РМГ 43-2001 Государственная система обеспечения единства измерений. Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений"
РМГ 43-2001
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕЖГОСУДАРСТВЕННОЙ СТАНДАРТИЗАЦИИ
Государственная система обеспечения
единства
измерений
ПРИМЕНЕНИЕ «РУКОВОДСТВА
ПО ВЫРАЖЕНИЮ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ИЗМЕРЕНИЙ»
МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОВЕТ ,
ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ, МЕТРОЛОГИИ И СЕРТИФИКАЦИИ
Минск
Предисловие
1 РАЗРАБОТАНЫ Всероссийским научно-исследовательским институтом метрологии им. Д.И . Менделеева ( ВНИ ИМ им. Д.И . Менделеева) Госстандарта России
ВНЕСЕНЫ Госстандартом России
2 ПРИНЯТЫ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол № 20 от 2 ноября 2001 г.)
За принятие проголосовали:
Наименование государства |
Наименование национального органа по стандартизации |
Азербайджанская Республика |
Азгосстанд арт |
Республика Армения |
Армгосстандарт |
Республика Беларусь |
Госстандарт Республики Беларусь |
Грузия |
Грузстандарт |
Республика Казахстан |
Госстандарт Республики Казахстан |
Кыргызская Республика |
Кы ргы зстандарт |
Республика Молдова |
Молд овастандарт |
Российская Федерация |
Госстандарт России |
Республика Таджикистан |
Тад жи кстандарт |
Туркменистан |
Глав госслу жба « Ту ркм енстанд артлары» |
Республика Узбекистан |
Узгосстандарт |
Украина |
Госстандарт Украины |
3 Постановлением Государственного комитета Российской Федерации по стандартизации и метрологии от 26 марта 2003 г. № 96- ст рекомендации по метрологии РМГ 43-2001 введены в действие непосредственно в качестве Рекомендаций по метрологии Российской Федерации с 1 июля 2003 г.
4 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ
СОДЕРЖАНИЕ
1 Область применения . 2 2 Нормативные ссылки . 3 3 Определения и обозначения . 3 4 Рекомендации по применению Руководства . 4 5 Соответствие между формами представления результатов измерений, используемыми в НД ГСИ по метрологии, и формой, используемой в Руководстве . 7 Приложение А. Сравнительный анализ двух подходов к выражению характеристик точности измерений . 9 Приложение Б. Пример оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений. Измерения силы электрического тока с помощью вольтметра и токового шунта . 12 Приложение В. Пример оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений. Измерения длины штриховой меры .. 16 Приложение Г. Значения коэффициента tp ( v ) для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с v степенями свободы .. 20 Приложение Д. Библиография . 21 |
Введение
В 1993 г. под эгидой Международного комитета мер и весов (МКМВ), Международной электротехнической комиссии (МЭ К), Международной организации по стандартизации ( ИСО), Международной организации по законодательной метрологии (МОЗМ), Международного союза по чистой и прикладной физике, Международного союза по чистой и прикладной химии и Международной федерации клинической химии разработано «Руководство по выражению неопределенности измерения» (далее - Руководство).
Целями Руководства являются:
- обеспечение полной информации о том, как составлять отчеты о неопределенностях измерений;
- предоставление основы для международного сопоставления результатов измерений;
- предоставление универсального метода для выражения и оценивания неопределенности измерений, применимого ко всем видам измерений и всем типам данных, которые используются при измерениях.
Су щ ествуют два подхода к оцениванию параметров (характеристик) точности измерений. Один подход основан на понятиях и терминах, используемых в Руководстве, другой - на понятиях и терминах, применяемых в основополагающих нормативных документах (НД) в области метрологии, используемых в национальных системах обеспечения единства измерений государств - участников Соглашения «О проведении согласованной политики в области стандартизации, метрологии и сертификации» (далее - Соглашение).
Задачами настоящих рекомендаций являются:
- изложение основных положений Руководства и рекомендаций по их практическому применению;
- сравнительный анализ двух подходов к описанию точности измерений;
- показ соответствия между формами представления результатов измерений, используемыми в основополагающих НД в области метрологии, и формой, используемой в Руководстве.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕЖГОСУДАРСТВЕННОЙ СТАНДАРТИ ЗА ЦИИ
Государстве н ная система обеспечения единства измерений
ПРИМЕНЕНИЕ «РУКОВОДСТВА ПО ВЫРАЖЕНИЮ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ»
Дата введения 2003-07-01
1 Область применения
Настоящие рекомендации распространяются на методы оценивания точности результатов измерений, содержат практические рекомендации по применению Руководства [ 1] и п оказывают соответствие между формами представления результатов измерений, принятыми в основополагающих нормативных документах (НД) по метрологии, применяемых в странах - участниках Соглашения, и формой, принятой в Руководстве.
