герб

ГОСТы

флаг

Р 50.1.037-2002 Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии

Р 50.1.037-2002

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ
ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

ЧАСТЬ II

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

Москва

Предисловие

1 РАЗРАБОТАНЫ Новосибирским государственным техническим университетом, доработаны с участием Технического комитета по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистических методов управления качеством»

ВНЕСЕНЫ Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 «Стандартизация статистических методов управления качеством»

2 ПРИНЯТЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 22 января 2002 г. № 24-ст

3 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1 Область применения . 2

2 Общие положения . 2

2.1 Простые и сложные гипотезы при проверке согласия опытного распределения с теоретическим .. 2

2.2 Распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых гипотезах . 3

2.2.1 Критерий Колмогорова . 3

2.2.2 Критерий Смирнова . 4

2.2.3 Критерии ω2 4

2.3 Непараметрические критерии согласия при сложных гипотезах . 5

2.3.1 Потеря критериями свойства «свободы от распределения» . 5

2.3.2 Методика компьютерного анализа статистических закономерностей . 6

2.3.3 Факторы, влияющие на распределения статистик критериев при проверке сложных гипотез . 7

2.3.4 Влияние объема выборки на распределения статистик непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах . 8

2.3.5 Влияние объема выборки на мощность непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах . 9

2.3.6 Влияние метода оценивания на распределения статистик непараметрических критериев при сложных гипотезах . 12

2.3.7 Метод оценивания и мощность непараметрических критериев согласия . 17

2.3.8 Зависимость распределений статистик непараметрических критериев от конкретных значений параметра . 19

2.3.9 Выводы .. 20

3 Порядок проверки гипотез о согласии . 21

3.1 Порядок проверки простой гипотезы о согласии . 21

3.1.1 Критерий Колмогорова при простой гипотезе . 22

3.1.2 Критерий Смирнова при простой гипотезе . 22

3.1.3 Критерий ω2 Крамера - Мизеса - Смирнова при простой гипотезе . 22

3.1.4 Критерий Ω2 Андерсона - Дарлинга при простой гипотезе . 22

3.2 Порядок проверки сложной гипотезы .. 22

3.2.1 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Колмогорова . 23

3.2.2 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Смирнова . 23

3.2.3 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа ω2 Мизеса . 24

3.2.4 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Ω2 Мизеса . 24

3.2.5 Проверка сложных гипотез о согласии с гамма-распределением .. 24

3.2.6 Проверка сложных гипотез о согласии с распределениями Джонсона . 26

3.2.7 Перечень распределений, для которых регламентирована проверка сложных гипотез с использованием настоящих рекомендаций . 26

3.2.8 Законы распределения, используемые для аппроксимации предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке сложных гипотез . 27

3.2.9 Примеры применения критериев согласия при простых и сложных гипотезах . 28

Приложение А Таблицы распределений статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах . 34

Приложение Б Библиография . 47

Введение

Необходимость разработки настоящих рекомендаций вызвана тем, что в нормативных документах по стандартизации, устанавливающих правила проверки опытного распределения с теоретическим, не определены правила применения непараметрических критериев согласия типа Колмогорова или типа ω2 Мизеса при проверке сложных гипотез. В связи с этим использование таких критериев в задачах контроля качества, исследования надежности и в других приложениях зачастую некорректно, следствие чего - неверные статистические выводы.

Настоящие рекомендации, с одной стороны, являются практическим руководством, расширяющим благодаря полученным результатом сферу корректного применения критериев согласия при проверке сложных гипотез, с другой стороны, содержат новые сведения из рассматриваемого раздела математической статистики, предлагают опробованную методику исследования статистических закономерностей.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СТАНДАРТИЗАЦИИ

Прикладная статистика

ПРАВИЛА ПРОВЕРКИ СОГЛАСИЯ ОПЫТНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ

Часть II . Непараметрические критерии

Applied statistics. Rules of check of experimental and theoretical distribution of the consent.

Part II. Nonparametric goodness-of-fit test

Дата введения 2002-07-01

1 Область применения

Настоящие рекомендации, разработанные на основе [ 1], определяют правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим законом распределения непрерывной случайной величины.

Настоящие рекомендации могут быть использованы при разработке правил и рекомендаций по стандартизации, метрологии, сертификации и аккредитации, применяемых Госстандартом России и использующих методы статистического анализа.

Настоящие рекомендации предназначены для использования в качестве руководства по применению непараметрических критериев согласия при статистической обработке результатов наблюдений, измерений, контроля, испытаний продукции.

2 Общие положения

2.1 Простые и сложные гипотезы при проверке согласия опытного распределения с теоретическим

Применяя критерии согласия для проверки соответствия наблюдаемого опытного распределения теоретическому закону (далее - согласие), следует различать проверку простых и сложных гипотез.

Простая проверяемая гипотеза имеет вид H 0 : F ( x ) = F ( x , θ), где F ( x , θ) - функция распределения вероятностей, с которой проверяют согласие наблюдаемой выборки, а θ - известное значение параметра (скалярного или векторного).

Сложная проверяемая гипотеза имеет вид H 0 : F ( x ) Î { F ( x , θ), θ Î Q }, где Q - область определения параметра θ. В этом случае оценку параметра распределения  вычисляют по той же самой выборке, по которой проверяют согласие. Если оценку  вычисляют по другой выборке, то гипотеза простая. Далее сложная гипотеза обозначена следующим образом Н0: F ( x ) = F ( x , ), где  - оценка параметра, вычисляемая по этой же выборке.

В процессе проверки согласия по выборке вычисляют значение S * статистики используемого критерия. Затем для того, чтобы сделать вывод о принятии или отклонении гипотезы Н0, необходимо знать условное распределение G ( S ½ Н 0 ) статистики S при справедливости Н0. И если вероятность

                                               (1)

достаточно большая, по крайней мере P { S > S * } > α, где g ( s ½ Н 0 ) - условная плотность, а α - задаваемый уровень значимости (вероятность ошибки 1-го рода - отклонить справедливую гипотезу Н 0 ), то принято считать, что нет оснований для отклонения гипотезы Н 0 .

Если в процессе анализа выборки рассматривают некоторую альтернативу Н 1 : F ( x ) = F 1 ( x , θ ), то с ней связывают условное распределение G ( S ½ Н 1 ) и вероятность ошибки 2-го рода β (принять гипотезу Н 0 , в то время как верна гипотеза Н 1 ). Задание значения α для применяемого критерия согласия однозначно определяет и значение β:

                                                            (2)

                                                           (3)

При этом, чем больше мощность критерия 1 - β, тем лучше он различает соответствующие гипотезы.

2.2 Распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых гипотезах

2.2.1 Критерий Колмогорова

В случае простых гипотез предельные распределения статистик рассматриваемых критериев согласия Колмогорова, Смирнова, ω2 и Ω2 Мизеса известны и независимы от вида наблюдаемого закона распределения и, в частности, от его параметров. Считают, что эти критерии являются «свободными от распределения». Это достоинство предопределяет широкое использование данных критериев в различных приложениях.

Предельное распределение статистики

                                               (4)

где F n (х ) - эмпирическая функция распределения; F ( x , θ ) - теоретическая функция распределения; п - объем выборки, - было получено Колмогоровым в [ 2]. При п →∞ функция распределения статистики  сходится равномерно к функции распределения Колмогорова

.                                                 (5)

Наиболее часто в критерии Колмогорова (Колмогорова - Смирнова) используют статистику вида [ 3]

,                                                            (6)

где

,                                                        (7)

,                                              (8)

;                                             (9)

n - объем выборки; х1, х2, ..., xn - упорядоченные по возрастанию выборочные значения; F ( x , θ) - функция закона распределения, согласие с которым проверяют. Распределение величины SK при простой гипотезе в пределе подчиняется закону Колмогорова с функцией распределения K ( S ).

Если для вычисленного по выборке значения статистики S * К выполняется неравенство

P {S>S* К } = 1 - K(S* К ) > α,

  то нет оснований для отклонения гипотезы H 0 .

2.2.2 Критерий Смирнова

В критерии Смирнова используют статистику

                                            (10)

или статистику

,                                           (11)

значения которых вычисляют по эквивалентным соотношениям ( 8), ( 9).

Реально в критерии обычно используют статистику [ 3]

,                                                        (12)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняется распределению χ2 с числом степеней свободы, равным 2.

Гипотезу Н0 не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S * m

.

2.2.3 Критерии ω2

В критериях типа ω2 расстояние между гипотетическим и истинным распределениями рассматривают в квадратичной метрике.

Проверяемая гипотеза Н0 имеет вид [ 3]

                       (13)

при альтернативной гипотезе

                     (14)

где Е[·] - оператор математического ожидания; ψ( t ) - заданная на отрезке 0 ≤ t ≤ 1 неотрицательная функция, относительно которой предполагают, что ψ( t ), t ψ( t ), t 2 ·ψ ( t ) интегрируемы на отрезке 0≤ t ≤1 [ 4]. Статистику критерия [ 3] выражают соотношением

                  (15)

где

При выборе ψ ( t ) ≡ 1 для критерия ω2 Мизеса получают статистику Крамера - Мизеса - Смирнова вида

                                   (16)

которая при простой гипотезе в пределе подчиняется закону с функцией распределения a 1( S ), имеющей вид [ 3]

                                                                                                                                     (17)

где  - модифицированные функции Бесселя,

                         (18)

При выборе ψ ( t )1/ t ( 1 - t ) для критерия Ω2 Мизеса статистика приобретает вид (статистика Андерсона - Дарлинга)

   (19)

В пределе эта статистика подчиняется закону с функцией распределения a 2 ( S ), имеющей вид [ 3]

                                                                                                                                               (20)

Гипотезы о согласии не отвергают, если выполнены неравенства

P {Sω>S*ω} =1 - a1(S*ω) > α и P {SΩ>S*Ω} = 1 - a2(S*Ω) > α.

2.3 Непараметрические критерии согласия при сложных гипотезах

2.3.1 Потеря критериями свойства «свободы от распределения»

При проверке сложных гипотез, когда по той же самой выборке оценивают параметры наблюдаемого закона распределения вероятностей, непараметрические критерии согласия Колмогорова, Смирнова, ω2 и Ω2 Мизеса теряют свойство «свободы от распределения». В этом случае предельные распределения статистик этих критериев будут зависеть от закона, которому подчинена наблюдаемая выборка. Более того, распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят и от используемого метода оценивания параметров. Следует также учитывать, что распределения статистик существенно зависят от объема выборки.

Игнорирование того, что проверяют сложную гипотезу, неучет различия в сложных гипотезах приводят к некорректному применению непараметрических критериев согласия в приложениях и как следствие к неверным статистическим выводам. Различия в предельных распределениях тех же самых статистик при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим абсолютно недопустимо [ 5] - [ 7].

Точкой отсчета, с которой были начаты исследования предельных распределений статистик непараметрических критериев согласия при сложных гипотезах, послужила работа [ 8].

Существует ряд подходов к использованию непараметрических критериев согласия в этом случае.

При достаточно большой выборке ее можно разбить на две части и по одной из них оценивать параметры, а по другой проверять согласие. В случае больших объемов выборки такой подход оправдан [ 9]. Но если объем выборки относительно невелик, то способ разбиения ее на две части будет отражаться и на оценках параметров, и на распределениях статистик критериев согласия.

Для случая принадлежности выборки нормальному закону предельные распределения статистики критерия ω2 Мизеса при использовании оценок максимального правдоподобия для оценивания одного или обоих параметров закона были исследованы в [ 10] аналитическими методами.

В некоторых частных случаях проверки сложных гипотез, например при оценивании параметров распределений экспоненциального, нормального, экстремальных значений, Вейбулла и некоторых других законов, таблицы процентных точек для предельных распределений статистик непараметрических критериев были получены с использованием методов статистического моделирования [ 11] - [ 14].

В [ 15] - [ 19] для статистик типа Колмогорова - Смирнова и некоторых законов, соответствующих гипотезе H 0 , получены формулы для приближенного вычисления вероятностей «согласия» вида P { S > S * }, где S * - вычисленное по выборке значение соответствующей статистики S . Полученные формулы дают достаточно хорошие приближения при малых значениях соответствующих вероятностей.

В [ 20], [ 21] в результате компьютерного моделирования распределений статистик непараметрических критериев для ряда законов, соответствующих гипотезе H 0 , найдены аналитически простые модели, которые хорошо аппроксимируют предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия в случае проверки сложных гипотез и оценивания по выборке параметров методом максимального правдоподобия. В [ 22], [ 23] методами статистического моделирования исследовано влияние на распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах объема наблюдаемой выборки и применяемого метода оценивания параметров. В [ 24] получены аналитически простые модели предельных распределений статистик непараметрических критериев для случая, когда при проверке сложных гипотез оценки параметров находят в результате минимизации статистики используемого критерия.

Построенные таблицы процентных точек и предельные распределения статистик непараметрических критериев ограничены относительно узким кругом сложных гипотез. Предельные распределения статистик (или процентные точки распределений) при проверке сложных гипотез получены лишь для порядка 15 законов, в то время как множество вероятностных моделей, используемых в приложениях для описания реальных случайных величин, существенно шире.

2.3.2 Методика компьютерного анализа статистических закономерностей

Очевидно, что бесконечное множество случайных величин, с которым приходится сталкиваться на практике, не может быть описано ограниченным подмножеством моделей законов распределений, наиболее часто используемых для описания реальных наблюдений в приложениях. Любой исследователь для конкретной наблюдаемой величины может предложить (построить) свою параметрическую модель закона, наиболее адекватно, с его точки зрения, описывающего эту случайную величину. После оценки по данной выборке параметров модели возникает необходимость проверки сложной гипотезы об адекватности выборочных наблюдений и построенного закона с использованием критериев согласия.

