0,03125

-0,05357

l 2

4

ω 4

-0,00074

-0,00149

-0,00223

-0,00298

-0,00445

+0,00298

+0,00670

+0,01042

+0,01786

l 2

ω

+0,0517

+0,0754

+0,0714

+0,0397

-0,1071

+0,0159

+0,0357

+0,0278

-0,0714

l 2

Таблица 154

Площади линий влияния поперечных сил Q и опорных реакций для четырехпролетной неразрезнои балки с равными пролетами (рис. 38 )

ω

Площади линий влияния Q в сечениях

Площади линий влияния опорных реакций

3

6

9

12

Q 3

Q 6лев

Q 6прав

Q 9

Q 12лев

Q 12прав

A

B

C

ω 1

±

0,088

0,155

-

0,567

0,085

-

0,085

-

0,085

-

-

0,022

0,433

-

0,652

-

-

0,107

ω 2

±

-

0,049

-

0,049

0,496

-

0,112

0,116

-

0,504

0,067

-

-

0,049

0,545

-

0,571

-

ω 3

±

0,013

-

0,013

-

-

0,067

-

0,067

-

0,067

0,504

-

0,013

-

-

0,080

0,571

-

ω 4

±

-

0,004

-

0,004

0,022

-

0,022

-

0,022

-

-

0,085

-

0,004

0,027

-

-

0,107

ω

±

0,101

0,208

0,013

0,620

0,603

0,067

0,219

0,183

0,107

0,571

0,571

0,107

0,446

0,053

1,224

0,080

1,142

0,214

Множитель

l

Таблица 155

Значения коэффициентов фокусных расстояний для двух-, трех- и четырехпролетных балок (рис. 39)

Рис. 39.

Количество пролетов

Коэффициенты фокусных расстояний

Отношение длин пролетов

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

Значения коэффициентов α, β и γ

2

α

0,200

0,192

0,185

0,178

0,172

0,166

0,161

0,157

0,152

0,148

0,144

β

0,200

0,228

0,257

0,286

0,316

0,346

0,377

0,407

0,438

0,469

0,500

3

α

0,210

0,203

0,197

0,191

0,185

0,180

0,175

0,171

0,167

0,163

0,159

β

0,200

0,228

0,257

0,286

0,316

0,346

0,376

0,407

0,438

0,469

0,500

4

α

0,211

0,204

0,197

0,191

0,185

0,180

0,175

0,170

0,165

0,160

0,156

β

0,200

0,228

0,257

0,286

0,316

0,346

0,376

0,407

0,437

0,469

0,500

γ

0,211

0,232

0,254

0,276

0,298

0,319

0,341

0,363

0,385

0,407

0,428

Таблица 156

Опорные моменты неразрезных балок, вызванные осадками опор

Схема балки

Опорный момент

Значение опорных моментов при осадке опоры

Множитель

0

1

2

Двухпролетная с равными пролетами

M 1

-1,500

3,000

-

Трехпролетная с равными пролетами

M 1

-1,600

3,600

-

M 2

0,400

-2,400

-

Трехпролетная с пролетами l + ml + l

M 1

-

M 2

-

Четырехпролетная с равными пролетами

M 1

-1,607

3,643

-2,571

M 2

0,429

-2,571

4,286

M 3

-0,107

0,643

-2,571

Четырехпролетная с пролетами l + ml + ml + l

M 1

M 2

M 3

Таблица 157

Опорные реакции неразрезных балок, вызванные осадками опор

Схема балки

Опорная реакция

Значение опорных реакций при осадке опоры

Множитель

0

1

Двухпролетная с равными пролетами

R 0

R 1

Трехпролетная с равными пролетами 1 = li

R 0

R 1

R 2

R 3

Трехпролетная с неравными пролетами 1 = m / j

R 0

R 1

R 2

R 3

Примечание. Знак + соответствует реакции, направленной вверх.

Таблица 158

Значения коэффициента μ к таблицам 159 и 160 при различных величинах .

I . Прямолинейный вут

II . Параболический вут

λ

Значения коэффициента μ при n равном

1,00

0,60

0,30

0,20

0,15

0,12

0,10

0,08

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,50

I

II

1,000

1,000

0,891

0,907

0,815

0,810

0,768

0,765

0,740

0,736

0,720

0,716

0,703

0,702

0,685

0,685

0,664

0,665

0,652

0,654

0,639

0,641

0,621

0,627

0,600

0,610

0,40

I

II

1,000

1,000

0,899

0,909

0,792

0,815

0,743

0,771

0,712

0,744

0,692

0,724

0,676

0,712

0,659

0,697

0,637

0,677

0,626

0,668

0,613

0,656

0,600

0,642

0,583

0,626

0,35

I

II

1,000

1,000

0,897

0,913

0,791

0,821

0,744

0,781

0,714

0,754

0,693

0,737

0,680

0,724

0,663

0,709

0,644

0,692

0,635

0,683

0,622

0,672

0,610

0,659

0,594

0,643

0,30

I

II

1,000

1,000

0,900

0,918

0,798

0,833

0,752

0,795

0,725

0,772

0,705

0,755

0,692

0,742

0,678

0,729

0,661

0,713

0,651

0,704

0,641

0,694

0,628

0,681

0,616

0,667

0,25

I

II

1,000

1,000

0,904

0,924

0,810

0,848

0,768

0,814

0,743

0,791

0,727

0,777

0,714

0,766

0,701

0,755

0,686

0,740

0,677

0,731

0,660

0,722

0,657

0,711

0,646

0,698

0,20

I

II

1,000

1,000

0,914

0,935

0,830

0,868

0,793

0,337

0,771

0,818

0,757

0,806

0,746

0,797

0,734

0,786

0,721

0,773

0,714

0,767

0,705

0,758

0,697

0,749

0,686

0,737

0,15

I

II

1,000

1,000

0,928

0,946

0,857

0,893

0,826

0,867

0,809

0,581

0,809

0,841

0,788

0,834

0,778

0,825

0,768

0,814

0,761

0,809

0,755

0,801

0,748

0,794

0,738

0,783

Таблица 159

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для двухпролетных неразрезных балок с учетом переменности моментов инерции по длине пролетов при
(предварительно по значениям n и λ определяется μ по табл. 153 )

μ

Площади линий влияния

опорного момента MB

пролетного момента в сечении max

опорных реакций

A

B

ω

ω 1

ω 2

ω

ω 1

ω 2

ω

ω 1

ω 2

1,00

-0,1250

-0,0625

-0,0625

+0,0703

+0,0957

-0,0254

+0,3750

+0,4375

-0,0625

+1,2500

0,95

-0,1316

-0,0658

-0,0658

+0,0679

+0,0943

-0,0264

+0,3684

+0,4342

-0,0658

+1,2632

0,90

-0,1388

-0,0694

-0,0694

+0,0652

+0,0927

-0,0275

+0,3612

+0,4306

-0,0694

+1,2776

0,85

-0,1470

-0,0735

-0,0735

+0,0623

+0,0910

-0,0287

+0,3530

+0,4265

-0,0735

+1,2940

0,80

-0,1562

-0,0781

-0,0781

+0,0591

+0,0890

-0,0299

+0,3438

+0,4219

-0,0781

+1,3124

0,75

-0,1666

-0,0833

-0,0833

+0,0556

+0,0868

-0,0312

+0,3334

+0,4167

-0,0833

+1,3332

0,70

-0,1786

-0,0893

-0,0893

+0,0516

+0,0843

-0,0327

+0,3214

+0,4107

-0,0893

+1,3572

0,65

-0,1924

-0,0962

-0,0962

+0,0473

+0,0315

-0,0342

+0,3076

+0,4038

-0,0962

+1,3848

0,60

-0,2084

-0,1042

-0,1042

+0,0425

+0,0783

-0,0358

+0,2915

+0,3958

-0,1042

+1,4168

0,55

-0,2272

-0,1136

-0,1136

+0,0372

+0,0747

-0,0375

+0,2728

+0,3864

-0,1136

+1,4544

Множитель

l 2

l 2

l 2

l 2

l 2

l 2

l

l

l

l

Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l 1 = l 2 = l .

2. Вид линий влияния и обозначения - см . рис. 34.

Таблица 160

Площади линий влияния моментов и опорных реакций для трехпролетных неразрезных балок с учетом переменности моментов инерции по длине пролетов при
(предварительно по значениям n и λ определяется μ по табл. 158 )

μ

Площади линий влияния

пролетных моментов в сечении max M

Ml 1

Ml 2

ω

ω 1

ω 2

ω 3

ω

ω 1

ω 2

ω 3

1,00

+0,0800

+0,0939

-0,0204

+0,0065

+0,0250

-0,025

+0,0750

-0,025

0,95

+0,0783

+0,0921

-0,0210

+0,0072

+0,0209

-0,0260

+0,0729

-0,0260

0,90

+0,0766

+0,0902

-0,0216

+0,0080

+0,0163

-0,0272

+0,0707

-0,0272

0,85

+0,0747

+0,0881

-0,0223

+0,0089

+0,0116

-0,0283

+0,0682

-0,0283

0,80

+0,0728

+0,0854

-0,0228

+0,0102

+0,0065

-0,0295

+0,0655

-0,0295

0,75

+0,0703

+0,0825

-0,0234

+0,0112

-0,0001

-0,0313

+0,0625

-0,0313

0,70

+0,0678

+0,0790

-0,0240

+0,0128

-0,0067

-0,0329

+0,0592

-0,0329

0,65

+0,0652

+0,0750

-0,0246

+0,0148

-0,0140

-0,0347

+0,0555

-0,0347

0,60

+0,0622

+0,0699

-0,0248

+0,0171

-0,0222

-0,0368

+0,0514

-0,0368

0,55

+0,0591

+0,0637

-0,0249

+0,0203

-0,0313

-0,0390

+0,0467

-0,0390

Множитель

l 2

l 2

Продолжение табл. 160

μ

Площади линий влияния

опорного момента

опорных реакций

MB

A

B

ω

ω 1

ω 2

ω 3

ω

ω 1

ω 2

ω 3

ω

ω 1-2

ω 3

1,00

-0,1000

-0,0667

-0,0500

+0,0167

+0,400

+0,433

-0,0500

+0,0167

+1,1000

+1,2001

-0,1001

0,95

-0,1042

-0,0707

-0,0521

+0,0186

+0,3958

+0,4293

-0,0521

+0,0186

+1,1042

+1,2121

-0,1079

0,90

-0,1087

-0,0753

-0,0543

+0,0209

+0,3913

+0,4247

-0,0543

+0,0209

+1,1087

+1,2258

-0,1171

0,85

-0,1134

-0,0803

-0,0568

+0,0237

+0,3866

+0,4197

-0,0568

+0,0237

+1,1134

+1,2411

-0,1277

0,80

-0,1185

-0,0866

-0,0595

+0,0276

+0,3815

+0,4134

-0,0595

+0,0276

+1,1185

+1,2603

-0,1418

0,75

-0,1251

-0,0938

-0,0625

+0,0312

+0,3749

+0,4062

-0,0625

+0,0312

+1,1251

+1,2813

-0,1562

0,70

-0,1317

-0,1024

-0,0658

+0,0365

+0,3683

+0,3976

-0,0658

+0,0365

+1,1317

+1,3071

-0,1754

0,65

-0,1390

-0,1128

-0,0695

+0,0434

+0,3610

+0,3872

-0,0695

+0,0434

+1,1390

+1,3387

-0,1996

0,60

-0,1472

-0,1261

-0,0736

+0,0525

+0,3528

+0,3739

-0,0736

+0,0525

+1,1472

+1,3783

-0,2311

0,55

-0,1563

-0,1432

-0,0782

+0,0651

-0,3437

+0,3568

-0,0782

+0,0691

+1,1563

+1,4297

-0,2734

Множитель

l 2

l

l

Примечания: 1. Пролеты балки одинаковые l 1 = l 2 = l 3 = l .