2 Нормативные ссылки
В настоящих рекомендациях использованы ссылки на следующие стандарты и рекомендации:
ГОСТ 8.207-76 Государственная система обеспечения единства измерений. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения
ГОСТ 8.381-80 Государственная система обеспечения единства измерений. Эталоны. Способы выражения погрешностей
РМГ 29-99 Государственная система обеспечения единства измерений. Метрология. Основные термины и определения
3 Определения и обозначения
3.1 В настоящих рекомендациях использованы следующие основные термины, определенные в Руководстве:
неопределенность (измерений): Параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине;
стандартная неопределенность (и): Неопределенность результата измерений, выраженная в виде среднего кв ад рати ческого отклонения (СКО) ;
суммарная стандартная неопределенность (и с ): Стандартная неопределенность результата измерений, полученного через значения других величин, равная положительному квадратному корню суммы членов, причем члены являются дисперсиями или ковариациям и этих других величин, взвешенными в соответствии с тем, как результат измерений изменяется при изменении этих величин;
расширенная неопределенность ( U ) : Величина, определяющая интервал вокруг результата измерений, в пределах которого, как можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могли бы быть приписаны измеряемой величине.
3 .2 В настоящих рекомендациях использованы следующ ие обозначения:
xi - оценка i -й входной величины;
xij - i -й результат измерения i- й входной величины;
- среднее арифметическое значение i -й входной величины;
y - оценка измеряемой величины;
u - стандартная неопределенность;
u A - стандартная неопределенность, оцененная по типу А;
u B - стандартная неопределенность, оцененная по типу В;
u (x i ) - стандартная неопределенность оценки i -й входной величины;
ui - стандартная неопределенность единичного измерения i -й входной величины;
r ( xi , xj ) - коэффициент корреляции оценок i -й и j - й входных величин;
uc - суммарная стандартная неопределенность;
k - коэффициент охвата;
tp ( v ) - квантиль распределения Стьюдента для доверительной вероятности (уровня доверия) р и числа степеней свободы v ;
vi - число степеней свободы при вычислении неопределенности оценки i -й входной величины;
veff - эффективное число степеней свободы, принятое в Руководстве;
- оценка эффективного числа степеней свободы;
U - расширенная неопределенность;
Up - расширенная неопределенность для уровня доверия р ;
S - СКО случайной погрешности результата измерений;
S ( x i ) - СКО единичного измерения при многократных измерениях i -й входной величины;
- СКО среднего арифметического значения при многократных измерениях i -й входной в еличины;
S Σ - СКО суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей;
K - коэффициент при суммировании систематической и случайной составляющих суммарной погрешности, принятый в Н Д ГСИ по метрологии*;
* Здесь и далее обобщенная ссылка «НД ГСИ по метрологии» означает группу нормативных д окументов по разделу 2 и нормативные документы по при ложению Д - [ 2] и [ 3].
f эф - оценка эффективного числа степеней свободы, принятая в НД ГСИ по метрологии;
∆ p - доверительные границы суммарной погрешности результата измерений для доверительной вероятности p ;
zp - квантиль нормального распределения для доверительной вероятности p ;
θ i - границы i -й составляющ ей неисключенной систематической погрешности;
θ ( p ) - доверительные границы систематической погрешности измерения для доверительной вероятности р ;
bi - - нижняя граница отклонения измеряемой величины от результата измерений;
bi + - верхняя граница отклонения измеряемой величины от результата измерений;
bi - симметричные границы отклонения измеряемой величины от результата измерений.
4 Рекомендации по применению Руководства
4.1 Основным количественным выражением неопределенности измерений является стандартная неопределенность и .
4 .2 Основным количественным выражением неопределенности измерений, при котором результат определяют через значения других величин, является суммарная стандартная неопределенность u c .
4 .3 В тех случаях, когда это необходимо, вычисляют расширенную неопределенность U по формуле
U = k·uc , ( 1 )
где k - коэффи ц иент охвата (числовой коэффиц иент, используемый как множитель при суммарной стандартной неопределенности для получения расширенной неопределенности).
4 .4 В Руководстве измеряемую величину Y определяют как
Y = f ( X 1 , …, Xm) , ( 2 )
где X 1 , … , X т - входные величины (непосредственно измеряемые или другие величины, влияющие на результат измерения);
т - число этих величин;
f - вид функциональной зависимости.