Множество всех сложных гипотез бесконечно и заранее иметь распределения G ( S ½ H 0 ) для любой сложной гипотезы H 0 практически невозможно. Именно поэтому найденные различным образом предельные распределения статистик непараметрических критериев согласия представлены в литературных источниках лишь для ограниченного ряда распределений, наиболее часто используемых в приложениях, особенно в задачах контроля качества и исследования надежности. Что же делать, если для описания выборки используется закон распределения вероятностей F ( x , θ) и найдена оценка его параметра , а для проверки сложной гипотезы H 0 : F ( x ) Î { F ( x , θ), θ Î Q }, исследователю неизвестно распределение G ( S ½ H 0 ) статистики соответствующего критерия согласия?

Наиболее целесообразно воспользоваться методикой компьютерного анализа статистических закономерностей, хорошо зарекомендовавшей себя при моделировании распределений статистик критериев [ 20] - [ 25].

Для этого следует в соответствии с законом F ( x , ) смоделировать N выборок того же объема n , что и выборка, для которой необходимо проверить гипотезу H 0 : F ( x ) Î { F ( x , θ), θ Î Q } . Далее для каждой из N выборок вычислить оценки тех же параметров закона, а затем значение статистики S соответствующего критерия согласия. В результате будет получена выборка значений статистики S 1 S 2 , ..., SN с законом распределения G ( Sn ½ H 0 ) для проверяемой гипотезы H 0 . По этой выборке при достаточно большом N можно построить достаточно гладкую эмпирическую функцию распределения GN ( Sn ½ H 0 ), которой можно непосредственно воспользоваться для вывода о том, следует ли принимать гипотезу H 0 . При необходимости, можно по GN ( Sn ½ H 0 ) построить приближенную аналитическую модель, аппроксимирующую GN ( Sn ½ H 0 ), и тогда уже, опираясь на эту модель, принимать решение относительно проверяемой гипотезы.

Как показывает практика, хорошей аналитической моделью для GN ( Sn ½ H 0 ) часто оказывается один из следующих четырех законов: логарифмически нормальный, гамма-распределение, распределение Su -Джонсона или распределение Sl - Джонсона [ 21], [ 24]. Во всяком случае, всегда можно, опираясь на ограниченное множество законов распределения, построить модель в виде смеси законов [ 26], [ 27].

Реализация такой процедуры компьютерного анализа распределения статистики не содержит ни принципиальных, ни практических трудностей. Уровень вычислительной техники позволяет очень быстро получить результаты моделирования, а реализация алгоритма под силу инженеру, владеющему навыками программирования.

В то же время такая методика анализа распределений статистик имеет и недостатки, связанные с ограниченной точностью построения закона распределения статистики и возможным влиянием качества используемого датчика псевдослучайных чисел [ 28]. Поэтому при ее реализации обязательно следует контролировать качество датчиков, генерирующих числа в соответствии с требуемыми законами «наблюдаемых» случайных величин. Современные системы программирования включают в себя достаточно хорошие датчики, генерирующие псевдослучайные числа, распределенные по равномерному закону. При необходимости построения собственного датчика можно воспользоваться алгоритмами моделирования, изложенными в [ 29].

Точность построения закона распределения статистики на основании GN ( Sn ½ H 0 ), конечно, можно повышать, увеличивая N. По оценкам [ 20] - [ 24], отклонения смоделированного распределения от теоретического при N = 2000 обычно имеют порядок ≈ ± 0,015. Если поставить такую цель, то, аппроксимируя эмпирические распределения теоретическими законами и усредняя их по реализациям (при многократном моделировании), можно, при необходимости, добиться более высокой точности построения закона распределения исследуемой статистики. Опираясь на построенное распределение GN ( Sn ½ H 0 ), можно достаточно точно оценить значение P { S > S * }, но знамения процентных точек, полученные по GN ( Sn ½ H 0 ), могут оказаться с существенной погрешностью. На практике же, проверяя различные гипотезы, чаще сравнивают полученное значение статистики S * с соответствующей процентной точкой предельного распределения, что является менее информативным для принятия решения. Более предпочтительно принимать решение по достигнутому уровню значимости P{ S > S * }.

Во всех приводимых далее примерах, иллюстрирующих распределения статистик критериев GN ( Sn ½ H i ), , в зависимости от различных факторов с применением изложенной методики число моделируемых выборок N принимали равным 2000, а их объем п, кроме особо отмеченных случаев, равным 1000.

2.3.3 Факторы, влияющие на распределения статистик критериев при проверке сложных гипотез

Распределения статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез зависят от характера этой сложной гипотезы. На закон распределения статистики G ( S ½ H 0 ) влияют следующие факторы, определяющие «сложность» гипотезы:

- вид наблюдаемого закона распределения F (х, θ), соответствующего истинной гипотезе H 0 ;

- тип оцениваемого параметра и число оцениваемых параметров;

- в некоторых ситуациях конкретное значение параметра (например, в случае гамма-распределения);

- используемый метод оценивания параметров.

При малых объемах выборки п распределение G ( Sn ½ H 0 ) зависит от п. Однако существенная зависимость распределения статистики от п наблюдается только при небольших объемах выборки. Уже при n ≥ 15 - 20 распределение G ( Sn ½ H 0 ) достаточно близко к предельному G ( S ½ H 0 ) и зависимостью от п можно пренебречь.

В случае задания конкретной альтернативы [конкурирующей гипотезы H 1 которой соответствует распределение F 1 ( x , θ)], функция распределения статистики G ( S ½ H 1 ) также зависит от всех перечисленных факторов. Но в отличие от G ( S ½ H 0 ) распределение статистики G ( S ½ H 1 ) при справедливой гипотезе H 1 очень сильно зависит от объема выборки п. Именно благодаря этому с ростом п повышается способность критериев различать гипотезы и возрастает мощность критериев.

2.3.4 Влияние объема выборки на распределения статистик непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах

В случае проверки простых гипотез предельными распределениями статистик критериев Колмогорова и Смирнова можно пользоваться при п > 20 [ 3]. Исследование методами статистического моделирования зависимости распределений статистик всех рассматриваемых здесь непараметрических критериев от объема выборки при проверке различных как простых, так и сложных гипотез показывает, что это справедливо во всех случаях.

Например, рисунок 1 иллюстрирует, как при увеличении объема выборки (п = 5, 10, 20) меняется распределение G ( Sn ½ H 0 ) статистики Колмогорова SK в случае проверки простой гипотезы о принадлежности выборки нормальному закону. На этом рисунке отражено также предельное распределение статистики - функция распределения Колмогорова K ( S ). Эмпирические распределения GN ( Sn ½ H 0 ) при больших п практически сливаются с K ( S ), и на рисунке они не показаны. Как видно, при малых п распределение существенно отличается от предельного, но уже при п ≥ 15 - 20 ошибка при вычислении вероятности «согласия» P{ S > S * } оказывается достаточно малой.

Рисунок 1 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 0 ) статистики SK Колмогорова при простой гипотезе ( H 0 - нормальное распределение): п = 5, 10, 20. K ( S ) - функция предельного распределения Колмогорова

Рисунок 2 - Зависимость от n распределений G ( Sn ½ H 0 ) статистики SK Колмогорова при сложной гипотезе ( H 0 - нормальное распределение, ОМП): п = 5, 10, 20, 1000

Та же самая картина наблюдается в случае проверки сложных гипотез о согласии. На рисунке 2 при п = 5, 10, 20, 1000 представлены распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики SK в случае проверки аналогичной, но уже сложной, гипотезы о нормальности, когда по выборке вычисляют оценки максимального правдоподобия (ОМП) параметров нормального закона.

При малых п наибольшие отклонения от предельных распределений наблюдаются на «хвостах». И при простых, и при сложных гипотезах с ростом п распределения G ( Sn ½ H 0 ) равномерно сходятся к предельному. Но если в случае простых гипотез с ростом п увеличивается вероятность больших значений статистик, то в случае сложных возрастают вероятности и больших, и малых значений статистик. Последнее замечание справедливо для распределений статистик SK , S ω , S Ω .

Рисунок 3 иллюстрирует изменения с ростом п распределений G ( Sn ½ H 0 ) статистики Крамера - Мизеса - Смирнова Sω при проверке сложной гипотезы о нормальности и использовании при оценивании параметров метода максимального правдоподобия. Чтобы подчеркнуть разницу в распределениях статистик при простых и сложных гипотезах, на указанном рисунке приведены G ( Sn ½ H 0 ) для п = 5, 20, 1000 и a 1( S ) - предельная функция распределения статистики S ω при проверке простой гипотезы.

Рисунок 3 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при сложной гипотезе ( H 0 - нормальное распределение, ОМП): n = 5, 20, 1000

Таким образом, распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистик непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах с ростом п очень быстро сходятся к предельным, и уже при п ≥ 15 - 20 можно, не опасаясь больших ошибок, пользоваться этими предельными законами при анализе данных.

Однако последний вывод не означает, что при малых объемах выборок с помощью этих критериев можно успешно различать близкие гипотезы. Для надежного различения близких законов распределения, в частности с помощью критерия согласия Колмогорова, может потребоваться выборка достаточно большого объема [ 30].

2.3.5 Влияние объема выборки на мощность непараметрических критериев при простых и сложных гипотезах

Способность различать близкие гипотезы зависит от того, насколько сильно различаются распределения G ( Sn ½ H 0 ) и G ( Sn ½ H 1 ).

Предложены к рассмотрению две близкие гипотезы: H 0 - нормальное распределение с плотностью  и параметрами μ = 0, σ = 1; H 1 - логистическое с такими же параметрами μ = 0, σ = 1 и плотностью . О близости этих законов распределения можно судить по рисунку 4, на котором представлены их функции распределения. Рисунок 5 иллюстрирует зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики SK Колмогорова при проверке простой (п = 20, 100, 500, 1000), а рисунок 6 - при проверке сложной гипотезы H 0 (при использовании ОМП).

Рисунок 4 - Функции распределения нормального и логистического законов

Рисунок 5 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики SK Колмогорова при простой гипотезе ( H 0 - нормальное распределение, H 1 - логистическое): п = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 6 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики SK Колмогорова при сложной гипотезе ( H 0 - нормальное распределение, H 1 - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

На рисунках 7, 8 для сравнения представлены распределения G ( Sn ½ H 1 ) статистики S ω при проверке простой (рисунок 7) и сложной гипотезы (рисунок 8) для тех же самых альтернатив H 0 и H 1 . Для данной пары альтернатив в случае проверки сложной гипотезы критерий согласия типа ω2 Крамера - Мизеса - Смирнова обладает несколько большей мощностью при различении близких гипотез, чем критерий типа Колмогорова, а в случае простых - наоборот.

Рисунок 7 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при простой гипотезе ( H 0 - нормальное распределение, H 1 - логистическое): п = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 8 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при сложной гипотезе ( H 0 - нормальное распределение, H 1 - логистическое, ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

С точки зрения практического использования критериев важны два момента, которые подтверждены результатами исследований и хорошо иллюстрированы рисунками 5 - 8. Во-первых, очевидно, что при малых выборках пытаться различать с помощью непараметрических критериев согласия близкие гипотезы (особенно простые) абсолютно бесполезно. Во-вторых, мощность непараметрических критериев при проверке сложных гипотез при тех же объемах выборок п всегда существенно выше, чем при проверке простых.

При проверке простых гипотез непараметрические критерии типа Колмогорова, Смирнова, ω2 и Ω 2 Мизеса уступают по мощности критериям типа χ2, особенно, если в последних используется асимптотически оптимальное группирование [ 31] - [ 34]. Но при проверке сложных гипотез непараметрические критерии оказываются более мощными. Для того чтобы воспользоваться их преимуществами, надо только знать распределение G ( Sn ½ H 0 ) при проверяемой сложной гипотезе.

2.3.6 Влияние метода оценивания на распределения статистик непараметрических критериев при сложных гипотезах

Распределения статистик критериев согласия существенно зависят от метода оценивания параметров, то есть каждому типу оценок при конкретной сложной проверяемой гипотезе соответствует свое предельное распределение G ( Sn ½ H 0 ) статистики. В данном случае по вполне очевидным причинам при проверке сложных гипотез сравним результаты использования ОМП и М D -оценок. При минимизации некоторого расстояния между эмпирической и теоретической функциями распределения получаются М D -оценки. Оценки максимального правдоподобия предпочтительны благодаря своим асимптотическим свойствам [ 35], [ 36], а в случае MD - оценок может минимизироваться значение статистики, используемой в критерии.

ОМП вычисляют в результате максимизации по θ функции правдоподобия

                                                      (21)

или ее логарифма

.                                              (22)

Чаще всего в случае скалярного параметра ОМП определяют как решение уравнения, а в случае векторного параметра - как решение системы уравнений правдоподобия вида

                                 (23)

где m - размерность вектора параметров θ. В общем случае эта система нелинейна и, за редким исключением, решаема только численно.

При практическом использовании критериев необходимо иметь в виду следующее. В данном случае, как и в [ 20] - [ 24], при построении распределений статистик и исследовании их зависимости от метода оценивания ОМП вычисляли как решение системы ( 23). Если использовать грубые приближения ОМП, то это соответственно отражается на распределениях статистик и свойствах критериев.

При вычислении М D -оценок минимизируется соответствующее расстояние между эмпирическим и теоретическим распределениями. При использовании статистики Колмогорова SK в качестве оценки вектора параметров θ выбирают значения, минимизирующие эту статистику:

                                                          (24)

( MD -оценки SK ). Аналогично, при использовании статистики S ω минимизируется по θ статистика S ω :

                                                          (25)

( MD -оценки S ω ). При использовании статистики S Ω -

                                                          (26)

( MD -оценки S Ω ).

Вид используемой оценки оказывает существенное влияние на распределения статистик критериев согласия. Степень влияния метода оценивания на распределение статистики иллюстрирует рисунок 9, на котором показаны полученные в результате моделирования плотности распределения g ( Sn ½ H 0 ) статистики критерия типа Колмогорова SK при вычислении оценок параметра сдвига нормального распределения тремя различными методами: минимизацией статистики SK , минимизацией статистики S ω и методом максимального правдоподобия. Функция плотности распределения Колмогорова обозначена на рисунке как k ( S ).