2. Вид линий влияния и обозначения - см . рис. 32 .

§ 33. Деформации балок

Нижеприводимые таблицы прогибов и углов поворота балок дают возможность строить линии влияния прогибов для различных сечении и углов поворота крайних опорных сечении в балках с одним, двумя, тремя и четырьмя равными пролетами, а также в консольных балках от сосредоточенных сил, распределенной нагрузки и моментов ( X.А. Винокурский «Расчет пространственных крановых мостов». Машгиз, 1948).

В зависимости от коэффициента η, определяющего положение нагрузки, и коэффициента ζ, зависящего от положения сечения, в котором определяется деформация, приведены коэффициенты, которые, будучи умножены на указанный в таблицах множитель, дают искомую деформацию.

Общие указания

При составлении таблиц для определения прогибов и углов поворота в различных балках принято следующее правило знаков:

для прогибов:

+ перемещение вниз,

- перемещение вверх;

для углов поворота:

+ поворот, как указано на рис. 40,

- поворот по направлению, противоположному указанному на рис. 40.

Рис. 40. Деформации балок (положительное направление углов поворота)

При пользовании таблицами (кроме таблиц 161 и 165) прогибы получаются в сантиметрах, если: сосредоточенные силы Р приняты в т; равномерно распределенная нагрузка q - в т на 1 пог. м, изгибающие моменты M - в тм); пролеты l - в м; моменты инерции I - в см4; модуль упругости E - в кг/см2.

Для консолей (рис. 41) при повороте сечения b на угол φ прогиб точки a определяется по формуле:

fa = φ l,

где φ - берется по таблицам для углов поворота;

l - длина консоли, м.

Рис. 41. Схема к определению прогибов консоли

Значение φ в целях сохранения размерности, указанной выше, принято в таблицах увеличенным в 100 раз. Для определения истинного значения угла поворота сечения, выраженного в радианах, следует табличный коэффициент разделить на 100 (или, что то же, в множителе, указанном в таблице, принять 104 вместо 106).

Примеры определения деформаций балок по таблицам

Пример 1. Определить прогиб в точке a и угол поворота на опоре A при I = 30000 см4, E = 2,5×105 кг/см2 для балки, указанной на рис. 42.

Рис 42. Расчетная схема к примеру 1

Решение. Определение прогиба в точке a .

Пользуемся табл. 171 для

а) От распределенной нагрузки q табличный коэффициент равен 6,8; величина прогиба от этой нагрузки:

б) От сосредоточенной нагрузки P1 при  и ζ = 2,6 табличный коэффициент равен 3,584; прогиб:

в) От сосредоточенной нагрузки P 2 .

Рассматривая балку, у которой па опоре B приложен момент M = 5×3 = 15 тм, по табл. 171 (последняя вертикальная колонка) при ζ = 2,6 табличный коэффициент равен -49,048.

Тогда прогиб точки a от воздействия силы P 2 будет:

Полный прогиб:

Определение угла поворота крайнего сечения A (см. табл. 171, горизонтальная строка для ζ = 0).

От равномерно распределенной нагрузки q табличный коэффициент равен -25;

угол поворота, вызываемый нагрузкой q :

От сосредоточенной нагрузки P 1 при  табличный коэффициент равен 13,333;

угол поворота от этой нагрузки:

От сосредоточенной силы P 2 , вызывающей на опоре B момент M = 15,0 тм,

табличный коэффициент равен 11,133 (см. табл. 171 , последняя вертикальная колонка);

угол поворота от P 2 :

Полный угол поворота:

φ A= -0,00167 + 0,00445 + 0,00111 = 0,00389 радиана.

Пояснения к табл. 164.

Прогиб середины свободно опертой балки с симметрично из меняющейся жесткостью от сплошной равномерно распределенной нагрузки может быть найден по формуле:

где δ1/2 - прогиб посередине пролета, м;

q - равномерно распределенная нагрузка, т/м;

E - модуль упругости, т/м2;

a - длина участков, количество которых на полупролете оставляет n ;

2 n - количество участков длиной a , на которые разделена вся балка;

A и B - коэффициенты, приведенные в таблице;

I - моменты инерции сечения балки в каждом участке длиною a .

Пояснение к таблице 165.

Если балку (рис. 45) разбить на 2 n равных панелей (например, 2 n = 10) или, что то же, разбить полупролет на n участков длиной a , то ордината в точке i n линии влияния прогиба для середины пролета выразится формулой1:

где значения коэффициентов K берутся из табл. 165.

1 В.К. Качурин. Статика мостов. Трансжелдориздат, 1934 г.

Для получения прогиба в метрах все величины следует брать в метрах и тоннах.

Пример. Балка CB (см. рис. 45) имеет пролет L = 25 м; полупролет разделим на 5 участков ( n = 5) длиной  с моментами инерции

I 1 = I2 = 0,02022 м 4 ; I 3 = I4 = 0,02618 м 4 ; I 5 = 0,03229 м 4 .

Ордината в точке 1 линии влияния прогиба для середины балки определится из выражения:

(прогиб в метрах от нагрузки P = 1 т).

Рис. 45. Схема к определению ординат линии влияния прогиба

Аналогично ордината в точке 5 (посредине пролета) определится из выражения:

Если при разбивке на равные участки момент инерции меняется на каком-либо участке, то в расчет надо вводить среднее значение момента инерции этого участка.

Пример 2. Определить прогиб в точке a для балки, приведенной на рис. 43. I = 50000 см4 и E = 2,1×106кг/см 2 .

Рис. 43. Расчетная схема к примеру 2

По табл. 166 прогиб в точке a от силы P без учета поворота сечения на опоре B , т.е. как для консоли с заделкой на опоре B , при  будет:

Угол поворота сечения на опоре B от действия на балку AB момента (рис. 44) M = 3×3,0 = 9,0 m м по табл. 162 будет:

Рис. 44. Схема к определению угла поворота

Прогиб точки a от поворота опоры B :

Полный прогиб точки а:

Таблица 161

Прогибы в середине пролета однопролетной свободно опертой балки от сосредоточенного груза

η

Значение прогиба при η равном

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,00

0

0,625

1,249

1,873

2,495

3,115

3,732

4,346

4,957

5,609

0,1

6,167

6 , 764

7,356

7,942

8,521

9,094

9,659

10,216

10,764

11,303

0,2

11,833

12,353

12,863

13,361

13,848

14,323

14,785

15,835

15,671

16,092

0,3

16,500

16,893

17,269

17,630

17,973

18,302

18,612

18,904

19,177

19,432

0,4

19,667

19,882

20,075

20,249

20,401

20,531

20,639

20,723

20,784

20,821

0,5

20,833

Множитель

Примечание. Первая вертикальная графа содержит десятые доли пролета, первая горизонтальная строка содержит сотые доли пролета; например, при η = 0,27 прогиб равен

Таблица 162

Прогибы и углы поворота опорных сечений однопролетной свободно опертой балки Значение прогибов и углов поворота

Вид деформации

Схема нагрузки

Значение прогибов и углов поворота

ζ

при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Прогиб в точке a

0,1

2,7

4,67

5,835

6,3

6,16

5,54

4,5

3,164

1,637

0,2

4,67

8,53

10,97

12,0

11 , 83

10,67

8,7

6,13

3,164

0,3

5,835

10,97

14,7

16,5

16,5

15,00

12,3

8,7

4,5

0,4

6,3

12,0

16.5

19,2

19,7

18,142

15,00

10,67

5,54

0,5

6,16

11,83

16,5

19,7

20,8

19,7

16,5

11,83

6,16

0,6

5,54

10,67

15,00

18 , 142

19,7

19,2

16,5

12,0

6,3

0,7

4,5

8,7

12,3

15,00

16,5

16,5

14,7

10,97

5,835

0,8

3,164

6,13

8,7

10,67

11,83

12,0

10,97

8,53

4,67

0,9

1,637

3,1 64

4,5

5,54

6,16

6,3

5,835

4,67

2,7

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-28,5

-48

-59,5

-64

-62,5

-56

-40,5

-32

-16,5

1

-16,5

-32

-40,5

-56

-62,5

-64

-59,5

-48

-28,5

Множитель

Продолжение табл. 162

Вид деформации

Схема нагрузки

Значение прогибов и углов поворота

ζ

при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Прогиб в точке a

0,1

0,139

0,514

1,045

1,657

2,285

2,874

3,379

3,764

4,005

4,087

16,5

0,2

0,237

0,907

1,894

3,053

4,254

5,387

6,361

7,107

7,574

7,733

32,0

0,3

0,295

1,143

2,441

4,017

5,681

7,267

8,641

9,698

10,361

10,587

45,5

0,4

0,317

1,240

2,677

4,480

6,442

8,347

10,015

11,307

12,122

12,400

56,0

0,5

0,310

1,217

2,644

4,467

6,510

8,554

10,377

11,804

12,710

13,021

62,5

0,6

0,278

1,093

2,385

4,053

5,958

7,920

9,722

11,160

12,082

12,400

64,0

0,7

0,226

0,890

1,946

3,320

4,906

6,570

8,146

9,444

10,293

10,587

59,5

0,8

0,159

0,627

1,372

2,346

3,479

4,680

5,839

6,827

7,497

7,733

48,0

0,9

0,082

0,323

0,709

1,213

1,802

2,43

3,042

3,573

3,949

4,087

28,5

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-1,504

-5,4

-10,837

-17,067

-23,437

-29,4

-34,5041

-38,4

-40,837

-41,667

-166,67

1

-0,829

-3,267

-7,162

-12,267

-18,229

-24,6

-30,829

- 36,267

-40,162

-41,667

-333,33

Множитель

Таблица 163

Коэффициенты для определения прогибов в середине пролета однопролетной свободно опертой балки с переменным моментом инерции

Схема нагрузки

Значения коэффициентов A и B

ζ

при η равном

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

0

3,115

0

6,167

0

9,094

0

11,833

0

14,323

0

16,5

0

0,05

3,094

0,021

6,146

0,021

9,073

0,021

11,813

0,021

14,320

0,021

16,479

0,021

0,10

3,0

0,114

5,97

0,167

8,927

0,167

11,667

0,167

14,156

0,167

16,333

0,167

0,15

2,844

0,271

5,687

0,479

8,531

0,562

11,271

0,562

13,75

0,562

15,937

0,562

0,20

2,625

0,489

5,25

0,917

7,875

1,218

10,5

1,333

12,990

1,333

15,167

1,333

0,25

2,344

0,771

4,687

1,479

7,031

9,375

2,458

11,719

2,604

13,896

2,604

0,30

2,012

1,114

4

2,167

6

3,094

8

3,833

10

4,323

12

4,5

0,35

1,594

1,521

3,20

2,979

4,781

4,312

6,375

5,458

7,969

6,354

9,562

6,937

0,40

1,125

1,989

2,25

3,917

4,5

7,333

5,625

8,698

6,75

9,75

0,45

0,594

2,521

1,20

4,979

1,781

7,312

2,375

9,458

2,969

11,354

3,562

12,937

0,50

0

3,114

0

6,167

0

9,094

0

11,833

0

14,323

0

16,5

Формула прогиба

Продолжение табл. 163

Схема нагрузки

Значения коэффициентов A и B

при η равном

ζ

0,35

0,40

0,45

0,50

Значения коэффициентов A и B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