4 .5 Оценку измеряемой величины y вычисляют как функцию оценок входных величин x 1 , …, x m после внесения поправок на все известные источники неопределенности, имеющие систематический характер
y = f (x 1 , … , xm) . ( 3 )
4 .6 Затем вычисляют стандартные неопределенности входных величин и ( xi ) ( i = 1 , … , m ) и возможные коэффициенты корреляции r ( xi , х j ) оценок i -й и j -й входных величин ( j = 1, …, m ) .
4 .7 Различают два типа вычисления стандартной неопределенности:
вычисление по типу А - путем статистического анализа результатов многократных измерений;
вычисление по типу В - с использованием других способов.
4 .8 Вычисление стандартной неопределенности и
4 .8 .1 Вычисление стандартной неопределенности по типу А - u A
4 .8 .1 .1 Исходными данными для вычисления u A являются результаты многократных измерений: xi 1 , …, xini (где i = 1 , …, m ; ni - число измерений i -й входной величины).
4 .8 .1 .2 Стандартную неопределенность единичного измерения i-й входной величины u A , i вычисляют по формуле
( 4 )
где - среднее арифметическое результатов измерений i -й входной величины.
4 .8 .1 .3 Стандартную неопределенность u A (х i ) измерений i -й входной величины, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле
( 5 )
4 .8 .2 Вычисление стандартной неопределенности по типу В - u B
4 .8 .2.1 В качестве исходных данных для вычисления u B используют:
- данные предшествовавших измерений величин, входящих в уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей;
- данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов и материалов;
- неопределенности констант и справочных данных;
- данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и т.п.
4 .8 .2 .2 Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значения величины от ее оценки. Наиболее распространенный способ формализации неполного знания о значении величины заключается в постулировании равномерного закона распределения возможных значений этой величины в указанных (нижней и верхней) границах [( bi - , bi + ) для i -й входной величины]. При этом стандартную неопределенность, вычисля емую по типу В - u B ( xi ) , определяют по формуле
( 6 )
а для симметричных границ (± bi ) - по формуле
( 7 )
4 .8 .2 .3 В случае других законов распределения формулы для вычисления неопределенности по типу В будут иными.
4 .8 .3 Для вычисления коэффициента корреляции r ( xi , xj ) используют согласованные пары измерений ( xil , xjl ) (где l = 1 , …, п ij ; nij - число согласованных пар результатов измерений)
( 8 )
4 .9 Вычисление суммарной стандартной неопределенности uc
4 .9.1 В случае некоррелированных оценок x 1 , …, xm суммарную стандартную неопределенность uc ( y ) вычисляют по формуле
(9 )
4 .9 .2 В случае коррелированных оценок x 1 , …, xm суммарную стандартную неопределенность вычисляют по формуле
(10)
где r ( xi , xj ) - коэффициент корреляции;
u ( xi ) - стандартная неопределенность i -й входной величины, вычисленная по типу А или В.
4 .10 Выбор коэффициента охвата k при вычислении расширенной неопределенности
4 .10.1 В общем случае коэффициент охвата k выбирают в соответствии с формулой
k = tp (veff) , ( 11 )
где tp ( veff ) - квантиль распределения С ть юдента с эффективным числом степеней свободы veff и доверительной вероятностью (уровнем доверия) р . Значения коэффициента tp ( veff ) приведены в приложении Г.
4 .10 .2 Эффективное число степеней свободы определяют по формуле
(1 2 )
где vi - число степеней свободы при определении оценки i -й входной величины, при этом:
vi = ni - 1 - для вычисления неопределенностей по типу А;
vi = ∞ - для вычисления неопределенностей по типу В.
4 .10 .3 Во многих практических случаях при вычислении неопределенностей результатов измерений делают предположение о нормальности закона распределения возможных значений измеряемой величины и полагают:
k = 2 при р ≈ 0 ,95 и k = 3 при р ≈ 0 ,99 .
При предположении о равномерности закона распределения полагают:
k = 1 ,65 при р ≈ 0 ,95 и k = 1 ,71 при р ≈ 0 ,99 .
4.11 При представлении результатов измерений Руководство рекомендует приводить достаточное количество информации для возможности проанализировать или повторить весь процесс получения результата измерений и вычисления неопределенностей измерений, а именно:
- алгоритм получения результата измерений;
- алгоритм расчета всех поправок и их неопределенностей;
- неопределенности всех используемых данных и способы их получения;
- алгоритмы вычисления суммарной и расширенной неопределенностей (включая значение коэффициента k ) .