Рисунок 9 - Плотности распределения g ( Sn ½ H 0 ) статистики SK при проверке сложной гипотезы ( H 0 - нормальный закон, оценивание сдвига с использованием 1 - М D -оценок SK ; 2 - М D -оценок S ω ; 3 - ОМП). k ( S ) - плотность распределения Колмогорова

При использовании ОМП распределения статистик сильно зависят от соответствующего проверяемой гипотезе H 0 закона F ( x , θ). На рисунке 10 приведены эмпирические распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики Колмогорова SK , когда при проверке сложной гипотезы два параметра закона, соответствующего гипотезе H 0 , оценивали с использованием метода максимального правдоподобия. При этом на рисунке показаны распределения статистики G ( Sn ½ H 0 ), когда гипотеза H 0 соответствует законам: нормальному, логистическому, Лапласа с плотностью , распределению наименьшего значения с плотностью , распределению Коши с плотностью .

Рисунок 10 - Распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики Колмогорова SK при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H 0 (здесь и далее:
1 - нормального; 2 - логистического; 3 - Лапласа; 4 - наименьшего значения; 5 - Коши), при использовании ОМП. K ( S ) - функция распределения Колмогорова

При использовании М D - оценок, минимизирующих статистику применяемого критерия согласия, влияние закона F (х, θ), соответствующего проверяемой гипотезе H 0 , проявляется менее значительно. На рисунке 11 показаны распределения G ( Sn ½ H 0 ) той же статистики SK при проверке тех же гипотез, но с использованием MD - оценок параметров, полученных минимизацией по параметрам статистики SK .

На рисунке 12 приведены распределения статистики S ω для аналогичных гипотез H 0 при использовании ОМП, а на рисунке 13 - при использовании MD -оценок, минимизирующих по параметрам статистику S ω .

При использовании М D -оценок, минимизирующих по параметрам статистику S ω , эмпирические распределения смоделированных распределений G ( Sn ½ H 0 ) практически совпадают для законов нормального, логистического, Лапласа, наименьшего значения, максимального значения с плотностью , распределения Вейбулла с плотностью и хорошо аппроксимируются логарифмически нормальным законом с плотностью и параметрами μ = -3,2702; σ = 0,4719.

Рисунок 11 - Распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики Колмогорова SK при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H 0 , при использовании MD -оценок SK . K ( S ) - функция распределения Колмогорова, предельная при простой гипотезе

Рисунок 12 - Распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H 0 , при использовании ОМП. a 1( S ) - функция распределения, предельная при простой гипотезе

Рисунок 13 - Распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании двух параметров закона, соответствующего гипотезе H 0 , при М D -оценках S ω

Распределения статистик критериев согласия при использовании MD -оценок (как и в случае использования ОМП) существенно зависят от того, какой параметр оценивали. На рисунке 14 показаны распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при использовании MD - оценок S ω и оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе H 0 . На рисунке 15 представлены аналогичные распределения статистик, но при оценивании для тех же распределений параметра сдвига. Распределения статистик в случае оценивания параметра сдвига распределения максимального значения и масштабного параметра распределения Вейбулла совпадают с распределением статистики для распределения минимального значения.

Если обратить внимание на рисунок 16, на котором отображены распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω при проверке согласия с распределениями экспоненциальным , полу нормальным , Рэлея , Максвелла , модуля m - мерного (т = 5) нормального вектора  при оценивании масш табного параметра соответствующего закона с использованием MD -оценок S ω , то можно заметить, что распределения статистик близки к приведенным на рисунке 15. Распределения статистик, показанные на рисунке 16, например, достаточно хорошо аппроксимируются логарифмически нормальным законом с параметрами μ = -2,8484; σ = 0,5669.

Рисунок 14 - Распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе Н0, (6 - максимального значения; 7 - Вейбулла, параметр формы), при использовании MD -оценок S ω

Рисунок 15 - Распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании параметра сдвига, соответствующего гипотезе H 0 , при М D - оценках S ω

Рисунок 16 - Распределения G ( Sn ½ H 0 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при оценивании масштабного параметра закона, соответствующего гипотезе H 0 , (1 - экспоненциального; 2 - полунормального; 3 - Рэлея; 4 - Максвелла; 5 - модуля 5-мерного нормального вектора), при использовании М D -оценок S ω

Таким образом, применяя непараметрические критерии согласия, следует непременно учитывать используемый метод оценивания. При этом в случае метода максимального правдоподобия распределения статистик G ( Sn ½ H 0 ) очень сильно зависят от закона, соответствующего гипотезе H 0 . Разброс распределений G ( Sn ½ H 0 ) при использовании М D -оценок, минимизирующих статистику критерия, зависит от закона F (х, θ), соответствующего гипотезе H 0 , в существенно меньшей степени.

2.3.7 Метод оценивания и мощность непараметрических критериев согласия

При использовании М D -оценок, минимизирующих статистику критерия, эмпирические распределения G ( Sn ½ H 0 ), соответствующие различным гипотезам H 0 , имеют минимальный разброс, что означает определенную «свободу от распределения» для рассматриваемых критериев и предполагает применение MD - оценок при проверке сложных гипотез. Но если исследовать мощность рассматриваемых критериев при различных методах оценивания, то оказывается, что максимальную мощность непараметрические критерии при близких альтернативах имеют в случае оценивания параметров методом максимального правдоподобия.

Способность применяемого критерия различать альтернативы H 0 и H 1 зависит от его мощности 1 - β при заданном уровне значимости а, а именно от того, насколько существенно отличаются распределения статистики G ( Sn ½ H 0 ) и G ( Sn ½ H 1 ). При одинаковых объемах выборок п отличие распределений G ( Sn ½ H 0 ) и G ( Sn ½ H 1 ) в случае использования ОМП более значительно, а следовательно, критерий оказывается более мощным, чем в случае использования MD -оценок.

Например, рисунок 17 иллюстрирует зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики SK Колмогорова при проверке сложной гипотезы при паре альтернатив H 0 - нормальное распределение, H 1 - логистическое и использовании MD -оценок SK , а рисунок 18 - зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при использовании MD -оценок S ω .

Сравнивая рисунок 17 с рисунком 6, а рисунок 18 с рисунком 8, можно убедиться, что в случае использования метода максимального правдоподобия мощность критериев типа Колмогорова и типа ω2 Мизеса много выше, чем при использовании соответствующих MD -оценок. Аналогичная картина справедлива и для критерия типа Ω2 Мизеса со статистикой S Ω Андерсона - Дарлинга.

Рисунок 17 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики SK Колмогорова при сложной гипотезе (Н0 - нормальное распределение; H 1 - логистическое; MD -оценки SK ): n = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 18 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики S ω Крамера - Мизеса - Смирнова при сложной гипотезе ( H 0 - нормальное распределение; H 1 - логистическое; MD -оценки S ω ): п = 100, 500, 1000

Для того чтобы сравнить по мощности непараметрические критерии согласия для рассматриваемой пары близких гипотез H 0 и H 1 при использовании ОМП, на рисунке 19 приведены распределения G ( Sn ½ H 0 ) и G ( Sn ½ H 1 ) при п = 20, 100, 500, 1000 для статистики S Ω Андерсона - Дарлинга, а на рисунке 20 - для статистики S m Смирнова.

Рисунок 19 - Зависимость от n распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики S Ω Андерсона - Дарлинга при сложной гипотезе ( H 0 - нормальное распределение; H 1 - логистическое; ОМП): п = 20, 100, 500, 1000

Рисунок 20 - Зависимость от п распределений G ( Sn ½ H 1 ) статистики S m Смирнова при сложной гипотезе ( H 0 - нормальное распределение; H 1 - логистическое; ОМП): n = 20, 100, 500, 1000

Анализируя распределения на рисунках 6, 8, 19 и 20 можно заметить, что наиболее мощным для данной пары гипотез является критерий Ω2 со статистикой S Ω Андерсона - Дарлинга, затем критерий ω2 со статистикой S ω Крамера - Мизеса - Смирнова, далее критерий Колмогорова со статистикой SK на последнем месте критерий Смирнова со статистикой S m . Данное наблюдение о порядке предпочтения критериев хорошо согласуется с опытом их применения.

Почему мощность рассматриваемых критериев при проверке близких гипотез в случае ОМП выше, чем при MD -оценках, достаточно логично объясняет следующая версия. Использование MD -оценок, минимизирующих статистику критерия, приводит к распределению G ( S ½ H 0 ) с меньшим параметром масштаба (к более крутой функции распределения), чем в случае ОМП. Но с другой стороны, MD -оценки в отличие от ОМП являются робастными, они менее чувствительны к малым отклонениям выборки от предполагаемого закона распределения. Поэтому функция распределения G ( Sn ½ H 1 ) оказывается еще более крутой по отношению к аналогичному распределению при использовании ОМП.

2.3.8 Зависимость распределений статистик непараметрических критериев от конкретных значений параметра

В некоторых случаях предельные распределения G ( S ½ H 0 ) рассматриваемых статистик при проверке сложных гипотез зависят от конкретных значений параметров распределения, с которым проверяют согласие. В частности, распределения G ( S ½ H 0 ) непараметрических критериев согласия в случае проверки согласия с гамма-распределением с плотностью

зависят от его параметра формы θ0. Для иллюстрации приведены лишь распределения G ( S ½ H 0 ) статистики Колмогорова SK . На рисунке 21 показаны распределения статистики при оценивании по выборке параметра формы, на рисунке 22 - масштабного параметра, на рисунке 23 - двух параметров распределения. На этих рисунках цифрами по порядку помечены функции распределения статистики: 1 - при θ0 = 0,5; 2 - при θ0 = 1,0; 3 - при θ0 = 2,0; 4 - при θ0 = 3,0; 5 - при θ0 = 5,0. Для сравнения приведена функция распределения Колмогорова K ( S ).

С ростом θ0 предельные распределения статистик сходятся к предельным распределениям статистик для выборок из нормального закона. При значениях θ0 > 5 эмпирические распределения статистик при оценивании двух параметров практически совпадают и хорошо согласуются с распределением соответствующей статистики для нормального закона.

Общая картина принципиально сохраняется и для распределений других непараметрических статистик.

Рисунок 21 - Функции распределения статистики SK Колмогорова при вычислении ОМП параметра формы гамма-распределения. K ( S ) - функция распределения Колмогорова

Рисунок 22 - Функции распределения статистики SK Колмогорова при вычислении ОМП масштабного параметра гамма-распределения. K ( S ) - функция распределения Колмогорова

Рисунок 23 - Функции распределения статистики SK Колмогорова при оценивании методом максимального правдоподобия одновременно двух параметров гамма-распределения. K ( S ) - функция распределения Колмогорова

2.3.9 Выводы

На основании изложенного выше можно сформулировать следующие выводы и дать рекомендации.

Распределения статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах с ростом п быстро сходятся к предельным законам. Уже при п > 20, не опасаясь больших ошибок, можно пользоваться этими предельными законами для вычисления достигаемого уровня значимости P{ S > S * }.

В то же время надо иметь в виду, что различать близкие гипотезы (особенно простые) при малых выборках с помощью непараметрических критериев согласия невозможно.

Мощность непараметрических критериев при проверке сложных гипотез при тех же объемах выборок п всегда существенно выше, чем при проверке простых.

При проверке сложных гипотез распределения статистик G ( Sn ½ H 0 ) непараметрических критериев зависят не только от закона распределения F (х, θ), соответствующего гипотезе H 0 , числа и вида оцениваемых параметров (иногда конкретного значения параметра), но и от используемого метода оценивания параметров. Ни в коем случае нельзя, оценивая параметры одним методом, использовать (предельный) закон распределения статистики, построенный для другого метода оценивания.

В случае применения MD -оценок, минимизирующих статистику используемого критерия согласия, распределения статистик непараметрических критериев в меньшей степени подвержены зависимости от вида F ( x , θ), соответствующего гипотезе Н0. Однако наиболее мощными эти критерии оказываются при использовании ОМП.

В случае простых гипотез и при близких альтернативах непараметрические критерии согласия уступают по мощности критериям типа χ2. В случае проверки сложных гипотез - преимущество за непараметрическими критериями согласия. В то же время рекомендуется при проверке гипотез о согласии не останавливаться на использовании одного из критериев согласия, так как каждый из критериев по-разному улавливает различные отклонения эмпирического распределения от теоретического.

Изложенная опробованная методика моделирования распределений статистик при корректном ее применении может быть рекомендована для построения статистических закономерностей в ситуации, когда аналитическими методами не удается решить задачу.

Применение при проверке сложных гипотез распределений статистик критериев согласия, представленных в настоящих рекомендациях, правомерно при использовании ОМП или MD -оценок соответственно. Некорректно использование оценок по методу моментов (за исключением тех ситуаций, когда оценки по методу моментов совпадают с ОМП), использование различных оценок по наблюдениям, сгруппированным в интервалы. Некорректно вычисление значений статистик непараметрических критериев согласия по группированным наблюдениям.

3 Порядок проверки гипотез о согласии

3.1 Порядок проверки простой гипотезы о согласии

При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуют следующим образом.

а) Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.

б) Из совокупности отбирают случайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x 1х2 ≤ ... ≤ х n .

в) В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S * критерия [по формулам ( 6), ( 12), ( 15) или ( 16)].

г) В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение

P { S > S * } где G ( S ½ H 0 ) - распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H 0 . Если P{ S > S * } > α, где α - задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемую гипотезу Н0 отвергают.

Можно вычисленное значение статистики S * сравнить с критическим значением S α , определяемым из условия . Гипотезу о согласии отвергают, если значение статистики попадает в критическую область, т.е. при S * > S α .

3.1.1 Критерий Колмогорова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисления а) - г).

В случае выбранного критерия Колмогорова:

а) Значение статистики Колмогорова SK вычисляют по формуле ( 6) на основании формул ( 7) - ( 9).