0

18,302

0

19,667

0

20,531

0

20,833

0

13,021

0

62,5

0

0,05

18,281

0,021

19,646

0,021

20,510

0,021

20,812

0,021

13,001

0,020

61,875

0,625

0,10

18,135

0,167

19,5

0,167

20,365

0,167

20,267

0,167

12,857

0,164

60

2,5

0,15

17,739

0,562

19,104

0,562

19,969

0,562

20,271

0,562

12,522

0,499

56,875

5,0

0,20

16,969

1,333

18,333

1,333

19,198

1,333

19,5

1,333

11,887

1,133

52,5

10,0

0,25

15,698

2,604

17,062

2,604

17,927

2,604

18,229

2,604

10,905

2,116

46,875

15,625

0,30

13,802

4,5

15,167

4,5

16,031

4,5

16,333

4,5

9,533

3,487

40

22,5

0,35

11,156

7,146

12,521

7,146

13,385

7,146

13,687

7,146

7,751

5,270

31,875

30,625

0,40

7,875

10,427

9

10,667

9,865

10,667

10,167

10,667

5,554

7,467

22,5

40

0,45

4,156

14,146

4,75

14,917

5,344

15,187

5,646

15,187

2 , 959

10,062

11,875

50,625

0,50

0

18,302

19,667

0

20 , 531

0

20, 8 33

0

13,021

0

62,5

Формула прогиба

Таблица 164

Коэффициенты A и B для вычисления прогиба от равномерно распределенной нагрузки в середине однопролетной сзободно опертой балки с симметрично изменяющейся жесткостью

№ участка

Значения коэффициентов

A

B

1

0,1666

0,125

2

1,1666

1,875

3

3,1666

8,125

4

6,1666

21,875

5

10,1666

46,125

6

15,1666

83,875

7

21,1666

138,125

8

28,1666

211,875

9

36,1666

308,125

10

45,1666

429,875

11

55,1666

580,125

12

66,1666

761,875

13

78,1666

978,125

14

91,1666

1231,875

15

105,1666

1526,125

16

120,1666

1863,875

17

136,1666

2248,125

18

153,1666

2681,875

19

171,1666

3168,125

20

190,1666

3709,875

21

210,1666

4310,125

22

231,1666

4971,875

23

253,1666

5698,125

24

276,1666

6491,875

25

300,1666

7356,125

Таблица 165

Коэффициенты K для вычисления ординат линий влияния прогиба в середине однопролетнон свободно опертой балки с симметрично изменяющейся жесткостью

№ участка n

Значения коэффициентов K

K 1

K 2

K 3

K 4

K 5

K 6

K 7

K 8

K 9

K 10

K 11

K 12

1

0,1666

0,75

1,25

1,75

2,25

2,75

3,25

3,75

4,25

4,75

5,25

5,75

0,1666

1,1666

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

10,5

11,5

3

0,1666

1,1666

3,1666

5,25

6,75

8,25

9,75

11,25

12,75

14,25

15,75

17,25

4

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

9,0

11,0

13,0

15,0

17,0

19,0

21,0

23,0

5

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

13,75

16,25

18,75

21,25

23,75

26,25

28,75

6

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

19,5

22,5

25,5

28,5

31,5

34,50

7

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

26,25

29,75

33,25

36,75

40,25

8

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

34,0

38,0

42,0

46,00

9

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

42,75

47,25

51,75

10

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

45,1666

52,50

57,5

11

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

45,1666

55,1666

63,25

12

0,1666

1,1666

3,1666

6,1666

10,1666

15,1666

21,1666

28,1666

36,1666

45,1666

55,1666

66,1666

Таблица 166

Прогибы и углы поворота консольной балки от сосредоточенного груза

Вид деформации

ζ

Значения прогибов и углов поворота при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Прогиб в точке a

0,1

0,333

0,833

1,333

1,833

2,333

2,833

3,333

3,833

4,333

4,833

0,2

0,833

2,667

4,667

6,667

8,667

10,667

12,667

14,667

16,667

18,667

0,3

1,333

4,667

8

13,5

18

22,5

27

31,5

36

40,5

0,4

1,833

6,667

13,5

21,333

29,333

37,333

45,333

53,333

61,333

69,333

0,5

2,333

8,667

18

29,333

41,667

54,167

66,667

79,167

91,667

104,167

0,6

2,833

10,667

22,5

37,333

54,167

72

90

108

126

144

0,7

3,333

12,667

27

45,333

66,667

90

114,333

138,833

163,333

187,833

0,8

3,833

14,667

31,5

53,333

79,167

108

138,833

170,667

202,667

234,667

0,9

4,333

16,667

36

61,333

91,667

126

163,333

202,667

243

283,5

1,0

4,833

18,667

40,5

69,333

104,167

144

1 87,833

234,667

283,5

333,333

Множитель

Угол поворота

ζ = 1,0

5

20

45

80

125

180

245

320

405

500

Множитель

Таблица 167

Коэффициенты для определения прогибов и углов поворота консольной балки от равномерно распределенной нагрузки и от момента на конце

Вид деформации

ζ

Значения прогибов и углов поворота при η равном

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Прогиб в точке a

0,1

2,337

2,325

2,267

2,158

2

1,792

1,533

1,225

0,867

0,458

5

0,2

8,733

8,704

8,533

8,167

7,6

6,833

5,867

4,7

3,333

1,767

20

0,3

18,337

18,292

18,004

17,325

16,2

14,625

12,6

10,125

7,2

3,825

45

0,4

30,4

30,379

29,933

29,937

27,2

24,667

21,333

17,2

12,267

6,533

80

0,5

44,271

44,192

43,671

42,358

40,004

36,458

31,667

25,625

18,333

9,792

125

0,6

59,4

59,304

58,667

57,037

54,067

49,504

43,2

35,1

25,2

13,5

180

0,7

75,337

75,225

74,471

72,525

68,937

63,358

55,537

45,325

32,667

17,558

245

0,8

91,733

91,604

90,733

88,471

84,267

77,671

68,333

56,004

40,533

21,867

320

0,9

108,375

108,229

107,241

104,662

99,842

92,229

81,375

66,929

48,642

26,325

405

1,0

125,000

124,837

123,733

120,837

115,4

106,771

94,4

77,837

56,733

30,837

500

Множитель

Угол поворота

ζ = 1,0

166,67

166,5

165,333

162,167

156

145,833

130,667

109,5

81,333

45,167

1000

Множитель

Таблица 168

Прогибы от сосредоточенной нагрузки в балке, заделанной обоими концами

ζ

Значения прогибов в точке a при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1

0,243

0,494

0,606

0,612

0,535

0,428

0,279

0,14

0,044

0,2

0,494

1,362

1,898

2,016

1,83

1,454

0,972

0,498

0,14

0,3

0,606

1,898

3,087

3,564

3,475

2,736

1,863

0,972

0,279

0,4

0,612

2,016

3,564

4,608

4,7

3,934

2,736

1,454

0,428

0,5

0,535

1,83

3,475

4,7

5,175

4,7

3,475

1,83

0,535

0,6

0,428

1,454

2,736

3,934

4,7

4,608

3,564

2,016

0,612

0,7

0,279

0,972

1,863

2,736

3,475

3,564

3,087

1,898

0,606

0,8

0,14

0,498

0,972

1,454

1,83

2,016

1,898

1,362

0,494

0,9

0,044

0,14

0,279

0,428

0,535

0,612

0,606

0,494

0,243

Множитель

Таблица 169

Прогибы балки, заделанной обоими концами, от равномерно распределенной нагрузки

ζ

η = 1,0

Значения прогибов в точке a при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,1