5 Соответствие между формами представления результатов измерений, используемыми в НД ГСИ по метрологии, и формой, используемой в Руководстве
5.1 При проведении совместных работ с зарубежными странами в работах, проводимых под эгидой М КМВ и его Консультативных комитетов, при подготовке публикаций в зарубежной печати, при публикациях работ по определению физических констант и в других случаях, связанных с выполнением международных метрологических работ, целесообразно руководствоваться нижеприведенными схемами.
5.1.1 При вычислении неопределенности измерений следует придерживаться последовательности, показанной на рисунке 1.
Рисунок 1
5 .2 Сопоставление способов оценивания доверительных границ погрешности ∆р и вычисления расширенной неопределенности Up измерений приведено в таблице 1.
Т аблица 1
НД ГСИ по метрологии |
|
|
|
∆ p = tp ( f эф ) S , |
|
∆ p = θ (p ) |
|
где здесь k = 1 ,1 при p = 0 ,95 и k = 1 ,4 при p = 0 ,99 и m > 4
|
|||
Руководство |
причем vi = ni - 1 - для вычисления неопределенностей по типу А; vi = ∞ - для вычисления неопределенностей по типу В |
||
Для большинства практических случаев в предположении: - нормального закона распределения U0 ,95 = 2 uc , U0 ,99 = 3 uc ; - равномерного закона распределения U0 ,95 = 1,65 uc , U0 ,99 = 1,71 uc |
5 .3 При сопоставлении оценок характеристик погрешности и неопределенностей результатов измерений рекомендуется использовать следующ ую схему (с учетом пояснений А.5 и А.6 приложения А):
СКО, характеризующее случайную погрешность |
|
Стандартная неопределенность, вычисленная по типу А |
СКО, характеризующее неисключенную систематическую погрешность |
|
Стандартная неопределенность, вычисленная по типу В |
СКО, характеризующее суммарную погрешность |
|
Суммарная стандартная неопределенность |
Доверител ь ные границы погрешности |
|
Расширенная неопределенность |
5 .4 Если отсутствует достаточная информация для вычисления неопределенности u в соответстви и с Руководством (раздел 4 настоящей рекомендации), то ее оценка может быть получена на основании оценок характеристик погрешности по приведенным ниже схемам. Схемы 1 и 2 соответствуют двум различным способам представления результатов измерений, принятым в НД ГСИ по метрологии. Необходимо отметить, что оценки неопределенностей, полученные таким образом, в ряде случаев не совпадают со значениями неопределенностей, полученными в соответствии с Руководством (см. приложение В ).
Схема 1
Схема 2
Оценить неопределенности u A и u B по отдельности, зная только ∆ p невозможно.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
(справочное)
Сравнительный анализ двух подходов к выражению характеристик точности измерений
А. 1 Целью измерений является получение оценки истинного значения измеряемой величины. Понятие погрешности измерений как разности между результатом измерений и истинным (действительным) значением измеряемой величины используется для описания точности измерений в Н Д ГСИ по метрологии. Говоря об оценивании погрешности, в метрологической практике государств - участников Соглашения подразумевают оценивание ее характеристик.
А. 2 В Руководстве для выражения точности измерений вводят понятие неопределенности измерений. Неопределенность измерений понимают как неполное знание значения измеряемой величины и для количественного выражения этой неполноты вводят распределение вероятностей возможных (обоснованно приписанных) значений измеряемой величины. Таким образом, параметр этого распределения (также называемый - неопределенность) количественно характеризует точность результата измерений.
А .3 Сходными для обоих подходов являются последовательности действий при оценивании характеристик погрешности и вычислении неопределенности измерений:
- анализ уравнения измерений;
- выявление всех источников погрешности (неопределенности) измерений и их количественное оценивание;
- введение поправок на систематические погрешности (эффекты), которые можно исключить.
А. 4 Методы вычисления неопределенности, так же как и методы оценивания характеристик погрешности, заимствованы из математической статистики, однако при этом используются различные интерпретации закона распределения вероятностей случайных ве личин. Кроме изложенных в Руководстве и НД ГСИ по метрологии методов вычисления неопре деле нности и оценивания характе ристик погре шности на практике используют и другие методы.
Возможные различия между оценками характеристик погрешности (в соответствии с НД ГСИ по метрологии) и неопределенностями (в соответствии с Руководством) показаны в примерах, приведе н ных в приложениях Б и В.