б) Значение вероятности P { S > S * K } = 1 - K ( S * K ) вычисляют по функции распределения Колмогорова [формула ( 5)] или берут из таблицы А.1.

в) Критические значения критерия S α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.2.

3.1.2 Критерий Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисления а) - г).

В случае выбранного критерия Смирнова:

а) Значение статистики Смирнова S m вычисляют по формуле ( 12) на основании формул ( 8), ( 9).

б) Значение вероятности P { S m > S * m } = вычисляют по функции χ22 - распределения (с двумя степенями свободы).

в) Гипотезу H 0 не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S * m

P {Sm>S*m} = .

3.1.3 Критерий ω2 Крамера - Мизеса - Смирнова при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисленная а) - г).

В случае выбранного критерия Крамера - Мизеса - Смирнова:

а) Значение статистики Крамера - Мизеса - Смирнова Sω вычисляют по формуле ( 16).

б) Значение вероятности P { S ω > S * ω } = 1 - a 1( S ) вычисляют по функции распределения a 1( S ) ( 17) или берут из таблицы А.3.

в) Критические значения критерия S α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.4.

г) Гипотезу H 0 не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S * ω

P{Sω>S*ω} = 1 - a1(S*ω) > α.

3.1.4 Критерий Ω2 Андерсона - Дарлинга при простой гипотезе

Порядок проверки простой гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим - в соответствии с 3.1, перечисления а) - г).

В случае выбранного критерия Ω 2 Андерсона - Дарлинга:

а) Значение статистики Андерсона - Дарлинга S Ω вычисляют по формуле ( 19).

б) Значение вероятности P { S Ω > S * Ω } = 1 - a 2 ( S Ω ) > α вычисляют по функции распределения a 2 ( S ) (20) или берут из таблицы А.5.

в) Критические значения критерия S α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.6.

г) Гипотезу H 0 не отвергают, если для вычисленного по выборке значения статистики S * Ω

P {SΩ >S*Ω} = 1 - a2(S*Ω) > α.

3.2 Порядок проверки сложной гипотезы

При проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуют следующим образом.

а) Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение F (х, θ) случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить. Перечень теоретических распределений, для которых возможна проверка сложных гипотез с использованием данных рекомендаций, приведен в 3.2.7.

б) Из совокупности отбирают случайную выборку объема п. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений

x 1х2 ≤ ... ≤ х n .

в) По выборке вычисляют оценки параметров распределения F (х, θ), выбранного в соответствии с перечислением а) [оценки максимального правдоподобия на основании формул ( 21) - ( 23) или MD -оценки, минимизирующие статистику критерия на основании, соответственно, формул ( 24), ( 25) или ( 26)].

г) В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S * критерия [по формулам ( 6), ( 12), ( 15) или ( 16)].

д) В соответствии с выбранным критерием проверки, теоретическим распределением F ( x , θ), оцененным параметром или параметрами, используемым методом оценивания определяют распределение статистики критерия G ( S ½ H 0 ) при справедливости гипотезы H 0 .

е) На основании выбранного в соответствии с перечислением д) распределения G ( S ½ H 0 ) вычисляют значение

P {S >S*} = .

ж) Если P { S > S * } >α, где α - задаваемый уровень значимости, то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемую гипотезу H 0 отвергают. Можно вычисленное значение статистики S * сравнить с критическим значением S α , определяемым из условия α = . Гипотезу о согласии не отвергают, если S * < S α .

Если закон распределения, относительно которого проверяют гипотезу о согласии с использованием непараметрического критерия, не входит в перечень, приведенный в 3.2.7, то для построения распределения статистики G ( S ½ H 0 ), соответствующего проверяемой гипотезе Н0, рекомендуется воспользоваться методикой компьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.1 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Колмогорова

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа Колмогорова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения, связанные с указанным видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра распределения F ( x , θ) можно вычислять методом максимального правдоподобия на основании формул ( 21) - ( 23) или при минимизации статистики SK на основании формулы ( 24).

б) Значение статистики Колмогорова SK (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD -оценок - формула ( 24)] вычисляют по формуле ( 6) на основании формул ( 7) - ( 9).

в) Распределение G ( SK ½ H 0 ) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F ( x , θ ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.7. Критические значения критерия S α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.8.

г) В случае использования MD -оценок [формула ( 26)] распределение G ( SK ½ H 0 ) выбирают из таблицы А.9, а критические значения критерия S α могут быть взяты из таблицы А.10.

д) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * K } = 1 - G ( SK ½ H 0 ) > α (или S * K < S α ).

3.2.2 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Смирнова

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим с использованием критерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения критерия типа Смирнова следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра распределения F ( x , θ) вычисляют методом максимального правдоподобия [формулы ( 21) - ( 23)].

б) Значение статистики Смирнова S m вычисляют по формуле ( 12) на основании формул ( 8), ( 9).

в) Распределение G ( S m ½ H 0 ) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F ( x , θ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.11. Критические значения критерия S α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.12.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * m } = 1 - G ( S * m ½ H 0 ) > α (или S * m < S α ).

3.2.3 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа ω2 Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа ω2 Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения критерия типа ω2 Мизеса следующие.

а) Оценка скалярного или векторного параметра распределения F (х, θ) может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул ( 21) - ( 23) или при минимизации статистики S ω на основании формулы ( 25).

б) Значение статистики Крамера - Мизеса - Смирнова S ω (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD -оценок формула ( 25)] вычисляют по формуле ( 16).

в) Распределение G ( S ω ½ H 0 ) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F ( x , θ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.13. Критические значения критерия S α при заданном α могут быть взяты из таблицы А.14.

г) В случае использования MD -оценок [формула ( 27)] распределение G ( S ω ½ H 0 ) выбирают из таблицы А.15. Критические значения критерия S α могут быть взяты из таблицы А.16.

д) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * ω } = 1 - G ( S * ω ½ H 0 ) > α (или S * ω < S α ).

3.2.4 Проверка сложной гипотезы о согласии по критерию типа Ω2 Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим по критерию типа Ω 2 Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценка скалярного или векторного параметра распределения F (х, θ) может быть вычислена методом максимального правдоподобия на основании формул ( 21) - ( 23) или при минимизации статистики S Ω на основании формулы ( 26).

б) Значение статистики Андерсона - Дарлинга S Ω (при использовании ОМП) или ее минимума [при использовании MD -оценок формула ( 26)] вычисляют по формуле ( 19).

в) Распределение G ( S Ω ½ H 0 ) в случае использования ОМП в соответствии с теоретическим распределением F ( x , θ), оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.17. Критические значения критерия Sa при заданном α могут быть взяты из таблицы А.18.

г) В случае использования MD -оценок [формула ( 28)] распределение G ( S Ω ½ H 0 ) выбирают из таблицы А.19. Критические значения критерия S α могут быть взяты из таблицы А.20.

д) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * Ω } = 1 - G ( S * Ω ½ H 0 ) > α (или S * Ω < S α ).

3.2.5 Проверка сложных гипотез о согласии с гамма-распределением

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения рассматриваемых критериев заключаются в том, что предельные распределения статистик критериев в данном случае зависят от значения параметра формы θ0 гамма-распределения (см. таблицу 1). Кроме того, модели распределений статистик при проверке согласия с гамма-распределением построены только для случая использования ОМП и для ограниченного ряда значений параметра формы θ0.

При необходимости проверки гипотезы о согласии для значения параметра θ0, не совпадающего с представленными в таблицах А.21 - А.28, следует воспользоваться законом распределения соответствующей статистики (или процентными точками) при ближайшем к θ0 табличном значении этого параметра. Можно найти искомые приближенные значения вероятности P { S > S * } (пли процентных точек) с помощью интерполяции.

3.2.5.1 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа Колмогорова

Общий порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения, связанные с видом статистики, следующие.

а) Оценку скалярного или векторного, параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия на основании формул ( 21) - ( 23).

б) Значение статистики Колмогорова SK вычисляют по формуле ( 6) на основании формул ( 7) - ( 9).

в) Распределение G ( SK ½ H 0 ) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.21. Критическое значение критерия S α при заданном α может быть взято из таблицы А.22. Если значение параметра формы θ0 не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P{ S > S * K } или квантили S α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * K } = 1 - G ( S * K ½ H 0 ) > α (или S * K < S α ).

3.2.5.2 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа Смирнова

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением с использованием критерия типа Смирнова - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия по формулам ( 21) - ( 23).

б) Значение статистики Смирнова S m вычисляют по формуле ( 12) на основании формул ( 8), ( 9).

в) Распределение G ( S m ½ H 0 ) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.23. Критическое значение критерия S α при заданном α может быть взято из таблицы А.24. Если значение параметра формы θ 0 не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P { S > S * m } или критические значения критерия S α при заданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * m } = 1 - G ( S * m ½ H 0 ) > α (или S * m < S α ).

3.2.5.3 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа ω2 Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением по критерию типа ω2 Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия на основании формул ( 21) - ( 23).

б) Значение статистики Крамера - Мизеса - Смирнова S ω вычисляют по формуле ( 16).

в) Распределение G ( S ω ½ H 0 ) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.25. Критическое значение критерия S α при заданном α может быть взято из таблицы А.26. Если значение параметра формы θ0 не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P { S > S * ω } или критические значения критерия S α при заданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * ω } = 1 - G ( S * ω ½ H 0 ) > α (или S * ω < S α ).

3.2.5.4 Проверка сложной гипотезы о согласии с гамма-распределением по критерию типа Ω2 Мизеса

Порядок проверки сложной гипотезы о согласии опытного распределения с теоретическим гамма-распределением по критерию типа Ω2 Мизеса - в соответствии с 3.2, перечисления а) - ж).

Особенности применения указанного критерия следующие.

а) Оценку скалярного или векторного параметра гамма-распределения вычисляют методом максимального правдоподобия на основании формул ( 21) - ( 23).

б) Значение статистики Андерсона - Дарлинга S Ω вычисляют по формуле ( 19).

в) Распределение G ( S Ω ½ H 0 ) в соответствии с оцененным параметром или параметрами выбирают из таблицы А.27. Критическое значение критерия S α при заданном α может быть взято из таблицы А.28. Если значение параметра формы θ0 не совпадает ни с одним из табличных, искомые значения P { S > S * Ω } или критические значения критерия S α при заданном α определяют интерполяцией.

г) Гипотезу о согласии не отвергают, если P { S > S * Ω } = 1 - G ( S * Ω ½ H 0 ) > α (или S * Ω < S α ).

3.2.6 Проверка сложных гипотез о согласии с распределениями Джонсона

Проверку сложных гипотез о согласии опытного распределения с теоретическими распределениями Джонсона по критериям типа Колмогорова, типа ω2 и Ω 2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия осуществляют в соответствии с 3.2.1, 3.2.3 и 3.2.4 соответственно.

Модели предельных распределений соответствующих статистик выбирают из таблицы А.29 для распределения Sb -Джонсона, из таблицы А.30 для распределения Sl - Джонсона, из таблицы А.31 для распределения Su - Джонсона.

Процентные точки распределений статистики типа Колмогорова представлены в таблице А.32, статистики типа ω2 Мизеса - в таблице А.33, статистики типа Ω 2 Мизеса - в таблице А.34.

3.2.7 Перечень распределений, для которых регламентирована проверка сложных гипотез с использованием настоящих рекомендаций

Настоящие рекомендации определяют порядок проверки сложных гипотез о согласии с законами распределения, перечень которых приведен в таблице 1.

Таблица 1

Распределение случайной величины

Функция плотности

Экспоненциальное, х ≥ 0

Полунормальное, x 0

Рэлея, х 0

Максвелла, х 0

Лапласа, x Î (-∞, ∞)

Нормальное, x Î (-∞, ∞)

Логнормальное, x Î (0, ∞)

Коши, x Î (-∞, ∞)

Логистическое, x Î (-∞, ∞)

Наибольшего значения, x Î (-∞, ∞)

Наименьшего значения, x Î (-∞, ∞)

Вейбулла, x Î (0, ∞)

Гамма-распределение, x Î (θ2, ∞)

Sb - Джонсона, x Î [θ3, θ2, + θ 3 ]

Sl -Джонсона, x Î (θ3, ∞)

Su -Джонсона, x Î (-∞, ∞)

Список распределений, приведенный в таблице 1, достаточно ограничен. Он включает в себя законы распределения, наиболее часто используемые в приложениях в качестве моделей законов реальных случайных величин. Более широкий набор параметрических моделей законов распределений предложен в справочнике [ 35]. В случае необходимости проверки сложной гипотезы относительно закона, не вошедшего в представленный перечень, для построения распределения статистики G ( S ½ H 0 ) соответствующего проверяемой гипотезе Н0, рекомендуется воспользоваться методикой компьютерного анализа, изложенной в 2.3.2.

3.2.8 Законы распределения, используемые для аппроксимации предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке сложных гипотез

Эмпирические законы распределения статистик непараметрических критериев согласия наиболее хорошо описываются одним из следующих законов распределения: логарифмически нормальным, гамма-распределением, распределением Sl -Джонсона или распределением Su -Джонсона.

В таблицах приложения А, содержащих рекомендуемые для использования при проверке сложных гипотез распределения G ( S ½ H 0 ) через lnN ( θ 1 , θ0) обозначено логарифмически нормальное распределение с функцией плотности

,

через γ(θ0, θ1, θ2) - гамма-распределение с функцией плотности

через Sl ( θ0, θ1, θ2, θ3) - распределение Sl -Джонсона с плотностью

через Su 0, θ1, θ2, θ3) - распределение Su -Джонсона с плотностью

Таблицы А.7 - А.34 построены в результате применения методики компьютерного анализа статистических закономерностей, описанной в 2.3.2.

Процентные точки, представленные в таблицах, соответствуют построенным моделям распределений статистик. В некоторых частных случаях эти значения уточняли вследствие аппроксимации «хвостов» эмпирических распределений, полученных в результате моделирования.