0,010

0,047

0,103

0,165

0,223

0,271

0,307

0,327

0,336

0,338

0,2

0,018

0,111

0,278

0,477

0,671

0,836

0,958

1,031

1,062

1,067

0,3

0,022

0,143

0,397

0,736

1,087

1,396

1,628

1,767

1,828

1,838

0,4

0,022

0,148

0,429

0,846

1,316

1,751

2,088

2,295

2,386

2,401

0,5

0,020

0,132

0,394

0,801

1,301

1,804

2,211

2,470

2,585

2,605

0,6

0,016

0,103

0,313

0,650

1,082

1,555

1,972

2,250

2,378

2,401

0,7

0,010

0,068

0,210

0,443

0,748

1,102

1,441

1,693

1,816

1,838

0,8

0,006

0,035

0,108

0,231

0,394

0,590

0,790

0,955

1,049

1,067

0,9

0,002

0,009

0,031

0,067

0,114

0,173

0,235

0,292

0,328

0,338

Множитель

Таблица 170

Прогибы и углы поворота, двухпролетной неразрезной балки

Вид деформации

ζ

Значения прогибов и углов поворота

при η равном

0,1

2,0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Прогиб в точке a

0 ,1

2,292

3,878

4,709

4,494

4,613

3,956

3,027

1,976

0,932

2,024

4,125

0,2

3,878

6,994

8,786

9,312

8,830

-7,598

5,844

3,826

1,796

3,733

8

0 , 3

4,709

8,786

11,595

12,678

12,234

10,632

8,239

5,424

2,555

4,90

11,375

0,4

4,914

9,312

12,678

14,496

14,45

12,766

10,002

6, 6 38

3,146

5,40

14

0,5

4,613

8,83

12,234

14,45

14,91

13,7

10,992

7,33

3,488

5,209

15,625

0, 6

3,956

7,598

10,632

12,776

13,7

13,056

10,778

7,392

3,564

4,40

16

0,7

3,027

5,844

8,239

10,002

10,922

10,788

9,389

6,686

3,291

3,15

14,875

0,8

1,976

3,826

5,424

6,638

7,33

7,392

6,686

5,074

2,618

1,733

12

0,9

0,932

1,796

2,555

3,146

3,488

3,564

3,291

2,618

1,482

0,525

7,125

1,1

-0,70 5

-1,368

-1,945

-2,394

-2,674

-2,736

-2,544

-2,052

-1,218

0,525

-9,375

1,2

-1,188

-2,304

-3,276

-4,032

-4,5

-4,608

-4,284

-3,456

-2,052

1,733

-20

1,3

-1,472

-2,856

-4,063

-4,998

-5,578

-5,712

-5,310

-4,284

-2,544

3,15

-30,625

1,4

-1,584

-3,072

-4,373

-5,376

-6

-6,144

-5,712

-4,608

-2,736

4,40

-40

1,5

-1,547

-3

-4,266

-5,25

-5,859

-6

-5,578

-4,5

-2,674

5,209

-46,875

1,6

-1,386

-2,688

-3,822

-4,704

-5,25

-5,376

-4,998

-4,032

-2,394

5,40

-50

1,7

-1 , 126

-2,184

-3,104

-3,822

-4,266

-4,373

-4,064

-3,276

-1,945

4,90

-48,125

1,8

-0,792

-1,536

-2,184

-2,688

-3

-3,072

-2,856

-2,304

-1,368

3,733

-40

1,9

-0,408

-0,792

-1,126

-1,386

-1,547

-1,587

-1,472

-1,188

-0,705

2,024

-24,375

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-24,375

-40

-48,125

-50

-46,875

-40

-25,625

-20

-9,375

-20,833

-4 1, 677

2, 0

+4,125

+8

+11,375

+14

+15,625

+16

+14,875

+12

+7,125

-20,833

+291,667

Множитель


Таблица 171

Прогибы и углы поворота трехпролетной неразрезной балки

Вид деформации

ζ

Прогибы и углы поворота при η равном

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

Прогиб в точке a

0,1

2,264

3,825

4,634

4,822

4,510

3,850

2,929

1,897

0,885

-0 , 643

-1,056

-1,27

-1,32

-1,237

2,442

-1,102

0,2

3,825

6,892

8,6 4 0

9,133

8,630

7,393

5,6 54

3,672

1,705

-1,248

-2,0 4 8

-2,164

-2,560

-2,400

4,53

-2,138

0,3

4 ,634

8,6 4 0

11,388

12,423

11,950

10,341

7, 9 68

5,20 6

2,425

-1,774

-2,912

-3,506

-3,645

-3,412

6,037

-3,039

0,1

4,822

9,133

12,423

14,182

14,100

12,408

9,666

6,369

2,986

-2,184

-3,584

-4,312

-4,480

-4,200

6,8

-3,741

0,5

4,510

8,630

11,950

14,100

14,55

13,3

10,550

7,03

3,310

-2,439

-4,00

-4,813

-5,00

-4,687

6,772

-4,175

0, 6

3,850

7,393

10,341

12,408

13,3

12,616

10, 4 07

7,085

3,382

-2,496

-4,096

-4,928

-5,120

-4,800

6,0

-4,275

0,7

2,929

5,654

7,968

9,666

10,550

10,407

9,035

6,400

3,122

-2,320

-3,808

-4,582

-4,760

-4,462

4,637

-3,975

0,8

1 ,8 97

3,672

5,206

6,369

7,03

7,085

6,400

4,844

2,481

-1,872

-3,072

-3,695

-3,844

-3,600

2,93

-3,206

0,9

0,883

1,705

2,425

2,986

3,310

3,382

3,122

2,481

1,400

-1,111

-1,824

-2,194

-2,28

-2,139

1,242

-1,904

1 , 1

-0,643

-1,248

-1,774

-2,184

-2,439

-2,496

-2,320

-1,872

-1,111

1,341

2,318

2,832

2,964

2,783

-0,407

2,502

1,2

-1,056

-2,048

-2,912

-3,584

-4,00

-4,096

-3,808

-3,072

- 1,824

2,318

4,434

5,706

6,112

5,830

-0,27

5,338

1,3

-1,27

-2,464

-3,506

-4,312

-4,813

-4,928

-4,582

-3,69 6

- 2,194

2,832

5,705

7,889

8,828

8,625

+0,087

8,174

1, 4

-1,32

-2,560

-3,645

-4,480

-5,00

-5,120

-4,760

-3,844

- 2,28

2,964

6, 11 2

8,828

10,496

10,700

+0,4

10,677

1,5

-1,237

-2,400

-3,412

-4,200

-4,687

-4,800

-4,462

-3,600

-2,139

2,783

5,830

8,625

10,700

11,425

0,522

12,513

1,6

-1,056

-2,048

-2,912

-3,584

-4,00

-4,096

-3,808

-3,072

-1,821

2,396

5,038

7,554

9,566

10,700

+0,4

13,347

1,7

-0,808

-1,568

-2,228

-2,744

-3,062

-3,141

-2,919

-2,352

-1,396

1,833

3,884

5,878

7,554

8,625

+0,087

12,848

1,8

-0,528

-1,024

-1,456

-1,792

-2,00

-2,043

-1,904

-1,540

-0,912

1,196

2,546

3,884

5,038

5,830

-0,27

10,678

1,9

-0,247

-0,48

-0,682

-0,840

-0,937

-0,96

-0,892

-0,720

-0,427

0,566

1,196

1,833

2,396

2,783

-0,407

6,507

2,1

0,188

0,365

0,519

0,638

0,712

0,730

0,678

0,517

0,325

-0,427

-0,912

-1,396

-1,824

-2,139

1,242

-8,890

2,2

0,317

0,614

0,874

1,075

1,2

1,229

1,142

0,922

0,547

-0,720

-1,540

-2,352

-3,072

-3,600

2,93

-19,184

2,3

0,393

0,762

1,083

1,333

1,487

1,523

1,416

1,142

0,678

-0,892

-1,904

-2,919

-3,808

-4,462

4,637

-29,613

2,4

0,422

0,819

1,165

1,434

1,600

1,638

1,523

1,229

0,730

-0,96

-2,048

-3,141

-4,096

-4,800

6,0

-38,913

2,5

0,412

0,800

1,137

1,400

1,562

1,600

1,487

1,200

0,712

-0,937

-2,00

-3,062

-4,00

-4,687

6,772

-45,812

2,6

0,370

0,717

1,019

1,254

1,400

1,434

1,333

1,075

0,638

-0,84

-1,792

-2,744

-3,584

-4,200

6,8

-49,048

2,7

0,300

0,582

0,828

1,019

1,137

1,165

1,083

0,874

0,519

-0,682

-1,456

-2,228

-2,912

-3,412

6,037

-47,351

2,8

0,211

0,410

0,528

0,717

0,800

0,819

0,762

0,614

0,365

-0,48

-1,024

-1,568

-2,048

-2,40

4,53

-39,486

2,9

0,109

0,211

0,300

0,370

0,412

0,422

0,393

0,817

0,188

-0,247

-0,528

-0,808

-1,056

-1,237

2,442

-24,94

Множитель

Угол поворота на опоре

0

-24,1

-39,467

-47,367

-49,067

-45,833

-38,933

-24,633

-19,2

-8,9

+6,5

+10,667

+12,833

+13,333

+12,5

-25,0

11,133

3,0

-1,1

-2,133

-3,033

-3,733

-4,167

-4,267

-3,967

-3,2

-1,9

+2,5

+5,333

+8,167

+10,667

+12,5

-25,0

288,8

Множитель

Таблица 172

Прогибы и углы поворота четырехпролетной неразрезной балки

Вид деформации

ζ

Прогибы и углы поворота при η равном

0,2

0,4

0,6

0,8

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

Прогиб в точке a

0,1

3,821

4,815

3,842

1,891

-0,639

-1,255

-1,214

-0,784

-0,235

2,324

0,295

0,2

6,884

9,120

7,379

3,662

-1,239

-2,436

-2,358

-1,525

-0,458

4,301

0,573

0,4

9,120

14,16

12,382

6,35

-2,169

-4,263

-4,126

-2,697

-0,801

6,400

1,002

0,6

7,379

12,382

12,618

7,062

-2,478

-4,872

-4,715

-3,053

-0,915

5,542

1,146

0,8

3,662

6,35

7,062

4,827

-1,859

-3,654

-3,536

-2,286

-0,686

2,587

0,859

1,1

-1,239

-2,169

-2,478

-1,859

1,331

2,799

2,733

1,782

0,540

-0,139

-0,670

1,3

-2,436

-4,263

-4,872

-3,654

2,799

7,782

8,463

5,710

1,747

0,963

-2,188

1,5

-2,358

-4,126

-4,715

-3,536

2,733

8,463

11,142

8,367

2,654

1,863

-3,35

1,7

-1,525

-2,697

-3,053

-2,286

1,782

5,710

8,367

7,626

2,697

1,464

-3,440

1,9

-0,458

-0,801

-0,915

-0,686

0,540

1,747

2,654

2,697

1,273

0,290

-1,742

2,1

0,339

0,585

0,669

0,502

-0,392

-1,280

-1,959

-2,012

-1,019

0,290

2,384

2,3

0,659

1,125

1,32

0,99

-0,773

-2,526

-3,867

-3,970

-2,012

1,464

7,940

2,5

0,642

1,124

1,285

0,964

-0,753

-2,459

-3,764

-3,867

-1,959

1,863

12,281

2,7

0,419

0,735

0,084

0,63

-0,492

-1,608

-2,459

-2,526

-1,280

0,963

12,693

2,9

0,128

0,225

0,258

0,193

-0,151

-0,492

-0,753

-0,773

-0,392

-0,139

6,458

3,2

-0,164

-0,288

-0,330

-0,247

0,193

0,63

0,964

0,99

0,502

2,587

-19,136

3,4

-0,219

-0,384

-0,438

-0,330

0,258

0,84

1,285

1,32

0,669

5,542

-38,848

3,6

-0,192

-0,336

-0,384

-0,288

0,225

0,735

1,124

1,125

0,585

6,400

-48,992

3,8

-0,110

-0,192

-0,219

-0,164

0,128

0,419

0,642

0,659

0,334

4,301

-39,424

3,9

-0,057

-0,099

-0,114

-0,085

0,066

0,217

0,333

0,342

0,173

2,324

-24,078

Множитель

Угол поворота на опоре

0,0

-39,429

-49

-38,858

-19,142

+6,454

+12,688

+12,279

+7,975

+2,383

-23,808

-2,983

4,0

+0,571

+1

+1,142

+0,858

-0,671

-2,187

-3,346

-3,437

-1,742

-23,808

288,7

Множитель


§ 34. Формулы интегрирования типовых эпюр

Нахождение перемещений по формуле Мора приводит к вычислению интегралов вида:

На тех участках сооружения, где EI постоянно, вопрос сводится к вычислению интегралов:

По правилу Верещагина интегралы  где одна из эпюр произвольного очертания, а другая подчинена закону прямой линии, равны площади эпюры произвольного очертания, умноженной на ординату прямолинейной эпюры, взятой под центром тяжести первой эпюры. В табл. 173 приведены сочетания эпюр, наиболее часто встречающихся в практике расчетов. Во все формулы следует подставлять абсолютные величины моментов. Знак подинтегральиого произведения MiMkdx положителен, если моменты Mi и Mk одного знака. Виды эпюр изгибающих моментов, сочетания из которых приведены в табл. 173, показаны на рис. 46.

Рис. 46. Типовые эпюры (к табл. 173)

Таблица 173

Значения интегралов  и  (рис. 46)

№ перемножаемых эпюр

1-1

1-2

1-3

1-4

1-5

1-6

1-8

1-9

1-10

1-11

1-12

1-13

1-14

1-15

1-16

1-17

1-18

1-19

1-20

1-21

1-22

3-3

3-4

3-5

3-6

3-8

3-9

3-10

3-11

3-12

3-13

3-14

3-15

3-16

3-17

3-18

3-19

3-20

3-21

3-22

4-6

4-8

4-10

4-11

4-12

4-17

4-18

4-20

4-22

5-5

5-6

5-10

5-11

5-12

5-13

5-15

5-16

5-17

5-18

5-19

5-20

5-22

6-6

6-7

6-8

6-9

6-9

6-9

6-10

6-11

6-12

6-12

6-12

6-14

6-15

6-16

6-17

6-18

6-19

6-21

7-8

8-8

8-9

8-10

8-11

8-12

8-14

8-15

8-17

8-18

8-21

9-9

9-11

9-14

9-15

9-17

9-18

9-21

10-10

10-11

10-14

10-15

10-16

10-17

10-18

10-21

11-11

11-12

11-13

11-14

11-15

11-16

11-17

11-18

11-19

11-20

11-22

12-12

12-14

12-15

12-16

12-17

12-19

12-21

13-13

13-17

13-18

14-14

14-15

14-17

14-18

14-21

14-22

15-15

15-16

15-17

15-18

15-19

15-21

15-22

16-18

16-22

17-17

17-18

17-21

17-22

18-19

18-21

18-22

18-23

19-22

20-21

21-21

21-22

22-22

* Если ординаты c не равны и c > c 1 , то формула будет

Глава 11

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ

§ 35. Рамы однопролетные, двухпролетные и трехпролетные

Приводимые формулы и таблицы могут быть использованы для предварительных расчетов рам, когда не учитывается переменность сечений ригеля (вуты) и влияние жестких участков стоек.

В табл. 174 даны формулы и показаны эпюры изгибающих моментов для различных часто встречающихся случаев загружения однопролетных рам с горизонтальным ригелем.

Таблица 174

Формулы для расчета однопролетных рам

Схема рамы, нагрузки и эпюры изгибающих моментов

Распор

Моменты

Вертикальные опорные реакции

MA = MD = 0;

Моменты в сечении ригеля на расстоянии x от B :

Опасное сечение при x = l /2:

Моменты в сечении ригеля на расстоянии x от B :

Наибольший момент в середине пролета ригеля:

при a = b

MA = MD = 0;

Момент в сечении на расстоянии x от B или x 1 от C :

на участке a :

на участке b :

Наибольший изгибающий момент под грузом P

при x = a:

при a = b = l/2:

MB = MA - HAh;

MC = MD - HAh.

Изгибающий момент под грузом P :

Ma = MA - HAh + VAa.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A :

Опасное сечение :

Момент в ригеле равен 0

MC = MD - Hh.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A :

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A :

Момент в ригеле равен нулю при

MC = MD - Hh.