Различие двух подходов проявляется также в трактовке неопределенности и характеристик погрешности, основанной на разных интерпретациях вероятности: частотной и субъективной. В частности, доверительные границы погрешности (откладываемые от результата измерений) накрывают истинное значение измеряемой величины с заданной доверительной вероятностью (частотная интерпретация вероятности). В то же время аналогичный интервал ( y - Up , y + Up ) трактуется в Руководстве как интервал, с одержащий заданную долю распределения значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине (субъективная интерпретация вероятности).
А.5 В общем случае не существует однозначного соответствия между случайными погрешно стями и неопределенностями, вычисленными по типу А (а также неисключенными систематическими погрешностями и неопределенностями, вычисленными по типу В). Деление на систематические и случайные погрешности обусловлено природой их возникновения и проявления в ходе измер ительного эксперимента, а деление на неопределенности, вычисляемые по типу А и по типу В, - методами их расчета.
А. 6 Результаты сравнительного анализа процедур оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений приведены в таблицах А.1 и А.2.
Таблица А.1 - Процедура оценивания характеристик погрешности результата измерений
Погрешность |
ξ = y - y ист ó * y = y ист + ξ |
|||
Модель погрешности |
ξ - случайная величина с плотностью распределения вероятностей p ( x ; E , σ2, …), где Е - математическое ожидание, σ2 - дисперсия |
|||
Характ еристики погрешности |
S - С КО |
θ - границы неисключенной систематической погрешности |
∆ p - доверительные границы |
|
Исходные данные для оценивания характеристик погрешности |
1 Модель объекта исследования. 2 Экспериментальные данные xiq , где q = 1 , …, ni; i = 1 , …, т . 3 Информация о законах распределения. 4 Сведения об источниках погрешностей, их природе и характеристиках составляющих [ S( xi), θ i], структурная модель погрешности. 5 Стандартные справочные данные и друг ие справочные материалы |
|||
Методы оценивания характеристик: |
|
|||
1 случайных погрешностей |
|
|||
2 неисключенных систематических погрешностей |
где k = 1 ,1 при p = 0 ,95 и k = 1 ,4 при р = 0 ,99 и т > 4 |
|||
3 суммарной погрешности |
|
|||
Форма представления характеристик погрешности |
θ ( р ), S , п , f эф |
∆ p |
||
И н терпретация полученных результатов |
И н тервал (- ∆ p , + ∆ p ) с вероятностью р содержит погреш н ость измерен ий, что равносильно тому, что интервал ( y - ∆ p , y + ∆ p ) с вероятностью p содержит истинное значение измеряемой величины. |
|||
Таблица А. 2 - Процедура вычисления неопределенности измерений
Модель неопределенности (представление знания о значении изме р яемой величины) |
η - случайная величина с плотностью распределения вероятностей р (х ; у, u 2 , …), где y - математическое ожидание , u - дисперсия |
||
Неопределенность (количественная мера) |
Стандартная u |
Суммарная |
Расширенная Up = k · uc |
Исходные данные для вычисления неопределенности |
1 Модель объекта исследования. 2 Экспериментальные данные xiq , где q = 1 , …, ni ; i = 1 , …, m . 3 Информация о законах распределения. 4 Сведения об источниках неопределенности и информация о значениях неопределенности. 5 Стандартные справочные данные и другие справочные материалы |
||
Методы вычисления неопределенности: |
|
||
1 по типу А |
|
||
2 по типу В |
|
||
3 расширенной неопределенности |
где U0 ,95 = 2 uc , U0 ,99 = 3 uc - для нормального закона; U0 ,95 = 1,65 uc , U0 ,99 = 1,71 uc - для равномерного закона |
||
Представление неопределенности |
uc , Up , k , ui , vi |
||
Интерпретация полученных результатов |
Интервал ( y - Up , y + Up ) содержит большую долю ( p ) распределения значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине. |
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(справочное)
Пример
оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений.
Измерения силы электрического тока с помощью вольтметра и токового шунта
Б .1 Уравнение измерений
I = f ( V , R ) = V / R , (Б.1 )
где I - сила тока;
V - напр я жение;
R - сопротивление шунта.
Б .2 Нахождение результата измерений
Б. 2.1 В результате измерений напряжения при температуре t = ( 23 ,00 ± 0 ,05 ) °С получают ряд значений Vi в милливольтах (где i = 1 , …, n ; n = 10 ):
100,68 ; 100 ,83 ; 100 ,79 ; 100 ,64 ; 100 ,63 ; 100 ,94 ; 100 ,60 ; 100 ,68 ; 100 ,76 ; 100 ,65 .