Таблицы А.1 - А.6, используемые при проверке простых гипотез и содержащие значения функций распределения классических статистик непараметрических критериев согласия и значения процентных точек, заимствованы в [ 3].

3.2.9 Примеры применения критериев согласия при простых и сложных гипотезах

Пример 1 Проверяют простую гипотезу о принадлежности выборки экспоненциальному закону. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

0,0041

0,0051

0,0058

0,0074

0,0082

0,0110

0,0160

0,0191

0,0263

0,0279

0,0294

0,0323

0,0411

0,0452

0,0688

0,0741

0,0805

0,0809

0,1026

0,1124

0,1220

0,1226

0,1233

0,1317

0,1323

0,1368

0,1379

0,1475

0,1515

0,1598

0,1710

0,1789

0,2010

0,2014

0,2072

0,2102

0,2194

0,2205

0,2297

0,2300

0,2302

0,2373

0,2375

0,2397

0,2415

0,2492

0,2869

0,2908

0,2976

0,3058

0,3060

0,3073

0,3096

0,3278

0,3553

0,3620

0,3679

0,3833

0,3921

0,3985

0,4078

0,4080

0,4119

0,4169

0,4208

0,4568

0,4707

0,4880

0,4942

0,5214

0,5277

0,5878

0,6146

0,6180

0,6263

0,6415

0,6757

0,7156

0,7157

0,7207

0,7351

0,7485

0,7535

0,7541

0,7728

0,8875

0,9021

0,9581

0,9868

1,0440

1,2226

1,2402

1,2641

1,3034

1,3328

1,3553

1,4006

1,5586

1,6296

2,5018

Проверяемая гипотеза имеет вид Н0:  при значении параметра θ0 = 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1 вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле ( 6):

S * k = 0,8269. При этом значении статистики вычисляют вероятность P { S > S * K } = 1 - K ( S * K ) = 0,5011.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2 вычисляют значение статистики Смирнова по формуле ( 12): S * m = 2,7349. При этом значении статистики вычисляют вероятность P { S m > S * m } =  = 0,2548.

в) Критерий ω2 от Мизеса

В соответствии с 3.1.3 вычисляют значение статистики ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * ω = 0,1272. При этом значении статистики вычисляют вероятность P { S ω > S * ω } = 1 - a 1 ( S * ω ) = 0,4673.

г) Критерий Ω2 Мизеса

В соответствии с 3.1.4 вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * Ω = 0,8985. При таком значении статистики вычисляют вероятность P { S Ω > S * Ω } = 1 - a 2 ( S * Ω ) = 0,4151.

Как видно, при задании уровня значимости α < 0,2548 (для критерия Смирнова) нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 2 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки из примера 1 экспоненциальному закону H 0 : . Вычисленная по выборке оценка максимального правдоподобия параметра  = 0,4465.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле ( 6): S * K = 0,5188. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистики критерия хорошо аппроксимируется логарифмически нормальным распределением   c параметрами θ0 = 0,2545; θ1 = -0,3422. При найденном значении статистики по логарифмически нормальному закону вычисляют вероятность P { S > S * K } = 0,8914.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле ( 12): S * m = 1,0767. Из таблицы А.11 видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется логарифмически нормальным распределением с параметрами θ0 = 0,6951; θ1 = 0,226. При найденном значении статистики вычисляют вероятность P { Sm > S * m } = 0,5866.

в) Критерий типа ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.3 вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * ω = 0,035. Из таблицы А.13 видно, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su -Джонсона с плотностью

и параметрами θ0 = -1,8734; θ1 = 1,2118; θ2 = 0,0223; θ3 = 0,024. При найденном значении статистики по распределению Su -Джонсона вычисляют вероятность P { S ω > S * ω } = 0,9027.

г) Критерий типа Ω 2 Мизеса

В соответствии с 3.2.4 вычисляют значение статистики Ω 2 Мизеса по формуле ( 16):

S * Ω = 0,386. Из таблицы А.17 находят, что распределение статистики критерия аппроксимируется распределением Su -Джонсона с параметрами θ0 = -2,8653; θ1 = 1,422; θ2 = 0,105; θ3 = 0,1128. При найденном значении статистики по распределению Su -Джонсона вычисляют вероятность P { S Ω > S * Ω } = 0,6808.

По всем критериям согласие выборки с экспоненциальным законом очень хорошее.

Пример 3 Проверяют простую гипотезу о принадлежности выборки нормальному закону. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

-0,6679

-0,4652

0,0056

0,0078

0,0167

0,0362

0,1189

0,1556

0,1831

0,2037

0,2829

0,2852

0,3388

0,4264

0,4733

0,4999

0,5093

0,5181

0,5227

0,5281

0,5506

0,5679

0,5849

0,5872

0,6027

0,6052

0,6124

0,6342

0,6616

0,6669

0,6712

0,7245

0,7386

0,7567

0,7992

0,8045

0,8083

0,8151

0,8216

0,8422

0,8472

0,8502

0,8678

0,8699

0,8902

0,8918

0,9037

0,9443

0,9529

0,9535

0,9548

0,9557

0,9632

0,9767

0,9956

0,9992

1,0233

1,0257

1,0574

1,0621

1,0658

1,0706

1,0724

1,1059

1,1172

1,1447

1,1500

1,1595

1,1836

1,1875

1,1887

1,2143

1,2360

1,2589

1,2754

1,2998

1,3192

1,3288

1,3587

1,3818

1,3998

1,4088

1,4314

1,4337

1,4822

1,4832

1,4958

1,4968

1,5213

1,5249

1,5896

1,6087

1,6425

1,6554

1,6687

1,8223

1,8569

1,8886

2,0460

2,2956

Проверяемая гипотеза имеет вид Н0:  при значении параметра θ0 = 0,5.

а) Критерий Колмогорова

В соответствии с 3.1.1 вычисляют значение статистики Колмогорова по формуле ( 6):

S * k = 0,7410. При этом значении статистики вычисляют вероятность P { S > S * K } = 1 - K ( S * K ) = 0,5741.

б) Критерий Смирнова

В соответствии с 3.1.2 вычисляют значение статистики Смирнова по формуле ( 12): S * m = 2,1964. При этом значении статистики вычисляют вероятность P { S m > S * m } =  = 0,3335.

в) Критерий ω2 от Мизеса

В соответствии с 3.1.3 вычисляют значение статистики ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * ω = 0,1148. При этом значении статистики вычисляют вероятность P { S ω > S * ω } = 1 - a 1 ( S * ω ) = 0,5169.

г) Критерий Ω2 Мизеса

В соответствии с 3.1.4 вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * Ω = 0,7577. Полученная при таком значении статистики вероятность равна 0,5126.

Как видно, при задании уровня значимости α < 0,3335 (для критерия Смирнова) нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы по всем критериям согласия.

Пример 4 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки из примера 3 нормальному закону распределения. Проверяемая гипотеза имеет вид H 0 : . Вычисленные по выборке оценки максимального правдоподобия параметров θ0 = 0,4465; θ1 = 0,9369.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле ( 6): S * K = 0,5741. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценок максимального правдоподобия двух параметров нормального закона аппроксимируется гамма-распределением  с параметрами θ0 = 4,9014; θ1 = 0,0691; θ2 = 0,2951. При найденном значении статистики по гамма-распределению вычисляют вероятность P{ S > S * K } = 0,6034.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле ( 12): S * m = 0,4016. Из таблицы А.11 видно, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров нормального закона подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ0 = 0,5436; θ1 = 0,1164. При найденном значении статистики вычисляют по логарифмически нормальному закону вероятность P { S m > S * m } = 0,9708.

в) Критерий типа ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.3 вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * ω = 0,0338. Из таблицы А.13 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров нормального закона подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ0= 0,5330; θ1 = -2,9794. При найденном значении статистики вычисляют по логарифмически нормальному закону вероятность P { S ω > S * ω } = 0,7779.

г) Критерий типа Ω 2 Мизеса

В соответствии с 3.2.4 вычисляют значение статистики Ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * Ω = 0,2394. Из таблицы А.17 находят, что распределение статистики критерия подчиняется распределению Su - Джонсона с параметрами θ0 = -2,7057; θ1 = 1,7154; θ2 = 0,1043; θ3 = 0,0925. При найденном значении статистики по распределению Su -Джонсона вычисляют вероятность P { S Ω > S * Ω } = 0,7719.

По всем критериям согласие выборки с нормальным законом очень хорошее.

Пример 5 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки двухпараметрическому распределению Вейбулла. Упорядоченная выборка объемом 200 наблюдений имеет вид:

0,0999

0,1089

0,1134

0,1160

0,1242

0,1332

0,1356

0,1442

0,1575

0,1819

0,1853

0,1922

0,2071

0,2141

0,2184

0,2244

0,2475

0,2485

0,2551

0,2572

0,2634

0,2642

0,2647

0,2659

0,2668

0,2726

0,2768

0,2796

0,2824

0,2844

0,2858

0,2897

0,2918

0,2957

0,3090

0,3151

0,3151

0,3152

0,3181

0,3187

0,3208

0,3241

0,3305

0,3380

0,3396

0,3398

0,3405

0,3417

0,3441

0,3533

0,3547

0,3548

0,3663

0,3671

0,3734

0,3781

0,3870

0,3918

0,3940

0,3980

0,3988

0,4032

0,4070

0,4110

0,4219

0,4234

0,4236

0,4257

0,4282

0,4305

0,4320

0,4535

0,4599

0,4611

0,4632

0,4739

0,4821

0,4862

0,4885

0,4899

0,5089

0,5106

0,5285

0,5338

0,5361

0,5374

0,5399

0,5505

0,5537

0,5685

0,5716

0,5717

0,5730

0,5821

0,5834

0,5999

0,6010

0,6054

0,6097

0,6120

0,6142

0,6151

0,6252

0,6259

0,6315

0,6354

0,6377

0,6423

0,6520

0,6553

0,6758

0,6853

0,6862

0,6943

0,6987

0,7095

0,7114

0,7140

0,7157

0,7355

0,7479

0,7624

0,7738

0,7748

0,7820

0,7849

0,7915

0,8013

0,8099

0,8111

0,8184

0,8234

0,8250

0,8260

0,8284

0,8295

0,8473

0,8478

0,8480

0,8493

0,8620

0,8706

0,8713

0,8834

0,8846

0,9073

0,9076

0,9128

0,9272

0,9500

0,9589

0,9608

0,9890

0,9922

1,0176

1,0184

1,0287

1,0368

1,0533

1,0538

1,1193

1,1245

1,1245

1,1346

1,1399

1,1485

1,1574

1,1591

1,1669

1,1701

1,2342

1,2618

1,2679

1,3034

1,3503

1,4257

1,4258

1,4501

1,4617

1,4632

1,4785

1,5091

1,5188

1,5752

1,6154

1,6333

1,6355

1,7139

1,7503

1,7684

1,9291

2,0316

2,0937

2,0948

2,3901

2,5209

2,8097

3,0380

3,0530

6,1251

Проверяют Н0:  Вычисленные по выборке оценки максимального правдоподобия параметров  = 1,3734;  = 0,8539.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле ( 6): S * K = 1,2402. Из таблицы А.7 находят, что распределение статистики критерия при вычислении оценок максимального правдоподобия двух параметров распределения Вейбулла аппроксимируется гамма-распределением с параметрами θ0 = 4,9738; θ1 = 0,066; θ2 = 0,3049. При найденном значении статистики в соответствии с гамма-распределением вычисляют вероятность P { S > S * K } = 0,00154. Следовательно, при задании уровня значимости α > 0,00154 проверяемая гипотеза должна быть отклонена.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле ( 12): S * m = 4,6028. Из таблицы А.11 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ0 = 0,1501; θ1 = 0,5108. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии с логарифмически нормальным законом вероятность P { S m > S * m } = 0,00352.

в) Критерий типа ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.3 вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * ω = 0,347. Из таблицы А.13 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП двух параметров распределения Вейбулла подчиняется логарифмически нормальному распределению с параметрами θ0 = 0,5379; θ1 = -2,9541. При найденном значении статистики вычисляют в соответствии с логарифмически нормальным законом вероятность P { S ω > S * ω } = 0,00021.

г) Критерий типа Ω 2 Мизеса

В соответствии с 3.2.4 вычисляют значение статистики Ω 2 Мизеса по формуле ( 16): S * Ω = 2,553. Из таблицы А.17 находят, что при вычислении ОМП двух параметров распределения Вейбулла распределение статистики критерия хорошо аппроксимируется распределением Su -Джонсона с параметрами θ0= -2,4622; θ1 = 1,6473; θ2 = 0,1075; θ3 = 0,1149. При найденном значении статистики вычисляют по распределению Su -Джонсона вероятность P { S * Ω > S * Ω } = 0,000066.

Таким образом, по всем критериям выборка плохо согласуется с распределением Вейбулла и проверяемая гипотеза должна быть отклонена.

Пример 6 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки гамма-распределению с параметром формы θ0 = 2, параметром сдвига θ2 = 0. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

0,1006

0,2156

0,2311

0,2925

0,3410

0,3512

0,4028

0,5132

0,5340

0,5409

0,6100

0,6187

0,6204

0,6324

0,6559

0,6743

0,7131

0,7394

0,7779

0,7911

0,7919

0,8068

0,8117

0,8839

0,8996

0,9040

0,9167

0,9210

0,9441

0,9487

1,0274

1,0285

1,0316

1,1102

1,1249

1,1302

1,1497

1,2345

1,2530

1,2903

1,3136

1,3303

1,3360

1,3405

1,3804

1,4050

1,4117

1,4331

1,4617

1,4991

1,5852

1,6111

1,6175

1,6299

1,6798

1,7159

1,7287

1,7756

1,8505

1,8872

1,8928

1,9605

2,0299

2,1560

2,2548

2,2769

2,2901

2,3020

2,4111

2,4679

2,5302

2,5342

2,6717

2,6789

2,6797

2,8988

2,9230

2,9414

2,9558

3,0030

3,0531

3,1134

3,2002

3,2757

3,3716

3,4342

3,4632

3,5365

3,5753

3,7399

3,9758

4,1776

4,3462

4,3627

4,5000

4,5506

4,7544

4,7859

5,6662

8,2201

Проверяемая гипотеза имеет вид

H 0 : .