Момент в сечении стойки AB на расстоянии x от A :

Момент в сечении стойки на расстоянии x от A или соответственно D :

Момент в сечении ригеля

Момент в сечении на расстоянии x от A или соответственно D :

Mx = ± Hx .

Момент в ригеле равен нулю при

где α – коэффициент линейного расширения;

E - модуль упругости;

t ° - повышение температуры

Линия влияния H

участок BC :

участок CE :

В таблицах 175 - 177 приведены данные для определения площадей линий влияния изгибающих моментов в двух- и трехпролетных рамах с жесткой заделкой стоек1. Поперечные силы в ригелях таких рам приближенно могут быть определены, рассматривая ригель как неразрезную балку.

1 К.К. Якобсон. Расчет железобетонных мостов. Гострансжелдориздат, 1948.

T аблица 175

Площади линий влиянии изгибающих моментом для сечений двухпролетной рамы с концевыми стойками

Схема рамы и вид линий влияния

k

ω 1 :l2

ω 2 :l2

ω 3 :l2

ω:l2

2

0,07344

-0,01788

-

0,05556

4

0,08100

-0,02277

-

0,05823

6

0,08453

-0,02500

-

0,05958

8

0,08634

-0,02615

-

0,06019

10

0,08763

-0,02702

-

0,06061

2

0,013242

-0,001525

0,002204

0,013921

4

0,008083

-0,000946

0,001183

0,003320

6

0,005820

-0,006697

0,000817

0,005910

8

0,004550

-0,000534

0,000610

0,004626

10

0,003733

-0,000442

0,000481

0,003680

2

0,03100

-0,03100

-

0

4

0,01942

-0,01942

-

0

6

0,01413

-0,01413

-

0

8

0,01112

-0,01112

-

0

10

0,00 9 17

-0,00917

-

0

2

-0,03231

0,00492

-0,00043

-0,02782

4

-0,01991

0,00339

-0,00018

-0,01670

6

-0,01440

0,00252

-0,00012

-0,01200

8

-0,01210

0,00207

-0,00007

-0,01010

10

-0,00926

0,00170

-0,00006

-0,00762

2

-0,07095

-0,01017

-

-0,11112

4

-0,06817

-0,04845

-

-0,11662

6

-0,06653

-0,05251

-

-0,11904

8

-0,06605

-0,05432

-

-0,12037

10

- 0 ,065 4 7

-0,05573

-

-0,12120

2

-0,01812

0,01842

-

0

4

-0,01158

0,01158

-

0

6

-0,00846

0,00846

-

0

8

-0,00664

0,00664

-

0

10

-0,00548

0,00548

-

0

Таблица 176

Площади линии влияния изгибающих моментов для сечений трехпролетной рамы с подвижными опорами на концах

Схема рамы и вид линий влияния

k

ω 1 :l2

ω 2 :l12

ω 3 :l2

2

-0,00595

0,01190

-0,01190

4

-0,00352

0,00694

-0,00690

6

-0,00254

0,00490

-0,00481

8

-0,00199

0,00379

-0,00369

10

-0,00163

0,00309

-0,00300

2

0,02083

-0,02380

0,01487

4

0,01211

-0,01388

0,00837

6

0,00849

-0,00980

0,00622

8

0,00657

-0,00758

0,00479

10

0,00532

-0,00618

0,00394

2

-0,0804

-0,03571

0,0089

4

-0,0734

-0,04167

0,0109

6

-0,0714

-0,04412

0,0126

8

-0,0700

-0,04545

0,0132

10

-0,0697

-0,04629

0,0141

2

-0,05957

-0,05951

0,02377

4

-0,06192

-0,05556

0,01927

6

-0,06291

-0,05392

0,01882

8

-0,06343

-0,05303

0,01799

10

-0,06438

-0,05247

0,01804

2

0,08480

-0,01785

0,00445

4

0,08830

-0,02083

0,00545

6

0,08928

-0,02206

0,00630

8

0,08998

-0,02273

0,00660

10

0,09017

-0,02315

0,00705

2

-0,01790

0,06549

-0,01790

4

-0,02101

0,06945

-0,02101

6

-0,02205

0,07080

-0,02205

8

-0,02272

0,07197

-0,02272

10

-0,02317

0,07253

-0,02317

Таблица 177

Площади линий влияний изгибающих моментов для сечений трехпролетной рамы с концевьми стойками

Схема рамы и вид линии влияния

k

ω 1 :l2

ω 2 :l12

ω 3 :l2

ω 4 :l2

2

0,01527

-0,00379

0,00370

-0,00003

4

0,00952

-0,00269

0,00258

-0,00001

6

0,00692

-0,00205

0,00196

0

8

0,00543

-0,00165

0,00158

0

10

0,00448

-0,00138

0,00132

0

2

-0,03379

0,00757

-0,00409

-

4

-0,02106

0,00538

-0,00314

-

6

-0,01529

0,00410

-0,00247

-

8

-0,01201

0,00330

-0,00202

-

10

-0,00988

0,00276

-0,00171

-

2

0,07248

-0,01515

0,00328

-

4

0,07974

-0,01882

0,00493

-

6

0,08301

-0,02049

0,00578

-

8

0,08487

-0,02145

0,00630

-

10

0,08606

-0,02208

0,00665

-

2

-0,07125

-0,03788

0,01065

-

4

-0,06946

-0,04301

0,01300

-

6

-0,06868

-0,04508

0,01402

-

8

-0,06825

-0,04620

0,01462

-

10

-0,06799

-0,04691

0,01501

-

2

-0,01555

0,01136

-0,00131

0,00171

4

-0,009510

0,00672

-0,00079

0,000890

6

-0,006870

0,00478

-0,00056

0,00060

8

-0,00537

0,00371

-0,00044

0,00045

10

-0,00441

0,00304

-0,00037

0,00036

2

0,02783

-0,02273

0,00316

-0,00069

4

0,01702

-0,01344

0,00205

-0,00026

6

0,01228

-0,00950

0,00158

-0,00019

8

0,00960

-0,00743

0,00125

-0,00012

10

0,00788

-0,00607

0,00102

-0,00007

2

-0,04342

-0,06060

0,01312

-

4

-0,05243

-0,05645

0,01479

-

6

-0,05640

-0,05464

0,01511

-

8

-0,05865

-0,05363

0,01575

-

10

-0,06011

-0,05298

0,01596

-

2

-0,01392

0,10985

-0,01392

-

4

-0,01869

0,09543

-0,01869

-

6

-0,01980

0,08948

-0,01980

-

8

-0,02090

0,08622

-0,02090

-

10

-0,02163

0,08416

-0,02163

-

Приближенно усилия от температуры и тормозной силы в двухпролетной раме с концевыми стойками могут быть определены по нижеследующим формулам (рис. 47).

Рис. 47. Эпюры моментов в двухпролетной раме:
а - от температуры; б - от тормозной силы

Усилия от температуры:

где α - коэффициент линейного удлинения;

t - изменение температуры.

Усилия от тормозной силы:

Приближенно усилия от температуры и тормозной силы в трехпролетной раме с, концевыми стойками могут быть определены по нижеследующим формулам (рис. 48).

Рис. 48. Эпюры моментов в трехпролетной раме:
а - от температуры; б - от тормозной силы

Усилия от температуры:

в сечениях ригеля

в сечениях стоек

Здесь:

где α - коэффициент линейного удлинения;

t - изменение температуры.

Усилия от тормозной силы:

Глава 12

ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА АРОК

В данной главе приведены формулы и некоторые указания для определения усилии в арках и сводах, а также данные для построения оси арок и назначения ряда геометрических характеристик их.

Приводимые данные могут быть использованы при эскизном проектировании арочных мостов.

Для более точного и окончательного расчета арок применяют аналитические методы строительной механики, а также используют существующие ускоренные способы расчета сводов с помощью таблиц, разработанных различными авторами, например: способ Штрасснера с поправками и дополнениями К.С. Завриева, способ П.С. Морозова, способ Маннинга и др.

Для расчета арок с затяжкой с вертикальными, а также наклонными подвесками удобно пользоваться методами расчета этих систем, изложенными в книге А.Я. Аствацатурова («Расчет мостовых арок с вертикальными наклонными подвесками». Дориздат, 1952).

§ 36. Очертание осей арок

Наиболее часто ось арки назначается по следующим кривым:

а) по квадратной параболе

 (рис. 49);

 (рис. 50);

Рис. 49. Геометрия оси арок. Начало координат в пяти

Рис. 50. Геометрия оси арок Начало координат в ключе

величины ординат y (см. рис. 53) приведены в таблице 179;

б) по дуге круга (см. табл. 179);

в) по катеноиду Легея-Штрасснера (очерчанне оси арки по кривой давления от постоянной нагрузки)

Величина y' представляет ординату оси свода, отсчитываемой от касательной в замке (см. рис. 50).

gп и gк - значения интенсивностей постоянной нагрузки (на 1 пог. м арки в пяте и ключе, рис. 51).

Для сплошного надсводного строения (рис. 52):

gк = γ dк + γ1 hк; gп = γ cп + γ1 hп,

где γ - объемный вес материала свода;

γ1 - объемный вес материала надсводного строения.

В случае сквозного надсводного строения условно принимают:

 (см. рис. 51),

Рис. 51. Схема арки со сквозным надарочным строением

где p 1 - вес 1 пог. м надсводного строения без стоек;

P - вес стойки в пяте;

λ - расстояние между стойками.

Величины ординат оси y' - приведены в табл. 178.

Рис. 52. Схема для определения постоянной нагрузки и пяте

Ось арок стальных мостов обычно очерчивается по одной из простых кривых: по квадратной параболе (подъемистые арки) или по кругу (пологие арки), простота геометрии которых обеспечивает большую простоту разметки и изготовления арки.

Ось арок железобетонных и в особенности каменных мостов, требующих более строгого соблюдения условия совпадения ее с линией давления от постоянной нагрузки, обычно принимается по катеноиду Легея.

Т а б ли ца 178

Ординаты оси свода y' по уравнению катеноида при f = 1 (табличные значения необходимо множить на f)

Значения ординат y ' в сечениях

0 пята

1

2

3

4

5

6 четверть

7

8

9

10

11

12 замок

1,000

1,000

0,8403

0,6944

0,5625

0,4444

0,3403

0,2500

0,1736

0,1111

0,0625

0,0278

0,0070

0

1,347

1,000

0,8331

0,6831

0,5493

0,4312

0,3284

0,2400

0,1660

0,1059

0,0594

0,0264

0,0066

0

1,756

1,000

0,8256

0,6714

0,5359

0,4179

0,3163

0,2300

0,1584

0,1007

0,0563

0,0249

0,0062

0

2,240

1,000

0,8180

0,6595

0,5223

0,4044

0,3042

0,2200

0,1508

0,0955

0,0532

0,0235

0,0059

0

2,814

1,000

0,8101

0,6473

0,5085

0,3908

0,2920

0,2100

0,1432

0,0903

0,0502

0,0221

0,0055

0

3,500

1,000

0,8019

0,6348

0,4944

0,3771

0,2798

0,2000

0,1357

0,0852

0,0472

0,0208

0,0052

0

4,324

1,000

0,7935

0,6221

0,4801

0,3632

0,2675

0,1900

0,1282

0,0802

0,0443

0,0194

0,0048

0

5,321

1,000

0,7849

0,6090

0,4656

0,3491

0,2552

0,1800

0,1208

0,0751

0,0413

0,0181

0,0045

0

6,536

1,000

0,7758

0,5955

0,4507

0,3349

0,2428

0,1700

0,1133

0,0701

0,0384

0,0168

0,0041

0

8,031

1,000

0,7664

0,5816

0,4356

0,3205

0,2303

0,1600

0,1060

0,0652

0,0356

0,0155

0,0038

0

9,889

1,000

0,7567

0,5673

0.4200

0,3059

0,2177

0,1500

0,0986

0,0603

0,0327

0,0142

0,0035

0

Примечание. Значения m в таблице подобраны так, что величины у' для четверти пролета изменяются в пределах от 0,15 до 0,25 через 0.01. При значении m = 1 катеноид превращается в параболу.