Б .2.2 На основе полученных значений вычисляют среднее арифметическое значение напряжения , мВ, по формуле
(Б. 2 )
Б .2.3 Значение сопротивления шунта R 0 , Ом, установлено при его калибровке для I = 10 А и t = 23 ,00 °С и равно:
R 0 = 0 ,010088 .
Б. 2 .4 Результат измерений силы тока I , А, получают по формуле
(Б. 3 )
Б.3 Анализ источников погрешности результата измерений
Б .3 .1 СКО, характеризующее случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения , мВ, вычисляют по формуле
(Б. 4 )
* Здесь и далее знак тильды над буквой, обозначающей характеристику погрешности (неопределенности), означает, что данная характеристика приведена в относительном виде.
Б.3 .2 Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах определены при его калибровке в виде следующего выражения**:
** В выражениях для границ погрешностей при равных значениях отклонений от нуля знак ± здесь и далее опущен.
θ V = 3·10-4· V + 0,02 . (Б.5 )
Тогда при получают
θ V = 5,0·10-2 м В,
Б. 3.3 Границы неисключенной систематической погрешности значения сопротивления шунта, определенные при его калибровке, равны
Тогда при R = R 0 получают
θ R = 7 ·10-4· R 0 =7,1·10-6 Ом. (Б. 6 )
Б .3 .4 Границ ы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры, находят из формулы, определяющ ей зависимость сопротивления от температуры
R = R 0 ·[1 + α·(t - t0 )], ( Б .7 )
где R 0 - значение сопротивления при t = t 0 ( t 0 = 23 ,00 °С; R 0 = 0 ,010088 Ом);
α - т емпературный коэффициент ( α = 6·10-6 К-1).
В случае, когда границы погрешности измерения температуры равны ∆ t , границы соответствующей составляющей по г решности значения сопротивления равны
θ R , t = α ·∆ t · R , (Б .8 )
Таким образом, при ∆ t = 0 ,05 °С получают:
θ R , t = 3,0·10-9О м,
В дальнейшем эту составляющую погрешности (ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими) можно не учитывать.
Б.4 Вычисление характеристик погрешности результата измерений
Б .4.1 Делают предположение о равномерном распределении неисключенных систематических составляющ их погрешности результата измерений внутри их границ θ V и θ R . Тогда СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока S θ , А, определяют по формуле
(Б.9)
где - коэффициенты влияния.
Таким образом, получают
Б. 4 .2 Доверительные границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока θ ( p ) при доверительной вероятности p = 0 ,95 оценивают по формуле
(Б. 10 )
Б.4.3 СКО случайной составляющей погрешности результата измерений силы тока S определяют по формуле
( Б.11)
Б .4 .4 СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока S Σ вычисляют по формуле
( Б.12)
Б .4 .5 Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока ∆0 ,95 при p = 0 ,95 и эффективном числе степеней свободы f эф = n - 1 = 9 вычисляют по формуле
(Б. 13 )
Б .5 Вычисление неопределенности измерений
Б .5.1 По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер.
Б .5.1 .1 Стандартную неопределен ность напряжения, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, u A ( V ) определяют по формуле
( Б . 1 4 )
u A (V) = 3,4·10-2 мВ,
Б .5.1.2 Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, u A определяют по формуле
(Б.15)
Б .5.2 По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Распределение значений величин внутри границ считают равномерным.
Б. 5.2.1 Границы систематического смещения при измерениях напряжения, определенные при калибровке вольтметра, равны 3·10-4· V + 0 ,02 . Тогда соответствующую стандартную неопределенность u B , V вычисляют по формуле
(Б.16)
Б .5.2 .2 Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 7 ·10 -4 R . Тогда при R = R 0 соответствующую стандартную неопределенность u B , R вычисляют по формуле
(Б. 17 )
Б. 5 .2 .3 Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны α ·∆ t · R 0 . Соответствующую стандартную неопределенность u B , t получают в соответствии с формулой
(Б. 18 )
В дальнейшем этой составляю щ ей неопределенности (ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими) можно пренебречь.