Вычисленная по выборке оценка максимального правдоподобия параметра масштаба  = 1,02818.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле ( 6): S * K = 0,4917. Из таблицы А.21 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП масштабного параметра гамма-распределения подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -2,2691; θ1 = 2,2383; θ2 = 0,2323; θ3 = 0,3958. При найденном значении статистики по распределению Su -Джонсона вычисляют вероятность P { S > S * K } = 0,9146. Следовательно, согласие очень хорошее и проверяемая гипотеза должна быть принята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле ( 12): S * m = 0,9419. Из таблицы А.23 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -2,5372; θ1 = 1,3749; θ2 = 0,3464; θ3 = 0,2162. При найденном значении статистики по распределению Su -Джонсона вычисляют вероятность P { S m > S * m } = 0,6897, значение которой указывает на хорошее согласие.

в) Критерий типа ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3 вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * ω = 0,0475. Из таблицы А.25 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -1,6042; θ1 = 1,1125; θ2 = 0,0027; θ3 = 0,0281. При найденном значении статистики по распределению Su -Джонсона вычисляют вероятность P { S ω > S * ω } = 0,7498.

г) Критерий типа Ω 2 Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4 вычисляют значение статистики Ω 2 Мизеса по формуле ( 16): S * Ω = 0,2675. Из таблицы А.27 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметра масштаба гамма-распределения подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -2,4667; θ1 = 1,418; θ2 = 0,1207; θ3 = 0,1416. При найденном значении статистики по данному распределению Su -Джонсона вычисляют вероятность P { S Ω > S * Ω } = 0,8798.

Таким образом, по всем критериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемая гипотеза должна быть принята.

Пример 7 Проверяют сложную гипотезу о принадлежности выборки гамма-распределению с параметром сдвига θ 2 = 0. Упорядоченная выборка объемом 100 наблюдений имеет вид:

0,0002

0,0004

0,0009

0,0019

0,0020

0,0025

0,0028

0,0030

0,0031

0,0040

0,0044

0,0054

0,0057

0,0068

0,0076

0,0081

0,0084

0,0090

0,0101

0,0119

0,0130

0,0162

0,0190

0,0201

0,0206

0,0237

0,0293

0,0312

0,0427

0,0431

0,0441

0,0452

0,0481

0,0492

0,0498

0,0517

0,0517

0,0552

0,0558

0,0638

0,0671

0,0714

0,0806

0,0815

0,0965

0,0987

0,1005

0,1055

0,1255

0,1307

0,1312

0,1324

0,1353

0,1411

0,1446

0,1524

0,1594

0,1678

0,1754

0,1767

0,1799

0,1838

0,1994

0,2116

0,2159

0,2162

0,2238

0,2242

0,2329

0,2545

0,2782

0,2900

0,2929

0,2967

0,3006

0,3084

0,3200

0,3262

0,3286

0,3473

0,3488

0,3608

0,3905

0,3961

0,4132

0,4294

0,4385

0,4557

0,4629

0,4699

0,5041

0,5096

0,6121

0,6146

0,6415

0,7359

0,9762

1,1460

1,1494

1,6170

Проверяемая гипотеза имеет вид

H 0 : .

Вычисленные по выборке ОМП параметров формы и масштаба соответственно равны  = 0,5812;  =2,7391. В таблицах А.21 - А.28 ближайшее значение параметра формы θ0 = 0,5.

а) Критерий типа Колмогорова

В соответствии с 3.2.5.1 вычисляют значение статистики типа Колмогорова по формуле ( 6): S * K = 0,6272. Из таблицы А.21 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -2,8715; θ1 = 2,5280; θ2 = 0,2325; θ3 = 0,3296. При найденном значении статистики по данному распределению Su - Джонсона вычисляют вероятность P{ S > S * K } = 0,5699. Так как оценка параметра формы больше 0,5, то при θ0 = 0,5812 P{ S > S * K } > 0,5699. Следовательно, проверяемая гипотеза должна быть принята.

б) Критерий типа Смирнова

В соответствии с 3.2.5.2 вычисляют значение статистики типа Смирнова по формуле ( 12): S * m = 1,1526. Из таблицы А.23 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -2,4027; θ1 = 1,3861; θ2 = 0,3389; θ3 = 0,2290. При найденном значении статистики по данному распределению Su -Джонсона вычисляют, что вероятность P { S m > S * m } > 0,5031.

в) Критерий типа ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.5.3 вычисляют значение статистики типа ω2 Мизеса по формуле ( 16): S * ω = 0,0561. Из таблицы А.25 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -1,5811; θ1 = 1,1193; θ2 = 0,0164; θ3 = 0,0243. При найденном значении статистики по данному распределению Su -Джонсона вычисляют, что вероятность P { S ω > S * ω } > 0,4985.

г) Критерий типа Ω2 Мизеса

В соответствии с 3.2.5.4 вычисляют значение статистики Ω 2 Мизеса по формуле ( 16): S * Ω = 0,3746. Из таблицы А.27 находят, что распределение статистики критерия при вычислении ОМП параметров формы и масштаба гамма-распределения при θ0 = 0,5 подчиняется распределению Su -Джонсона с параметрами θ0 = -2,6917; θ1 = 1,6334; θ2 = 0,0970; θ3 = 0,1067. При найденном значении статистики по данному распределению Su -Джонсона вычисляют, что вероятность P { S Ω > S * Ω } > 0,4400.

Таким образом, по всем критериям выборка хорошо согласуется с гамма-распределением и проверяемая гипотеза должна быть принята.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(рекомендуемое)

ТАБЛИЦЫ
распределений статистик непараметрических критериев согласия при простых и сложных гипотезах

Таблица А.1 - Функция распределения статистики Колмогорова K ( S ) при проверке простой гипотезы

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,2

0,000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000001

000004

0,3

0,000009

000021

000046

000091

000171

000303

000511

000826

001285

001929

0,4

0,002808

003972

005476

007377

009730

012589

016005

020022

024682

030017

0,5

0,036055

042814

050306

058534

067497

077183

087577

098656

110394

122760

0,6

0,135718

149229

163255

177752

192677

207987

223637

239582

255780

272188

0,7

0,288765

305471

322265

339114

355981

372833

389640

406372

423002

439505

0,8

0,455858

472039

488028

503809

519365

534682

549745

564545

579071

593315

0,9

0,607269

620928

634285

647337

660081

672515

684836

696445

707941

719126

1,0

0,730000

740566

750825

760781

770436

779794

788860

797637

806130

814343

1,1

0,822282

829951

837356

844502

851395

858040

864443

870610

876546

882258

1,2

0,887750

893030

898102

903973

907648

912134

916435

920557

924506

928288

1,3

0,931908

935371

938682

941847

944871

947758

950514

953144

955651

958041

1,4

0,960318

962487

964551

966515

968383

970159

971846

973448

974969

976413

1,5

0,977782

979080

980310

981475

982579

983623

984610

985544

986427

987261

1,6

0,988048

988791

989492

990154

990777

991364

991917

992438

992928

993389

1,7

0,993823

994230

994612

994972

995309

995625

995922

996200

996460

996704

1,8

0,996932

997146

997346

997533

997707

997870

998023

998165

998297

998421

1,9

0,998536

998644

998744

998837

998924

999004

999079

999149

999213

999273

2,0

0,999329

999381

999429

999473

999514

999553

999588

999620

999651

999679

2,1

0,999705

999728

999750

999771

999790

999807

999823

999837

999851

999863

2,2

0,999874

999886

999895

999904

999912

999920

999927

999933

999939

999944

2,3

0,999949

999954

999958

999961

999965

999968

999971

999974

999976

999978

2,4

0,999980

999982

999984

999985

999987

999988

999989

999990

999991

999992

Таблица А.2 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при проверке простой гипотезы

Функция распределения

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

K ( S )

1,1379

1,2238

1,3581

1,4802

1,6276

Таблица А.3 - Функция распределения статистики ω2 Мизеса а1( S ) при проверке простой гипотезы

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,00000

00001

00300

02568

06685

12372

18602

24844

30815

36386

0,1

0,41513

46196

50457

54329

57846

61042

63951

66600

69019

71229

0,2

0,73253

75109

76814

78383

79829

81163

82396

83536

84593

85573

0,3

0,86483

87329

88115

88848

89531

90167

90762

91317

91836

92321

0,4

0,92775

93201

93599

93972

94323

94651

94960

95249

95521

95777

0,5

0,96017

96242

96455

96655

96843

97020

97186

97343

97491

97630

0,6

0,97762

97886

98002

98112

98216

98314

98406

98493

98575

98653

0,7

0,98726

98795

98861

98922

98981

99036

99088

99137

99183

99227

0,8

0,99268

99308

99345

99380

99413

99444

99474

99502

99528

99553

0,9

0,99577

99599

99621

99641

99660

99678

99695

99711

99726

99740

1,0

0,99754

99764

99776

99787

99799

99812

99820

99828

99837

99847

1,1

0,99856

99862

99869

99876

99883

99890

99895

99900

99905

99910

1,2

0,99916

99919

99923

99927

99931

99935

99938

99941

99944

99947

1,3

0,99950

99953

99955

99957

99959

99962

99964

99965

99967

99969

1,4

0,99971

99972

99973

99975

99976

99978

99978

99979

99980

99980

Таблица А.4 - Процентные точки распределения статистики ω2 Мизеса при проверке простой гипотезы

Функция распределения

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

а 1( S )

0,2841

0,3473

0,4614

0,5806

0,7434

Таблица А.5 - Функция распределения статистики Ω 2 Мизеса (Андерсона - Дарлинга) a 2( S ) при проверке простой гипотезы

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00001

0,1

0,00003

00008

00020

00043

00081

00141

00228

00349

00508

00710

0,2

0,00959

01256

01605

02005

02457

02961

03514

04115

04762

05453

0,3

0,06184

06954

07759

08596

09463

10356

11273

12211

13168

14140

0,4

0,15127

16124

17132

18146

19166

20190

21217

22244

23271

24296

0,5

0,25319

26337

27351

28359

29360

30355

31342

32320

33290

34250

0,6

0,35200

36141

37071

3 7 991

38900

39798

40684

41560

42424

43277

0,7

0,44118

44947

45765

46572

47367

48150

48922

49683

50432

51170

0,8

0,51897

52613

53318

54012

54695

55368

56030

56682

57324

57956

0,9

0,58577

59189

59791

60383

60966

61540

62104

62660

63206

63744

1,0

0,64273

64794

65306

65811

66307

66795

67275

67748

68213

68670

1,1

0,69120

69563

69999

70428

70851

71266

71675

72077

72473

72863

1,2

0,73247

73624

73996

74361

74721

75075

75424

75767

76105

76438

1,3

0,76765

77088

77405

77717

78025

78328

78626

78919

79209

79493

1,4

0,79773

80049

80321

80589

80852

81112

81368

81620

81868

82112

1,5

0,82352

82589

82823

83053

83279

83503

83723

83939

84153

84363

1,6

0,84570

84774

84975

85173

85369

85561

85751

85938

86122

86303

1,7

0,86482

86659

86832

87004

87173

87339

87503

87665

87824

87981

1,8

0,88136

88289

88439

88588

88734

88878

89021

89161

89299

89435

1,9

0,89570

89703

89833

89962

90089

90215

90338

90460

90581

90699

2,0

0,90816

90932

91046

91158

91269

91378

91486

91592

91697

91800

2,1

0,91902

92003

92102

92200

92297

92392

92486

92579

92671

92761

2,2

0,92851

92939

93025

93111

93196

93279

93361

93443

93523

93602

2,3

0,93680

93757

93833

93908

93983

94056

94128

94199

94269

94339

2,4

0,94407

94475

94542

94608

94673

94737

94800

94863

94925

94986

2,5

0,95046

95105

95164

95222

95279

95336

95391

95446

95501

95554

2,6

0,95607

95660

95711

95762

95813

95862

95912

95960

96008

96055

2,7

0,96102

96148

96194

96239

96283

96327

96370

96413

96455

96497

2,8

0,96538

96579

96619

96659

96698

96737

96775

96813

96850

96887

2,9

0,96923

96959

96995

97030

97064

97099

97132

97166

97199

97231

3,0

0,97263

97295

97327

97358

97388

97419

97449

97478

97507

97536

3,1

0,97565

97593

97621

97648

97675

97702

97729

97755

97781

97806

3,2

0,97831

97856

97881

97905

97929

97953

97977

98000

98023

98046

3,3

0,98068

98090

98112

98134

98155

98176

98197

98217

98238

98258

3,4

0,98278

98297

98317

98336

98355

98374

98392

98410

98429

98447

3,5

0,98464

98482

98499

98516

98533

98549

98566

98582

98598

98614

3,6

0,98630

98645

98660

98676

98691

98705

98720

98734

98749

98763

3,7

0,98777

98791

98804

98818

98831

98844

98857

98870

98883

98895

3,8

0,98908

98920

98932

98944

98956

98968

98979

98991

99002

99013

3,9

0,99024

99035

99046

99057

99067

99078

99088

99098

99108

99118

4,0

0,99128

99221

99303

99377

99442

99501

99553

99600

99642

99679

5,0

0,99713

99742

99769

99793

99814

99834

99851

99866

99880

99892

6,0

0,99903

99913

99922

99930

99937

99944

99949

99954

99959

99963

7,0

0,99967

99970

99973

99976

99978

99981

99983

99984

99986

99987

8,0

0,99989

99990

99991

99992

99993

99993

99994

99995

99995

99996

9,0

0,99996

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Таблица А .6 - Процентные точки распределения статистики Ω 2 Мизеса ( Андерсона - Дарлинга ) при проверке простой гипотезы