Рис. 53. Схема к построению параболической оси арки по табл. 179

Таблица 179

Значения ординат y для оси параболических и круговых сводов при f = 1,0 (рис. 53)

№ сечений

Абсцисса сечения α

Значения ординат оси свода

Множитель

параболические своды

круговые своды при f / L равном

1/2

1/3

1/4

1/5

1/6

1/7

1'

0,025

0,0975

-

-

-

-

-

-

f

1

0,05

0,190

0,436

0,284

0,240

0,218

0,210

0,201

2'

0,075

0,2775

-

-

-

-

-

-

2

0,10

0,36

0,600

0,475

0,412

0,398

0,390

0,380

3

0,15

0,51

0,714

0,615

0,570

0,568

0,542

0,533

4

0,20

0,64

0,800

0,729

0,700

0,665

0,660

0,656

5

0,25

0,75

0,866

0,815

0,790

0,775

0,770

0,763

6

0,30

0,84

0,917

0,885

0,870

0,865

0,850

0,847

7

0,35

0,91

0,954

0,936

0,928

0,920

0,918

0,916

8

0,40

0,96

0,980

0,975

0,963

0,962

0,961

0,960

9

0,45

0,99

0,995

0,995

0,992

0,991

0.990

0,990

10

0,50

1,00

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

§ 37. Изменение сечений арок

Бесшарнирные арки

В бесшарнирных арках момент инерции сечении обычно убывает от пят к замку. Изменение сечений по длине пролета для массивных мостов рекомендуется принимать по закону Штрасснера:

где  - (см. рис. 51);

Iк и Ix - момент инерции сечения соответственно в ключе и в сечении с абсциссой ;

n - параметр, характеризующий изменение сечения;

φx - угол наклона сечения с абсциссой x'.

При ξ = 1 (сечение в пяте):

где Iп - момент инерции сечения в пяте;

φп - угол наклона пятового сечения.

При n = 1 закон Штрасснера переходит в более простой закон косинуса;

Коэффициент n в формуле Штрасснера для автодорожных и городских мостов в зависимости от соотношения постоянной и временной нагрузок принимается:

для железобетонных арок равным 0,3;

для бетонных и каменных сводов равным 0,40 - 0,60.

Закон изменения сечений по формуле Штрасснера наиболее часто применяется для прямоугольных сечений постоянной ширины. Однако его возможно применить и для других сечений, если их размеры подчинить некоторым соотношениям. В табл. 180 приведены формулы основных размеров сечений трех типов - сплошные прямоугольные, коробчатые и двутавровые - при постоянной и переменной ширине, удовлетворяющих формуле Штрасснера.

Таблица 180

Формулы размеров сечений, удовлетворяющих закону Штрасснера 1

Размеры сечений

Сплошные сечения

Коробчатые и двутавровые сечения

при постоянном ширине

при переменной ширине

при постоянном ширине

при переменной ширине

Ширина в сечении х , ax

a к

a к

Момент инерции в ключе I к

Момент инерции в сечении х' , Ix

1 - (1 - n) ξ

1 - (1 - n) ξ

1 - (1 - n) ξ

1 - (1 - n) ξ

1 - (1 - n )ξ

Высота в сечении х' , hx

Типы сечений

1 Н.И. Поливанов. Железобетонные мосты. Изд. МКХ, 1947.

Примечание. Принятые обозначения:

При изменении ширины по квадратной или кубической параболе r = 2 или 3.

Вычисление величин tg 2 φх и c может быть произведено с помощью таблиц 181 и 182, составленных в зависимости от параметров m и n .

Таблица 181

Величины

Параметр m

Значения  для сечений

0 (пята)

1

2

3

4

5

6 (четверть)

7

8

9

10

11

12 (ключ)

y 1 1/4 l

1,000

16,000

13,444

11,111

9,000

7,111

5,444

4,000

2,778

1,778

1,000

0,444

0,111

0

0,25

1,347

17,780

14,447

11,576

9,117

7,023

5,258

3,788

2,588

1,633

0,910

0,401

0,100

0

0,24

1,756

19,722

15,504

12,074

9,224

6,926

5,067

3,578

2,402

1,495

0,823

0,360

0,089

0

0,23

2,240

21,841

16,620

12,526

9,322

6,820

4,874

3,371

2,223

1,363

0,741

0,322

0,079

0

0,22

2,814

24,150

17,796

13,010

9,409

6,704

4,677

3,166

2,049

1,237

0,665

0,286

0,070

0

0,21

3,500

26,676

19,038

13,499

9,485

6,578

4,477

2,964

1,882

1,118

0,593

0,253

0,062

0

0,20

4,324

29,441

20,351

13,993

9,548

6,442

4,274

2,765

1,720

1,004

0,525

0,222

0,054

0

0,19

5,321

32,476

21,741

14,490

9,597

6,294

4,068

2,569

1,564

0,898

0,462

0,193

0,046

0

0,18

6,536

35,812

23,208

14,988

9,629

6,134

3,858

2,376

1,415

0,796

0,404

0,167

0,040

0

0,17

8,031

39,494

24,765

15,487

9,643

5,962

3,644

2,187

1,272

0,701

0,350

0,143

0,034

0

0,16

9,889

43,572

26,420

15,985

9,637

5,776

3,428

2,001

1,143

0,612

0,300

0,121

0,028

0

0,15

Таблица 182

Величины коэффициента c

Параметр n

Значения c для сечений

0 (пята)

1

2

3

4

5

6 (четверть)

7

8

9

10

11

12 (ключ)

1

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

0,8

1,077

1,070

1,063

1,056

1,049

1,042

1,036

1,029

1,023

1,017

1,011

1,006

1,000

0,6

1,186

1,164

1,145

1,126

1,109

1,093

1,077

1,063

1,049

1,036

1,023

1,011

1,000

0,5

1,260

1,227

1,197

1,170

1,145

1,122

1,101

1,081

1,063

1,046

1,029

1,014

1,000

0,4

1,357

1,305

1,260

1,221

1,186

1,154

1,126

1,101

1,077

1,056

1,036

1,017

1,000

0,3

1,494

1,408

1,339

1,282

1,233

1,191

1,154

1,122

1,093

1,066

1,042

1,020

1,000

0,25

1,587

1,474

1,387

1,317

1,260

1,211

1,170

1,133

1,101

1,072

1,046

1,022

1,000

0,20

1,710

1,554

1,442

1,357

1,289

1,233

1,186

1,145

1,109

1,077

1,049

1,023

1,000

0,15

1,882

1,655

1,508

1,403

1,322

1,256

1,203

1,157

1,117

1,083

1,052

1,025

1,000

Примечание. При отсутствии в табл. 181 подходящего значения m величину tg φх можно вычислить по уравне нию

Двухшарнирные арки

Закон изменения поперечных сечений двухшарнирных массивных арок может быть принят по формуле:

Iх = Iк cosφх

или по формуле инж. Шало:

где

Iк , Iп и Ix - моменты инерции соответственно в ключе, пяте и в сечении с абсциссой х' .

Высота сечений по Шало определяется формулой:

Для автодорожных и городских мостов можно принять значение

Трехшарнирные арки

Высогы сечения в ключе h к в пятах h п и в четверти пролета h 1/4 l назначают при выборе основных размеров.

Если высоты сечения убывают от четверти пролета к ключу и пятам (что соответствует эпюре наибольших моментов), то изменение высот сечений по длине пролета может быть принято по параболическому закону:

hх = hк + ( hп - hк + 4∆)ξ - 4∆ξ2,

где

§ 38. Определение усилий в бесшарнирных арках

Все приводимые ниже таблицы и формулы предназначены для использования их при составлении проектного задания, когда обычно удовлетворяются расчетом трех сечений полуарки: пяты, четверти пролета и ключа.

Определение усилий по таблицам Штрасснера

В этом случае очертание оси арки принимается по катеноиду и закон изменения сечений по формуле Штрасснера.

Основной распор от постоянной нагрузки без учета упругого обжатия:

где kg - коэффициент по табл. 183;

l и f - пролет и стрелка, м;

gк - интенсивность нагрузки в ключе, т/пог.м.

Вертикальная опорная реакция:

V = kvgк l ,

где kv - коэффициент по табл. 183.

Таблица 183

Величины коэффициентов kg и kv для вычисления опорных реакций от постоянной нагрузки без учета обжатия

m

1,000

1,347

1,756

2,240

2,814

3,500

4,324

5,321

6,536

8,031

9,889

kg

1250

1320

1397

1483

1579

1687

1808

1946

2104

2287

2499

kv

0,5000

0,5660

0,6206

0,6933

0,7761

0,8713

0,9812

1,1092

1,2593

1,4370

1,6496

Дополнительный распор от упругого обжатия, приложенный в упругом центре (по формуле Штрасснера и К.С. Завриева):

где

 - радиус инерции сечения арки в ключе.

Для прямоугольного сечения формула для μ1 принимает вид:

Значения коэффициентов  и ν1 приведены с таблицах 184 и 185. Дополнительный распор ∆ Hg приложен в упругом центре на расстоянии yк от центра ключа и имеет направление, указанное на рис. 54. Значение yк определяется по табл. 186.

Рис. 54. Схема к определению распора от упругого обжатия

Таблица 184

Величины коэффициента

Параметр m

Значении  при параметре n , равном

1,00

0,80

0,60

0,50

0,40

0,30

0,25

0,20

0,15

1,000

0,0889

0,0775

0,0653

0,0588

0,0520

0,0448

0,0410

0,0370

0,0329

1,347

0,0875

0,0761

0,0640

0,0577

0,0509

0,0437

0,0400

0,0361

0,0320

1,756

0,0363

0,0750

0,0629

0,0566

0,0498

0,0428

0,0390

0,0352

0,0312

2,240

0,0847

0,0736

0,0616

0,0553

0,0486

0,0417

0,0380

0,0342

0,0302

2,814

0,0834

0,0722

0,0604

0,0541

0,0475

0,0407

0,0370

0,0332

0,0294

3,500

0,0821

0,0710

0,0593

0,0530

0,0466

0,0396

0,0361

0,0323

0,0285

4,324

0,0807

0,0697

0,0581

0,0519

0,0455

0,0386

0,0351

0,0314

0,0276

5,321

0,0793

0,0684

0,0568

0,0507

0,0443

0,0376

0,0341

0,0305

0,0267

6,536

0,0779

0,0671

0,0556

0,0496

0,0432

0,0366

0,0331

0,0295

0,0258

8,031

0,0766

0,0658

0,0544

0,0434

0,0422

0,0356

0,0322

0,0286

0,0250

9,889

0,0750

0,0644

0,0532

0,0472

0,0411

0,0346

0,0312

0,0277

0,0241

Таблица 185

Значения коэффициента v 1 по К.С. Завриеву (к расчету дополнительного распора от упругого обжатии свода нормальными силами от постоянной нагрузки)

n

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

Значения v 1

1

3

0,87

0,90

0,94

0,97

0,99

1,02

1,05

1

4

0,91

0,95

0,99

1,01

1,04

1,03

1,12

1

5

0,94

0,98

1,02

1,04

1,07

1,11

1,15

1

6

0,96

1,00

1,04

1,06

1,09

1,13

1,17

1

8

0,97

1,01

1,05

1,08

1,11

1,14

1,18

1

10

0,98

1,02

1,06

1,09

1,12

1,15

1,19

Таблица 186

Значения

Параметр m

Величина   при параметре n , равном

1,00

0,80

0,60

0,50

0,40

0,30

0,25

0,20

0,15

1,000

0,3333

0,3148

0,2917

0,2778

0,2619

0,2436

0,2333

0,2222

0,2101

1,347

0,3262

0,3079

0,2850

0,2713

0,2556

0,2374

0,2273

0,2163

0,2044

1,756

0,3190

0,3009

0,2783

0,2647

0,2491

0,2312

0,2212

0,2103

0,1985

2,240

0,3117

0,2938

0,2714

0,2580

0,2427

0,2250

0,2150

0,2043

0,1926

2,814

0,3044

0,2867

0,2646

0,2513

0,2362

0,2187

0,2089

0,1983

0,1867

3,500

0,2970

0,2795

0,2577

0,2446

0,2296

0,2124

0,2027

0,1922

0,1808

4,324

0,2895

0,2723

0,2507

0,2378

0,2230

0,2060

0,1964

0,1861

0,1748

5,321

0,2820

0,2650

0,2437

0,2309

0,2164

0,1996

0,1901

0,1799

0,1688

6,536

0,2743

0,2576

0,2366

0,2240

0,2097

0,1931

0,1838

0,1738

0,1628

8,031

0,2666

0,2501

0,2294

0,2170

0,2029

0,1865

0,1774

0,1675

0,1567

9,889

0,2587

0,2424

0,2221

0,2099

0,1960

0,1799

0,1709

0,1612

0,1506

Дальнейшая последовательность расчета приведена в таблицах 187, 188 и 193.