Б. 5.2.4 Суммарную стандартную неопределенность u B , вычисленную по типу В, определяют по формуле
(Б. 19 )
Б .5.3 Суммарную стандартную неопределенность uc вычисляют по формуле
(Б.20)
Б .5 .4 Эффективн ое число степеней свободы v eff рассчитывают по формуле
(Б.21)
Б .5.5 Коэффициент охвата k получают по формуле
k = t0 ,95 (veff ) = 1,99 . (Б.22)
Б. 5.6 Расширенную неопределенность U 0,95 определяют следующим образом
U 0,95 = k · uc = 0 ,012 А, (Б.23)
Б. 6 Переход от характеристик погрешности к неопределенности измерений
Б. 6 .1 Используя оценки характеристик погрешности, полученные в Б.3 и Б.4 настоящего приложения, можно продемонстрировать получение оценок неопределенностей в соответствии с 5.4 настоящих рекомендаций.
Схема 1
В данном примере неопределенности измерений, вычисленные в Б.5 настоящего приложения в соответствии с Руководством, совпадают с их оц е нками, полученными по схеме 1.
Схема 2
В данном примере разност ь неопределенностей измерений, вычисленных в Б.3 настоящего приложения в соответст вии с Руководством, и их оценок, полученных по схеме 2, меньше погрешности округления при вычислениях.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
(справочное)
Пример оценивания характеристик погрешности и вычисления неопределенности измерений. Измерения длины штриховой меры
Измерение длины штриховой меры проводят на государственном первичном эталоне единицы длины интерференционным методом.
В.1 Уравнение измерений
(В.1)
где L - длина штриховой меры;
A - число импульсов;
λ - длина волны излучения ( λ = 0 ,6329913982 мкм);
n в - показатель преломления воздуха ( n в = 1 ,000275236 );
α - коэффициент линейного расширения ( α = 1,15·10-5 К-1);
L 0 - опорно е значение длины штриховой меры ( L 0 = 1 ,000 м);
t - температура штриховой меры ( t = 20,125 °С);
∆ lS - поправка на размер коллиматорной щели (∆ lS = 0 ,031 мкм).
В.2 Нахождение результата измерений
В.2.1 В результате измерений числа импульсов и внесения поправок на известные систематические погрешности в соответствии с уравнением измерения ( В.1) получают ряд значений длины штриховой меры Li в метрах (где i = 1 , …, n ; n = 10 ):
1 ,000001356 ; 1 ,000001584 ; 1 ,000001383 ; 1 ,000001469 ; 1 ,000001491 ; 1 ,000001466 ; 1 ,000001575 ; 1 ,000001397 ; 1 ,000001405 ; 1 ,000001334 .
В .2 .2 Оценку значения длины штриховой меры как среднее арифметическое значений Li определяют по формуле
(В. 2 )
В.3 Анализ источников погрешности результата измерений
В.3 .1 СКО случайной составляющей погрешности S , м, определяют по формуле*
( В .3)
S = 0 ,025 мкм .
* Для более компактной записи значения характеристик погрешности (неопределенности) далее будут выражены в микрометрах (мкм).
В.3.2 Границы неисключенных систематических погрешностей:
- определения показателя преломления воздуха θв = 2 ,0 ·10-8;
- значения длины волны θ λ = 6,2·10-9 мкм;
- определения температуры меры θ t = 0 ,003 °С;
- определения поправки на размер коллиматорной щели θ∆ l = 0 ,002 мкм.
Составляющие погрешности результата измерений, обусловленные погрешностями значений L 0 и α, пренебрежимо малы.
В.4 Вычисление характеристик погрешности результата измерений
В .4.1 В предположении о равномерном распределении неисключенных систематических составляющих суммарной погрешности внутри границ θв , θ λ , θ t и θ∆ l СКО неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений S θ вычисляют по формуле
(В.4)
где - коэффициенты влияния.
Таким образом, получают:
(В.5)
Для упрощен и я расчетов можно принять: 1 м, n в = 1 ,00 , λ = 0 ,633 мкм.
Тогда получают:
S θ = 0 ,024 мкм.
В.4 .2 Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерений при p = 0 ,99 и числе неисключенных составляющих систематической погрешности m = 4 ( k = 1 ,23 по [ 3]) - θ (0 ,99 ) вычисляют по формуле
(В.6)
Рассчитывая коэффи ц иенты влияния по В.4.1, получают
θ (0 ,99 ) = 0 ,051 мкм.
В.4.3 С К О суммарной погрешности S Σ , мкм, определяют по формуле
(В.7)
В. 4 .4 Доверительные границы суммарной погреш ности ∆0,99 при p = 0 ,99 и f э ф = n - 1 = 9 вычисляют по формуле
(В. 8 )
В .5 Вычисление неопределенности измерений
В .5 .1 По типу А вычисляют стандартную неопределенность u A , обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер при измерении длины штриховой меры, по формуле
(В.9)
В .5 .2 По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер. Закон распределения величин внутри границ считают равномерным.