Функция распределения

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

a2( S)

1,6212

1,9330

2,4924

3,0775

3,8781

Таблица А.7 - Аппроксимация предельных распределений статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

ln N (-0,3422; 0,2545)

-

-

Полунормальное

γ (4,1332; 0,1076; 0,3205)

-

-

Рэлея

ln N (-0,3388; 0,2621)

-

-

Максвелла

ln N (-0,3461; 0,2579)

-

-

Лапласа

γ (4,0038; 0,1269; 0,3163)

γ (4,6474; 0,0870; 0,3091) ln N (-0,3690; 0,2499)

γ (4,4525; 0,0761; 0,3252) ln N (-0,4358; 0,2276)

Нормальное

γ (4,1492; 0,1259; 0,3142)

ln N (-0,4138; 0,2289)

γ (4,9014; 0,0691; 0,2951) ln N (-0,4825; 0,2296)

Логнормальное

γ (4,3376; 0,1265; 0,2890)

Su (-2,0328; 2,3642; 0,2622;

Su (-1,8093; 1,9041; 0,1861; 0,4174)

0,4072)

Коши

Su (-3,3278; 2,2529; 0,2185; 0,2858)

γ (4,8247; 0,0874; 0,2935)

ln N (-0,5302; 0,2427)

Логистическое

γ (3,5345; 0,1385; 0,339)

Su (-2,8534; 3,0657; 0,2872; 0,3199)

ln N (-0,5611; 0,2082)

Наибольшего значения

γ (3,4689; 0,1384; 0,3543)

γ (4,1008; 0,0997; 0,3269)

γ (4,9738; 0,0660; 0,3049)

Наименьшего значения

γ (3,4689; 0,1384; 0,3543)

γ (4,1008; 0,0997; 0,3269)

γ (4,9738; 0,0660; 0,3049)

Вейбулла

γ (3,4689; 0,1384; 0,3543)1)

γ (4,1008; 0,0997; 0,3269)2)

γ (4,9738; 0,0660; 0,3049)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.8 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,9246

0,9841

1,0794

1,1695

1,2838

Полунормальное

Масштабный

0,9857

1,0584

1,1752

1,2853

1,4241

Рэлея

Масштабный

0,9338

0,9954

1,0944

1,1881

1,3072

Максвелла

Масштабный

0,9242

0,9845

1,0812

1,1728

1,2890

Лапласа

Масштабный

1,0800

1,1647

1,3009

1,4296

1,5918

Сдвиг

0,9015

0,9612

1,0547

1,1426

1,2538

Два параметра

0,8216

0,8710

0,9497

1,0248

1,1206

Нормальное

Масштабный

1,0951

1,1803

1,3171

1,4462

1,6087

Сдвиг

0,8381

0,8865

0,9634

1,0354

1,1260

Два параметра

0,7895

0,8333

0,9042

0,9723

1,0599

Логнормальное

Масштабный

1,1037

1,1907

1,3303

1,4618

1,6272

Сдвиг

0,8516

0,9076

1,0006

1,0927

1,2151

Два параметра

0,8113

0,8708

0,9731

1,0782

1,2234

Коши

Масштабный

1,0281

1,1169

1,2669

1,4176

1,6209

Сдвиг

0,9096

0,9722

1,0723

1,1663

1,2842

Два параметра

0,7568

0,8032

0,8772

0,9469

1,0350

Логистическое

Масштабный

1,0895

1,1777

1,3201

1,4552

1,6262

Сдвиг

0,7903

0,8359

0,9096

0,9803

1,0713

Два параметра

0,7080

0,7451

0,8036

0,8581

0,9261

Наибольшего значения

Масштабный

1,0925

1,1800

1,3215

1,4557

1,6257

Сдвиг

0,9391

1,0062

1,1141

1,2159

1,3442

Два параметра

0,7825

0,8304

0,9069

0,9786

1,0684

Наименьшего значения

Масштабный

1,0925

1,1800

1,3215

1,4557

1,6257

Сдвиг

0,9391

1,0062

1,1141

1,2159

1,3442

Два параметра

0,7825

0,8304

0,9069

0,9786

1,0684

Вейбулла

Формы

1,0925

1,1800

1,3215

1,4557

1,6257

Масштаба

0,9391

1,0062

1,1141

1,2159

1,3442

Два параметра

0,7825

0,8304

0,9069

0,9786

1,0684

Таблица А.9 - Аппроксимация предельных распределений минимума статистики Колмогорова (при использовании MD - оценок, минимизирующих статистику SK )

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

γ (4,4983; 0,0621; 0,2891)

-

-

Полунормальное

γ (4,2884; 0,0705; 0,3072)

-

-

Рэлея

γ (4,8579; 0,0639; 0,2900)

-

-

Максвелла

γ (5,3106; 0,0581; 0,2865)

-

-

Лапласа

γ (3,0431; 0,1355; 0,3182)

γ (5,0103; 0,0602; 0,2968)

ln N (-0,5358; 0,2122)

Su (-2,1079; 2,4629; 0,1661; 0,3340)

ln N (-0,6970; 0,1952)

Нормальное

γ (3,2458; 0,1343; 0,3072)

ln N (-0,5469; 0,2152)

ln N (-0,7236; 0,1837)

Логнормальное

γ (3,2458; 0,1343; 0,3072)

ln N (-0,5469; 0,2152)

ln N (-0,7236; 0,1837)

Коши

γ (3,4398; 0,1255; 0,3022)

ln N (-0,5182; 0,2268)

Su (-1,6929; 2,5234; 0,1892; 0,3607)

ln N (-0,6946; 0,1938)

Логистическое

Su ( -2,6522; 1,8288; 0,1738; 0,3384)

γ (3,6342; 0,1284; 0,2772)

Su (-3,8497; 3,2770; 0,2136; 0,2607)

ln N (-0,5511; 0,2045)

ln N (-0,7389; 0,1771)

Su (-2,5093; 3,1277; 0,1932; 0,3041)

Наибольшего значения

γ (3,5424; 0,1203; 0,2975)

Su (-1,9028; 2,3972; 0,2227; 0,389)

Su (-1,3144; 2,2480; 0,1616; 0,3858)

ln N (-0,7174; 0,1841)

Наименьшего значения

γ (3,5424; 0,1203; 0,2975)

Su (-1,9028; 2,3972; 0,2227; 0,389)

Su (-1 , 3144; 2,2480; 0,1616; 0,3858)

ln N (-0,7174; 0,1841)

Вейбулла

γ (3,5424; 0,1203; 0,2975)1)

Su (-1,9028; 2,3972; 0,2227; 0,389)2)

Su (-1,3144; 2,2480; 0,1616; 0,3858)

ln N (-0,7174; 0,1841)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.10 - Процентные точки распределения минимума статистики Колмогорова (при использовании MD -оценок, минимизирующих статистику SK )

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,7016

0,7449

0,8143

0,8796

0,9617

Полунормальное

Масштабный

0,7569

0,8052

0,8826

0,9557

1,0476

Рэлея

Масштабный

0,7429

0,7888

0,8622

0,9310

1,0174

Максвелла

Масштабный

0,7308

0,7740

0,8429

0,9073

0,9879

Лапласа

Масштабный

0,9660

1,0477

1,1803

1,3067

1,4674

Сдвиг

0,7353

0,7791

0,8490

0,9145

0,9967

Два параметра

0,6085

0,6419

0,6970

0,7512

0,8229

Нормальное

Масштабный

0,9847

1,0676

1,2018

1,3295

1,4915

Сдвиг

0,7234

0,7625

0,8245

0,8824

0,9548

Два параметра

0,5867

0,6137

0,6561

0,6952

0,7436

Логнормальное

Масштабный

0,9847

1,0676

1,2018

1,3295

1,4915

Сдвиг

0,7234

0,7625

0,8245

0,8824

0,9548

Два параметра

0,5867

0,6137

0,6561

0,6952

0,7436

Коши

Масштабный

0,9669

1,0460

1,1739

1,2953

1,4491

Сдвиг

0,7534

0,7965

0,8649

0,9290

1,0095

Два параметра

0,6076

0,6391

0,6906

0,7408

0,8067

Логистическое

Масштабный

0,9971

1,0807

1,2336

1,3532

1,4876

Сдвиг

0,7110

0,7496

0,8119

0,8714

0,9477

Два параметра

0,5739

0,5993

0,6392

0,6758

0,7212

Наибольшего значения

Масштабный

0,9505

1,0272

1,1510

1,2684

1,4170

Сдвиг

0,7358

0,7798

0,8528

0,9246

1,0199

Два параметра

0,5874

0,6168

0,6656

0,7138

0,7780

Наименьшего значения

Масштабный

0,9505

1,0272

1,1510

1,2684

1,4170

Сдвиг

0,7358

0,7798

0,8528

0,9246

1,0199

Два параметра

0,5874

0,6168

0,6656

0,7138

0,7780

Вейбулла

Формы

0,9505

1,0272

1,1510

1,2684

1,4170

Масштаба

0,7358

0,7798

0,8528

0,9246

1,0199

Два параметра

0,5874

0,6168

0,6656

0,7138

0,7780

Таблица А.11 - Аппроксимация предельных распределений статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

ln N (0,2260; 0,6951)

-

-

Полунормальное

ln N (0,2050; 0,7718)

-

-

Рэлея

ln N (0,2248; 0,7248)

-

-

Максвелла

ln N (0,2462; 0,6779)

-

-

Лапласа

γ (0,8539; 1,9952; 0,0000)

γ (1,7941; 0,8324; 0,0149)

γ (1,7071; 0,7234; 0,0170)

Нормальное

γ (0,8700; 2,0786; 0,0004)

γ (2,6428; 0,5089; 0,2056) ln N (0,2992; 0,5298)

ln N (0,1164; 0,5436)

Логнормальное

γ (0,8231; 2,1973; 0,0001)

Su (-2,5588; 1,6251; 0,4763; 0,2134)

Su (-2,2909; 1,3491; 0,3115; 0,3134)

Коши

γ (0,8839; 1,7507; 0,0019)

γ (1,4108; 1,0209; 0,0004)

γ (1,3546; 0,7565; 0,0005)

Логистическое

γ (0,8376; 2,1815; 0,0001)

Su (-2,9441; 1,7404; 0,3783; 0,3082)

ln N (0,0831; 0,4473)

Наибольшего значения

γ (0,8856; 2,0700; 0,0002)

ln N (0,2414; 0,7017)

ln N (0,1501; 0,5108)

Наименьшего значения

γ (0,8856; 0,4831; 0,0002)

ln N (0,2414; 0,7017)

ln N (0,1501; 0,5108)

Вейбулла

γ (0,8856; 0,4831; 0,0002)1)

ln N (0,2414; 0,7017)2)

ln N (0,1501; 0,5108)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.12 - Процентные точки распределения статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

2,5765

3,0551

3,9327

4,8958

6,3157

Полунормальное

Масштабный

2,7317

3,3006

4,3688

5,5717

7,3926

Рэлея

Масштабный

2,6538

3,1698

4,1247

5,1830

6,7594

Максвелла

Масштабный

2,5826

3,0495

3,9011

4,8301

6,1918

Лапласа

Масштабный

3,3122

4,0778

5,3989

6,7310

8,5032

Сдвиг

2,5343

2,9829

3,8007

4,6556

5,8229

Два параметра

2,1134

2,4340

3,0160

3,6227

4,4495

Нормальное

Масштабный

3,5063

4,3091

5,6929

7,0868

8,9396

Сдвиг

2,3656

2,6880

3,2205

3,7406

4,4163

Два параметра

1,9860

2,2855

2,8102

3,3438

4,0581

Логнормальное

Масштабный

3,5354

4,3677

5,8074

7,2619

9,1998

Сдвиг

2,3633

2,7212

3,3595

4,0397

5,0141

Два параметра

2,1348

2,5025

3,1850

3,9446

5,0813

Коши

Масштабный

2,9947

3,6746

4,8455

6,0239

7,5894

Сдвиг

2,5803

3,0471

3,8305

4,6011

5,6065

Два параметра

1,8488

2,1898

2,7633

3,3284

4,0668

Логистическое

Масштабный

3,5929

4,4877

6,0215

7,2637

8,7397

Сдвиг

2,1515

2,4357

2,9366

3,4632

4,2073

Два параметра

1,7275

1,9277

2,2679

2,6112

3,0761

Наибольшего значения

Масштабный

3,5448

4,3493

5,7346

7,1286

8,9804

Сдвиг

2,5565

3,0364

3,9180

4,8877

6,3205

Два параметра

1,9729

2,2361

2,692

3,1621

3,8129

Наименьшего значения

Масштабный

3,5448

4,3493

5,7346

7,1286

8,9804

Сдвиг

2,5565

3,0364

3,9180

4,8877

6,3205

Два параметра

1,9729

2,2361

2,692

3,1621

3,8129

Вейбулла

Формы

3,5448

4,3493

5,7346

7,1286

8,9804

Масштаба

2,5565

3,0364

3,9180

4,8877

6,3205

Два параметра

1,9729

2,2361

2,692

3,1621

3,8129

Таблица А.13 - Аппроксимация предельных распределений статистики ω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su ( -1,8734; 1,2118; 0,0223; 0,0240)

-

-

Полунормальное

Sl ( 0,9735; 1,1966; 0,1531; 0,0116)

-

-

Рэлея

Su ( -1,5302; 1,0371; 0,0202; 0,0299)

-

-

Максвелла

Su ( -2,0089; 1,2557; 0,0213; 0,0213)

-

-

Лапласа

Sl (1,0274; 1,0675; 0,2305; 0,0120)

Su (-2,0821; 1,2979; 0,0196; 0,0200)

Su (-1,6085; 1,2139; 0,0171; 0,0247)

Нормальное

Sl (1,2532; 1,0088; 0,3066; 0,0130)

ln N (-2,7500; 0,5649)

ln N (-2,9794; 0,5330)