Таблица 187

Последовательность расчета на постоянную нагрузку

№ п/п

Элементы расчета

Расчетные сечения

Примечание

пята

четверть

ключ

1

cosφ

2

Нормальная сила без учета упругого обжатия:

Hg и Ng - для всех сечений положительны

3

Дополнительная нормальная сила от упругого обжатия:

Ng = ∆ Hg cos φ

Hg и ∆ Ng - для всех сечений отрицательны

4

Полная нормальная сила:

Ng + ∆ Ng

Суммируются пп. 2 и 3 с учетом знаков

5

Ординаты y ' , считая от оси, проходящей через центр замкового сечении (см. рис. 51)

6

Ординаты y , считая от оси, проходящей через упругий центр:

y = yк - y '

(см. рис. 54)

Знаки y : в пяте -; в ключе +; в четверти + или -

7

Изгибающий момент от упругого обжатия:

Mg = -∆ Hgy

Hg и y подставляются в формулу со своими знаками

8

Площадь сечения

F

9

Момент сопротивления

W

10

Напряжения от сжатия:

Из пп. 4 и 8

11

Напряжения от изгиба в верхнем волокне:

Mg из п. 7 со своим знаком

12

Напряжения от изгиба в нижнем волокне:

Mg из п. 7 со своим знаком

13

Напряжения в верхнем волокне:

Суммируются пп. 10 и 11 с учетом знаков

14

Напряжения в нижнем волокне:

Суммируются пп. 10 и 12 с учетом знаков

Таблица 188

Последовательность расчета на температурные воздействия

№ п/п

Элементы расчета

Расчетные сечения

Примечание

пята

четверть

ключ

I . Понижение температуры

1

cosφ

2

Нормальная сила:

Nt = Ht(-) cosφ

(-)

(-)

(-)

3

Ординаты y м

Из п. 6 табл. 187

4

Изгибающий момент:

Mt = - Ht(-) y

Ht(-) и y подставляются в формулу со своими знаками

5

Площадь сечения

F

Из п. 8 табл. 187

6

Момент сопротивления

W

7

Напряжения от нормальной силы:

Из пп. 2 и 5 Nt подставляется со своим знаком

8

Напряжении от изгиба и верхнем волокне

Mt из п. 4 со своими знаками

9

Напряжение от изгиба в нижнем волокне:

То же

10

Расчетные напряжения в верхнем волокне:

Суммируются пп. 7 и 8 со своими знаками

11

Расчетные напряжения в нижнем волокне:

Суммируются пп. 7 и 9 с учетом знаков

II . Повышение температуры

12

Расчетные напряжения в верхнем волокне:

σв

Получается умножением данных п. 10 настоящей таблицы с учетом знаков на коэффициент, равный

13

То же, в нижнем волокне:

σн

Получается умножением строки 11 на тот же коэффициент, равный k

Распор от температуры определяется по формуле:

 - при повышении температуры на + t°;

 - при понижении температуры на - t°.

где E - модуль упругости материала свода.

Расчетные колебания температуры отсчитывают от температуры замыкания.

Дли этого, пользуясь картами июльских и январских изотерм (см. рисунки 112 - 114), определяют температуру оси свода:

Tоси в июле - наивысшая;

T оси в январе - наинизшая.

Температуру замыкания свода Tзам принимают в зависимости от климата местности в пределах от +5° до +15°.

При этих обозначениях расчетные колебания температуры будут определяться:

Расчетное повышение температуры:

t пов = Tоси виюле - Tзам.

Расчетное понижение температуры:

t пов = Tоси в январе - Tзам.

Кроме того, учитывается условное добавочное понижение температуры за счет влияния усадки материала по ТУ.

Распор от температуры Ht приложен в упругом центре (рис. 55).

Рис. 55. Схема к определению усилии от температуры

Последовательность расчета на температурные воздействия приведена в табл. 188.

При определении усилии от временной нагрузки можно пользоваться эквивалентными нагрузками, используя линии влияния (рис. 56), площади которых определяются по табл. 189; длины отдельных участков загружения λ 1 и λ 2 принимаются по табл. 190.

Рис. 56. Линии влияния усилии и бесшарнирной арке

Таблица 189

Значения коэффициента α для вычисления площадей линий влиянии моментов, распора и поперечных сил