В .5 .2.1 Границы, внутри которых лежит значение показателя преломления воздуха, равны θв = 2 ,0 ·10-8. Стандартную неопределенность, обусловленную неточным знанием данного параметра, u B ,в определяют как
(В.10)
В.5 .2 .2 Границы, внутри которых лежит значение длины волны излучения, равны θ λ = 6 ,2·10 -9 мкм. Тогда соответствующую стандартную неопределенность u B , λ вычисляют по формуле
(В. 11 )
В.5 .2.3 Границы, внутри которых лежит значение температуры штриховой меры, равны θ t = 0 ,003 °С. Стандартную неопредел енность , обусловленную неточным знанием температуры, u B , t вычисляют по формуле
(В.12)
В.5 .2 .4 Границы, внутри которых лежит значение поправки на размер колл иматорной щели, равны θ∆ l = 0 ,002 мкм. Тогда соответствующую стандартную неопределенность u B ,∆ l получают по формуле
(В.13)
В .5.2.5 Суммарную стандартную неопределенность, вычисленную по типу В, - uB определяют по формуле
(В.14)
Расчет коэффициентов влияния - по В.4.1 :
u B ≈ 0 ,024 мкм.
В.5.3 Суммарную стандартную неопределенность ис вычисляют по формуле
(В. 15 )
В.5.4 Эффективное число степеней свободы v eff определяют по формуле
(В. 16 )
8.5.5 Коэффициент охвата k определяют следующим образом
k = t0 ,99 (veff ) = 2 ,73 . (В. 17 )
В.5.6 Расширенную неопределенность U 0 ,99 определяют как
U 0 ,99 = k ·uc = 0 ,096 мкм . (В. 18 )
В .6 Переход от характеристик погрешности к неопределенности измерений
В .6.1 Используя оценки характеристик погрешности, полученные в В.4 настоящего приложения, можно продемонстрировать получение оценок неопределенностей в соответствии с 5.4 настоящих рекомендаций.
Схема 1
В данном примере неопределенности измерений, вычисленные по В.5 настоящего приложения в соответствии с Руководством, совпадают с их оценками, полученными по схеме 1.
Схема 2
Относительные разности неопределенностей измерений, вычисленных по В.5 настоящего приложения в соответствии с Руководством, и их оценок, полученных по схеме 2 (когда отсутствует достаточная информация для их оценки в соответствии с Руководством), в данном примере равны:
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
(справочное)
Значения коэффициента tp ( v ) для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с v степенями свободы
v |
tp (v) |
v |
tp (v) |
||
p = 0,95 |
p = 0,99 |
p = 0,95 |
p = 0,99 |
||
3 |
3 ,182 |
5 ,841 |
16 |
2 ,120 |
2 ,921 |
4 |
2,776 |
4 ,604 |
18 |
2 ,101 |
2 ,878 |
5 |
2 ,571 |
4 ,032 |
20 |
2 ,086 |
2 ,845 |
6 |
2 ,447 |
3 ,707 |
22 |
2 ,074 |
2 ,819 |
7 |
2 ,365 |
3 ,499 |
24 |
2 ,064 |
2 ,797 |
8 |
2 ,306 |
3 ,355 |
26 |
2 ,056 |
2 ,779 |
9 |
2,262 |
3 ,250 |
28 |
2 ,048 |
2 ,763 |
10 |
2 ,228 |
3 ,169 |
30 |
2 ,042 |
2 ,750 |
12 |
2 ,179 |
3 ,055 |
∞ |
1 ,960 |
2 ,576 |
14 |
2 ,145 |
2 ,977 |
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
(справочное)
Библиография
[1 ] Руководство по выражению не определенности измерения. Перевод с английского под редакцией В.А. Слаева. - ВНИИМ. - С-Пб, 1999 *
* Подлинник документа - Gu ide to the Express ion of Uncerta inty in Measurement : F irst ed it ion . - ISO , Sw itzerland , 1993 находится во В Н ИИКИ Госстандарта России .
[2 ] МИ 1317-86 Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы и способы представления. Способы использования при испытаниях образц ов продукции и контроле их параметров
[3 ] МИ 2083-90 Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей
Ключевые слова: измерение, результат измерения, стандартное отклонение, неопределенность, стандартная неопределенность, суммарная стандартная неопределенность, расширенная неопределенность, погрешность случайная и систематическая