Сечение

Усилие

Величины коэффициентов α при параметре n , равном

1,00

0,80

0,60

0,50

0,40

0,30

0,25

0,20

0,15

m = 1,00

Замок

Макс. M

+0,0054

-0,0052

+0,0049

+0,0047

+0,0046

+0,0044

-0,0043

+0,0041

+0,0040

Соотв. H 1

+0,060

+0,059

+0,059

+0,059

+0,059

+0,059

-0,059

+0,059

+0,059

Мин. M

-0,0027×2

-0,0026×2

-0,0024×2

-0,0024×2

-0,0023×2

-0,0022×2

-0,0022×2

-0,0020×2

-0,0020×2

Соотв. H 2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

+0,033×2

Четверть

Макс. M

+0,0090

+0,0088

+0,0085

+0,0083

+0,0080

+0,0076

+0,0074

+0,0071

+0,0068

Соотв. H 1

+0,040

+0,039

+0,038

+0,037

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,081

Соотв. Q 1

-

+0,0975

+0,096

+0,0945

+0,093

+0,0915

+0,090

+0,0885

+0,087

Мин. M

-0,0090

-0,0088

-0,0085

-0,0083

-0,0080

-0,0076

-0,0074

-0,0071

-0,0068

Соотв. H 2

+0,085

+0,086

+0,087

+0,088

+0,089

+0,090

-0,091

+0,092

+0,094

Соотв. Q 2

-

+0,1525

+0,154

+0,1555

+0,157

+0,1585

+0,160

+0,1675

+0,163

Пята

Макс. M

+0,0171

+0,0177

+0,0186

+0,0192

+0,0200

+0,0211

+0,0217

+0,0226

+0,0236

Соотв. H 1

+0,085

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

+0,087

+0,087

+0,087

Соотв. Q 1

-

+0,150

+0,149

+0,1475

+0,146

+0,145

+0,144

+0,143

+0,142

Мин. M

-0,0171

-0,0177

-0,0186

-0,0192

-0,0200

-0,0211

-0,0217

-0,0226

-0,0236

Соотв. H 2

+ 0,040

+0,039

+0,039

+0,039

+0,039

+0,039

+0,038

+0,038

+0,038

Соотв. Q 2

-

+0,350

+0,351

+0,3525

+0,354

+0,355

+0,356

+0,357

+0,358

m = 2,24

Замок

Макс. M

+0,0065

+0,0062

+0,0059

+0,0056

+0,0054

+0,0052

+0,0050

+0,0049

+0,0047

Соотв. H 1

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

+0,067

Мин. M

-0,0022×2

-0,0022×2

-0,0022×2

-0,0020×2

-0,0020×2

-0,0019×2

-0,0019×2

-0,0019×2

-0,0018×2

Соотв. H 2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

Четверть

Макс. M

+0,0086

+0,0084

+0,0081

+0,0079

+0,0076

+0,0073

+0,0070

+0,0068

+0,0064

Соотв. H 1

+0,039

+0,038

+0,038

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,032

+0,031

Соотв. Q 1

-

+0,0915

+0,090

+0,0885

+0,087

+0,0855

+0,084

+0,0825

+0,081

Мин. M

-0,0099

-0,0098

-0,0095

-0,0093

-0,0090

-0,0087

-0,0084

-0,0082

-0,0077

Соотв. H 2

+0,089

+0,090

+0,091

+0,093

+0,094

+0,095

+0,097

+0,098

+0,099

Соотв. Q 2

-

+0,1585

+0,160

+0,1615

+0,163

+0,1645

+0,166

+0,1675

+0,169

Пята

Макс. M

-0,0204

+0,0209

+0,0220

+0,0228

+0,0237

+0,0249

+0,0260

+0,0269

+0,0281

Соотв. H 1

+0,091

-0,092

+0,092

+0,093

+0,093

+0,093

-0,094

+0,094

+0,095

Соотв. Q 1

-

-0,1640

+0,1625

+0,161

+0,160

+0,159

+0,1575

+0,156

+0,155

Мин. M

-0,0156

-0,0161

-0,0170

-0,0175

-0,0182

-0,0192

-0,0198

-0,0205

-0,0214

Соотв. H 2

+0,037

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

+0,036

Соотв. Q 2

-

+0,336

+0,3375

+0,339

+0,340

+0,341

+0,3425

+0,344

+0,345

m = 3,500

Замок

Макс. M

+0,0073

+0,0069

+0,0065

+0,0063

+0,0060

+0,0057

+0,0055

+0,0053

+0,0051

Соотв. H 1

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,072

+0,073

Мин. M

-0,0021×2

-0,0020×2

-0,0020×2

-0,0019×2

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0017×2

-0,0016×2

Соотв. H 2

+0,029×2

+0,029×2

+0,029×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

+0,030×2

Четверть

Макс. M

+0,0083

+0,0081

+0,0078

+0,0076

+0,0073

+0,0070

+0,0068

+0,0065

+0,0062

Соотв. H 1

+0,039

+0,038

+0,038

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,032

+0,031

Соотв. Q 1

-

+0,088

+0,0865

+0,084

+0,086

+0,083

+0,0815

+0,080

+0,079

Мин. M

-0,0104

-0,0103

-0,0101

-0,0099

-0,0097

-0,0094

-0,0092

-0,0089

-0,0085

Соотв. H 2

+0,090

+0,092

+0,093

+0,095

+0,096

+0,098

+0,099

+0,101

+0,103

Соотв. Q 2

-

+0,162

+0,1635

+0,165

+0,166

+0,167

+0,1685

+0,170

+0,171

Пята

Макс. M

-0,0224

+0,0231

+0,0245

+0,0253

+0,0263

+0,0279

+0,0283

+0,0300

+0,0313

Соотв. H 1

+0,094

-0,095

+0,095

+0,096

+0,096

+0,097

-0,097

+0,098

+0,100

Соотв. Q 1

-

-0,170

+0,169

+0,168

+0,167

+0,166

+0,165

+0,164

+0,163

Мин. M

-0,0145

-0,0150

-0,0159

-0,0164

-0,0170

-0,0180

-0,0186

-0,0192

-0,0201

Соотв. H 2

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,035

+0,034

+0,034

Соотв. Q 2

-

+0,300

+0,31

+0,32

+0,33

+0,34

+0,35

+0,36

+0,37

m = 5,321

Замок

Макс. M

+0,0082

+0,0079

+0,0074

+0,0071

+0,0068

+0,0065

+0,0063

+0,0060

+0,0058

Соотв. H 1

+0,078

+0,078

+0,078

+0,078

+0,078

+0,078

+0,079

+0,079

+0,079

Мин. M

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0018×2

-0,0016×2

-0,0016×2

-0,0015×2

-0,0015×2

-0,0014×2

-0,0014×2

Соотв. H 2

+0,027×2

+0,027×2

+0,028×2

+0,028×2

+0,028×2

+0,029×2

+0,029×2

+0,029×2

+0,030×2

Четверть

Макс. M

+0,0081

+0,0079

+0,0076

+0,0074

+0,0071

+0,0067

+0,0065

+0,0063

+0,0059

Соотв. H 1

+0,039

+0,038

+0,037

+0,036

+0,035

+0,034

+0,033

+0,032

+0,031

Соотв. Q 1

-

+0,084

+0,0825

+0,081

+0,080

+0,079

+0,0775

+0,076

+0,075

Мин. M

-0,0110

-0,0110

-0,0108

-0,0107

-0,0105

-0,0101

-0,0099

-0,0097

-0,0093

Соотв. H 2

+0,093

+0,094

+0,096

+0,098

+0,100

+0,101

+0,103

+0,105

+0,107

Соотв. Q 2

-

+0,166

+0,1675

+0,169

+0,170

+0,171

+0,1725

+0,174

+0,175

Пята

Макс. M

+0,0248

+0,0256

+0,0270

+0,0279

+0,0293

+0,0307

+0,0319

+0,0333

+0,0349

Соотв. H 1

+0,099

+0,099

+0,100

+0,101

+0,102

+0,103

+0,103

+0,104

+0,105

Соотв. Q 1

-

+0,177

+0,176

+0,175

+0,174

+0,173

+0,172

+0,171

+0,170

Мин. M

-0,0135

-0,0140

-0,0148

-0,0153

-0,0159

-0,0167

-0,0173

-0,0179

-0,0187

Соотв. H 2

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

+0,033

Соотв. Q 2

-

+0,323

+0,324

+0,325

+0,326

+0,327

+0,328

+0,329

+0,330

m = 8,031

Замок

Макс. M

+0,0093

+0,0089

+0,0083

+0,0080

+0,0075

+0,0072

+0,0070

+0,0067

+0,0065

Соотв. H 1

+0,085

+0,085

+0,085

+0,085

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

+0,086

Мин. M

-0,0016 × 2

-0,0016 × 2

-0,0014 × 2

-0,0014 × 2

-0,0014 × 2

-0,0013 × 2

-0,0012 × 2

-0,0012 × 2

-0,0012 × 2

Соотв. H 2

+0,024 × 2

+0,025 × 2

+0,026 × 2

+0,026 × 2

+0,026 × 2

+0,026 × 2

+0,027 × 2

+0,028 × 2

+0,028 × 2

Четверть

Макс. M

+0,0078

+0,0076

+0,0073

+0,0071

+0,0068

+0,0065

+0,0063

+0,0060

+0,0057

Соотв. H 1

+0,039

+0,039

+0,038

+0,036

+0,035

+0,034

+0,034

+0,033

+0,032

Соотв. Q 1

-

+0,0835

+0,082

+0,0805

+0,079

+0,0775

+0,076

+0,0745

+0,073

Мин. M

-0,0115

-0,0115

-0,0114

-0,0113

-0,0111

-0,0109

-0,0107

-0,0104

-0,0101

Соотв. H 2

+0,095

+0,096

+0,098

+0,101

+0,103

+0,105

+0,106

+0,108

+0,110

Соотв. Q 2

-

+0,1665

+0,168

+0,1695

+0,171

+0,1725

+0,174

+0,1755

+0,177

Пята

Макс. M

+0,0271

+0,0282

+0,0295

+0,0307

+0,0319

+0,0338

+0,0352

+0,0367

+0,0386

Соотв. H 1

+0,101

+0,102

+0,103

+0,104

+0,105

+0,106

+0,108

+0,109

+0,110

Соотв. Q 1

-

+0,185

+0,184

+0,183

+0,1815

+0,180

+0,179

+0,178

+0,177

Мин. M

-0,0126

-0,0131

-0,0137

-0,0142

-0,0148

-0,0155

-0,0160

-0,0166

-0,0173

Соотв. H 2

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

+ 0,032

+0,032

+0,032

+0,032

+0,032

Соотв. Q 2

-

+0,315

+0,316

+0,316

+0,318

+0,320

+0,321

+0,321

+0,323

Таблица 190

Значения длин затруднении λ1 и λ2 (к рис. 56)

m

Пята

Замок

Четверть

λ 1

λ 2

λ 1

λ 2

λ 1

λ 2

1,000

0,40

0,60

0,25

0,375

0,38

0,62

1,347

0,40

0,60

0,26

0,370

0,38

0,62

2,240

0,38

0,62

0,28

0,360

0,38

0,62

3,500

0,37

0,63

0,30

0,350

0,37

0,63

5,321

0,36

0,64

0,32

0,340

0,37

0,63

8,031

0,35

0,65

0,35

0,325

0,36

0,64

0,889

0,34

0,66

0,37

0,315

0,36

0,64

Площади линий влияния исчисляются по формулам:

для M1

ω = α l2;

для соответствующего H

для соответствующего Q

ω = α l,

где α - коэффициенты из табл. 189.

Расчет производится в следующем порядке:

Соответственно данным параметрам m и n из табл. 189 находят значения max M 1 и соответствующие ему H1 и Q1 и min M 1 с соответствующими H2 и Q2 , после чего вычисляют:

Дальнейшая последовательность вычисления напряжений в сечениях свода от временной нагрузки при max M приведена в табл. 193. Вычисление напряжении при min M выполняется по аналогии для max M .

Данные для предварительного расчета

Для ускоренного предварительного расчета бесшарнирных арок можно воспользоваться следующими данными Н.И. Поливанова.

Ось арки принимается по параболе (рис. 57)

Рис 57. Геометрия бесшарнирной арки

и закон изменения сечений - по Штрасснеру при n = 0,3.

Тогда тригонометрические функции углов наклона оси арки будут:

в пяте

в четверти пролета

Высота арки:

в пяте

в четверти пролета

где hк - высота сечения в замке.

Усилия от равномерно распределенной нагрузки интенсивностью g (постоянная нагрузка) вычисляются по формулам:

вертикальная опорная реакция

Vg = 0,5 gl;

распор

момент в пяте

Здесь ys =0,244 f - ордината упругого центра;

 - коэффициент упругого обжатия,

где v1 - определяется по табл. 191;

iк - радиус инерции сечения в замке.

Таблица 191

Значении величины v и v1 в зависимости от

Величины

v

v 1

0,1

1,2

1,15

0,14

1,24

1,14

0,18

1,27

1,12

0,22

1,31

1,09

0,26

1,35

1,07

0,30

1,39

1,04

Усилия от нагрузки g в сечении арки с координатами х , y находятся по формулам:

Усилия от временной нагрузки находятся по формулам:

Здесь коэффициент упругого обжатия

где v - коэффициент по табл. 191.

Величины  и H определяются по линиям влияния (рис. 58). Для сечений в замке, четверти пролета и в пяте площади этих линий влияния приведены в табл. 192.

Рис. 58. Линии влияния усилий в бесшарнирной арке (для предварительного расчета)

Таблица 192

Площади участков линий влияния (к рис. 58)

Сечение

Загружение

Площади участков линий влияния

K

соответствующее H

соответствующее

В ключе

0,0044 l 2

0

-0,0044 l 2

0

0,0076 l 2

0,093 l

-0,0076 l 2

0,157 l

В пяте

0,0211 l 2

0,144 l

-0,0211 l 2

0,356 l

Усилие от температуры определяется по формулам:

распор

нормальная сила в сечении х

Nx = H t cosφx;

момент в сечении х

Mx = H t(f - y - ys),

где E - модуль упругости материала арки;

Iк - момент инерции ключевого сечения;

t - изменение температуры;

α - коэффициент линейного удлинения.

Формулы для расчета параболических бесшарнирных арок

При приближенном определении значений усилий можно использовать готовые решения для параболической арки, момент инерции сечения которой изменяется по закону косинуса:

Эти решения, приведенные в табл. 194 для различных случаев загружения, даны без учета упругого обжатия.

Величину распора с учетом упругого обжатия можно найти умножением табличных формул на коэффициент:

Для предварительного определения усилий с учетом влияния упругого обжатия для арок, очерченных по квадратной параболе или по кривой, близкой к ней по очертанию, при  и при сечениях постоянных или мало изменяющихся по длине арки, можно пользоваться следующими формулами для линий влияния реактивных усилий (см. рис. 56):

Таблица 193

Элементы расчета на временную нагрузку при загружении M max

с с"

Элементы расчета

Расчетные сечения

Примечание

пята

четверть

ключ

1

cosφ .

sin φ .

Площадь сечения F .

Момент сопротивления W

2

v 1 - по табл. 184

*  - по табл. 185

3

Ординаты y

По п. 6 табл. 187

4

Площадь линии влияния (для загружения на max M 1 )

ω 1

По табл. 189 для соответствующих m и n . Табличные коэффициенты умножать на l 2

5

Эквивалентная нагрузка P 1 (для соответствующей длины загружения линии влияния max M 1 )

По таблицам эквивалентных нагрузок с коэффициентом поперечной установки

6

max M 1 = P 1 ω 1 (без учета упругого обжатия)

7

Соответствующая площадь линии влияния для H 1

ω 2

По табл. 189

Табличные коэффициенты умножать на

8

Эквивалентная нагрузка P 2 (для загружения соответствующей площади влияния H 1 )

По таблицам эквивалентных нагрузок с коэффициентом поперечной установки

9

Соответствующий распор.

H 1 = P 2 ω 2

10

11

Полный момент:

12

Поперечная сила для пяты (при загружении на max M 1 ):

Значения PA - по таблицам эквивалентных нагрузок для соответствующего значения опорной реакции A (см. П и У 1948 г. примеч. к табл. 9)

13

Для пяты

 - поперечная сила - балочная.

При соответствующем загружении на max M 1

14

Для пяты:

H 1 = P 2 ω 2

Из п. 9

15

Продольная сила в пяте max M :

H 1 из п. 9

16

Продольная сила для четверти пролета:

H 1 из п. 9

17

Продольная сила для замка:

18

Напряжения для max M :

Примечание. Принятая в таблице последовательность заимствована из книги проф. Н.Я. Калмыкова «Каменные и бетонные мосты и трубы». Автотрансиздат, 1957.


Таблица 194

Формулы вертикальных опорных реакций, распора моментов опорных и в замке при различных загружениях параболических арок

Род нагрузки

Вертикальные опорные реакции

Распор H

Опорные моменты

Момент в замке MK

VA

VB

MA

MB

-

-

-

-

-

-

+ P (1 - β )2×

×(1 + 2 β )

+ P β 2 (3 - 2 β )

+ P

+ P

+ P

+ P

0

0

0

0

0

+ qlβ

+ qlβ

0

0

0

0

Равномерный нагрев на t °

0

0

Примечание. Принятые обозначения:

I к - момент инерции сечения в ключе;

E - модуль упругости материала арки;

α - коэффициент линейного удлинения материала арки.


§ 39. Определение усилий в двухшарнирных арках

Для эскизного расчета двухшарнирных арок, имеющих очертание оси по квадратной параболе с законом изменений сечений

 (см. стр, 348),

можно пользоваться следующими данными Н.И. Поливанова.

Тригонометрические функции углов оси арки (рис. 59):

в пяте

Рис. 59. Геометрия двухшарнирной арки в четверти пролета

в четверти пролета