Логнормальное

Sl (1,0341; 1,1919; 0,2491; 0,0035)

ln N (-2,7271; 0,6092)

Su (-1,6292; 1,1541; 0,0144; 0,0234)

Коши

Sl (1,0341; 1,1137; 0,2313; 0,0041)

Sl ( 1,1230; 1,2964; 0,1383; 0,0105)

Sl ( 1,2420; 1,2833; 0,1135; 0,0064)

Логистическое

Sl (1,0289; 1,0666; 0,2385; 0,0110)

Sl ( 1,3982; 1,3804; 0,1205; 0,0102)

ln N (-3,1416; 0,4989)

Наибольшего значения

Sl ( 1,0294; 1,0781; 0,2381; 0,0120)

ln N (-2,5818; 0,6410)

ln N (-2,9541; 0,5379)

Наименьшего значения

Sl ( 1,0294; 1,0781; 0,2381; 0,0120)

ln N (-2,5818; 0,6410)

ln N (-2,9541; 0,5379)

Вейбулла

Sl (1,0294; 1,0781; 0,2381; 0,0120)1)

ln N (-2,5818; 0,6410)2)

ln N (-2,9541; 0,5379)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.14 - Процентные точки распределения статистики ω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,1461

0,1738

0,2267

0,2872

0,3804

Полунормальное

Масштабный

0,1730

0,2097

0,2799

0,3607

0,4858

Рэлея

Масштабный

0,1490

0,1812

0,2452

0,3219

0,4458

Максвелла

Масштабный

0,1408

0,1669

0,2162

0,2720

0,3573

Лапласа

Масштабный

0,2672

0,3447

0,4572

0,5570

0,6608

Сдвиг

0,1276

0,1504

0,1932

0,2418

0,3173

Два параметра

0,0998

0,1171

0,1504

0,1893

0,2529

Нормальное

Масштабный

0,2470

0,3035

0,4128

0,5397

0,7382

Сдвиг

0,1148

0,1319

0,1619

0,1934

0,2379

Два параметра

0,0883

0,1006

0,1221

0,1445

0,1756

Логнормальное

Масштабный

0,2531

0,3101

0,4193

0,5452

0,7401

Сдвиг

0,1230

0,1428

0,1782

0,2159

0,2699

Два параметра

0,0952

0,1125

0,1458

0,1845

0,2449

Коши

Масштабный

0,2359

0,2929

0,4044

0,5353

0,7422

Сдвиг

0,1399

0,1668

0,2173

0,2743

0,3604

Два параметра

0,1031

0,1235

0,1618

0,2050

0,2706

Логистическое

Масштабный

0,2612

0,3257

0,4368

0,5392

0,7617

Сдвиг

0,1029

0,1209

0,1543

0,1912

0,2462

Два параметра

0,0725

0,0819

0,0982

0,1149

0,1379

Наибольшего значения

Масштабный

0,2628

0,3226

0,4266

0,5461

0,7174

Сдвиг

0,1470

0,1720

0,2171

0,2657

0,3360

Два параметра

0,0910

0,1039

0,1263

0,1496

0,1822

Наименьшего значения

Масштабный

0,2628

0,3226

0,4266

0,5461

0,7174

Сдвиг

0,1470

0,1720

0,2171

0,2657

0,3360

Два параметра

0,0910

0,1039

0,1263

0,1496

0,1822

Вейбулла

Формы

0,2628

0,3226

0,4266

0,5461

0,7174

Масштаба

0,1470

0,1720

0,2171

0,2657

0,3360

Два параметра

0,0910

0,1039

0,1263

0,1496

0,1822

Таблица А.15 - Аппроксимация предельных распределений минимума статистики ω2 Мизеса (при использовании MD - оценок, минимизирующих статистику S ω )

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su ( -1,9324; 1,1610; 0,0134; 0,0203)

-

-

Полунормальное

Su ( -1,5024; 1,0991; 0,0173; 0,0256)

-

-

Рэлея

Su ( -1,4705; 1,1006; 0,0164; 0,0259)

-

-

Максвелла

Su (-1,7706; 1,2978; 0,0188; 0,0220)

-

-

Лапласа

Sl (1,0117; 0,9485; 0,2162; 0,0137)

ln N (-2,8601; 0,5471)

ln N (-3,2853; 0,4666)

Нормальное

Sl (1,0477; 0,9883; 0,2356; 0,0112)

ln N (-2,8649; 0,5668)

ln N (-3,2715; 0,4645)

Логнормальное

Sl (1,0477; 0,9883; 0,2356; 0,0112)

ln N (-2,8649; 0,5668)

ln N (-3,2715; 0,4645)

Коши

Sl (1,2759; 1,0437; 0,2825; 0,0089)

ln N (-2,8577; 0,5739)

ln N (-3,2603; 0,4874)

Логистическое

Sl (1,0898; 1,0225; 0,2399; 0,0096)

ln N (-2,8831; 0,5367)

ln N (-3,2915; 0,4592)

Наибольшего значения

Sl (1,0771; 1,0388; 0,2065; 0,0109)

Su (-1,5348; 1,1226; 0,0166; 0,0252)

Su (-1,5326; 1,4446; 0,0147; 0,0188)

ln N (-3,2627; 0,4680)

Наименьшего значения

Sl (1,0771; 1,0388; 0,2065; 0,0109)

Su (-1,5348; 1,1226; 0,0166; 0,0252)

Su (-1,5326; 1,4446; 0,0147; 0,0188)

ln N (-3,2677; 0,4680)

Вейбулла

Sl (1,0771; 1,0388; 0,2065; 0,0109)1)

Su (-1,5348; 1,1226; 0,0166; 0,0252)2)

Su (-1,5326; 1,4446; 0,0147; 0,0188)

ln N (-3,2627; 0,4680)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.16 - Процентные точки распределения минимума статистики ω2 Мизеса (при использовании MD -оценок, минимизирующих статистику S ω )

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,1062

0,1266

0,1659

0,2115

0,2826

Полунормальное

Масштабный

0,1119

0,1338

0,1767

0,2271

0,3071

Рэлея

Масштабный

0,1051

0,1252

0,1645

0,2107

0,2839

Максвелла

Масштабный

0,1027

0,1198

0,1520

0,1880

0,2425

Лапласа

Масштабный

0,2471

0,2994

0,4079

0,5035

0,6253

Сдвиг

0,1010

0,1154

0,1408

0,1673

0,2045

Два параметра

0,0607

0,0681

0,0806

0,0934

0,1108

Нормальное

Масштабный

0,2558

0,3120

0,4253

0,5524

0,6935

Сдвиг

0,1025

0,1178

0,1448

0,1731

0,2130

Два параметра

0,0614

0,0688

0,0815

0,0943

0,1118

Логнормальное

Масштабный

0,2558

0,3120

0,4253

0,5524

0,6935

Сдвиг

0,1025

0,1178

0,1448

0,1731

0,2130

Два параметра

0,0614

0,0688

0,0815

0,0943

0,1118

Коши

Масштабный

0,2376

0,2950

0,3924

0,5001

0,6886

Сдвиг

0,1040

0,1198

0,1475

0,1768

0,2181

Два параметра

0,0636

0,0717

0,0856

0,0998

0,1193

Логистическое

Масштабный

0,22605

0,3302

0,4450

0,57715

0,6941

Сдвиг

0,0976

0,1113

0,1353

0,1602

0,1950

Два параметра

0,0599

0,0670

0,0792

0,0915

0,1083

Наибольшего значения

Масштабный

0,2095

0,2623

0,3676

0,4940

0,6983

Сдвиг

0,1064

0,1265

0,1657

0,2115

0,2836

Два параметра

0,0611

0,0693

0,0843

0,1006

0,1246

Наименьшего значения

Масштабный

0,2095

0,2623

0,3676

0,4940

0,6983

Сдвиг

0,1064

0,1265

0,1657

0,2115

0,2836

Два параметра

0,0611

0,0693

0,0843

0,1006

0,1246

Вейбулла

Формы

0,2095

0,2623

0,3676

0,4940

0,6983

Масштаба

0,1064

0,1265

0,1657

0,2115

0,2836

Два параметра

0,0611

0,0693

0,0843

0,1006

0,1246

Таблица А.17 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω 2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su ( -2,8653; 1,4220; 0,1050; 0,1128)

-

-

Полунормальное

Su ( -2,5603; 1,3116; 0,1147; 0,1330)

-

-

Рэлея

Su ( -2,5610; 1,4003; 0,1174; 0,1337)

-

-

Максвелла

Su ( -2,6064; 1,4426; 0,1190; 0,1285)

-

-

Лапласа

Sl (0,3224; 1,1638; 0,6852; 0,1040)

Su (-2,5528; 1,4006; 0,1216; 0,1358)

Su (-2,8942; 1,4897; 0,0846; 0,1131)

Нормальное

Su (-3,1163; 1,1787; 0,0742; 0,1200)

Su (-3,1202; 1,5233; 0,0874; 0,1087)

Su (-2,7057; 1,7154; 0,1043; 0,0925)

Логнормальное

Su ( -2,4168; 1,1296; 0,1151; 0,1560)

ln N (-0,8052; 0,5123)

Su ( -2,3966; 1,5967; 0,1012; 0,1179)

Коши

Su (-2,4935; 1,0789; 0,0923; 0,1458)

Su (-2,8420; 1,3528; 0,1010; 0,1221)

Su (-2,3195; 1,1812; 0,0769; 0,1217)

Логистическое

Sl (0,3065; 1,1628; 0,7002; 0,0930)

Su (-3,5408; 1,6041; 0,0773; 0,0829)

ln N (-1,1452; 0,4426)

Наибольшего значения

Su (-2,5427; 1,1057; 0,0960; 0,1569)

Su (-2,5550; 1,3714; 0,1152; 0,1289)

Su (-2,4622; 1,6473; 0,1075; 0,1149)

Наименьшего значения

Su (-2,5427; 1,1057; 0,0960; 0,1569)

Su (-2,5550; 1,3714; 0,1152; 0,1289)

Su (-2,4622; 1,6473; 0,1075; 0,1149)

Вейбулла

Su (-2,5427; 1,1057; 0,0960; 0,1569)1)

Su (-2,5550; 1,3714; 0,1152; 0,1289)2)

Su (-2,4622; 1,6473; 0,1075; 0,1149)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.18 - Процентные точки распределения статистики Ω 2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,9256

1,0797

1,3626

1,6736

2,1333

Полунормальное

Масштабный

1,0195

1,2030

1,5463

1,9312

2,5117

Рэлея

Масштабный

0,8954

1,0427

1,3140

1,6132

2,0569

Максвелла

Масштабный

0,8671

1,0055

1,2587

1,5360

1,9442

Лапласа

Масштабный

1,4627

1,7923

2,3158

2,8202

3,5035

Сдвиг

0,9196

1,0712

1,3504

1,6586

2,1165

Два параметра

0,7019

0,8082

1,0015

1,2116

1,5188

Нормальное

Масштабный

1,4126

1,7309

2,2533

2,8654

3,8453

Сдвиг

0,7750

0,8923

1,1045

1,3341

1,6681

Два параметра

0,5486

0,6204

0,7471

0,8806

1,0698

Логнормальное

Масштабный

1,4126

1,7309

2,2533

2,8654

3,8453

Сдвиг

0,7602

0,8619

1,0382

1,2200

1,4719

Два параметра

0,5464

0,6194

0,7498

0,8893

1,0897

Коши

Масштабный

1,3917

1,7432

2,2967

2,866

3,5085

Сдвиг

1,0072

1,1841

1,5125

1,8781

2,4251

Два параметра

0,7783

0,9307

1,2231

1,5606

2,0845

Логистическое

Масштабный

1,4097

1,7755

2,2268

2,8759

3,7694

Сдвиг

0,7512

0,8622

1,0611

1,2741

1,5803

Два параметра

0,5033

0,5610

0,6589

0,7575

0,8909

Наибольшего значения

Масштабный

1,4056

1,7163

2,2631

2,8443

3,6757

Сдвиг

0,9149

1,0703

1,3577

1,6764

2,1514

Два параметра

0,5580

0,6310

0,7608

0,8987

1,0956

Наименьшего значения

Масштабный

1,4056

1,7163

2,2631

2,8443

3,6757

Сдвиг

0,9149

1,0703

1,3577

1,6764

2,1514

Два параметра

0,5580

0,6310

0,7608

0,8987

1,0956

Вейбулла

Формы

1,4056

1,7163

2,2631

2,8443

3,6757

Масштаба

0,9149

1,0703

1,3577

1,6764

2,1514

Два параметра

0,5580

0,6310

0,7608

0,8987

1,0956

Таблица А.19 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω 2 Мизеса (при использовании MD -оценок, минимизирующих статистику S Ω )

Распределение случайной величины

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

Экспоненциальное

Su ( -2,6741; 1,4068; 0,0958; 0,1230)

-

-

Полунормальное

Su ( -2,6752; 1,3763; 0,0952; 0,1280)

-

-

Рэлея

Su ( -2,2734; 1,3473; 0,1101; 0,1496)

-

-

Максвелла

Su ( -2,2759; 1,3988; 0,1171; 0,1514)

-

-

Лапласа

Su (-2,3884; 1,0811; 0,0948; 0,1548)

Su (-2,7267; 1,4972; 0,1044; 0,1239)

Su (-2,4334; 1,6104; 0,0902; 0,1123)

Нормальное

Su (-2,4180; 1,0702; 0,0957; 0,1464)

Su (-2,7639; 1,5393; 0,1102; 0,1115)

Su (-2,5746; 1,7505; 0,0979; 0,1043)

ln N (-1,1651; 0,4271)

Логнормальное

Su (-2,4180; 1,0702; 0,0957; 0,1464)

Su (-2,7639; 1,5393; 0,1102; 0,1115)

Su (-2,5746; 1,7505; 0,0979; 0,1043)

ln N (-1,1651; 0,4271)

Коши

Su (-2,5043; 1,1355; 0,1035; 0,1384)

Su (-2,7029; 1,5179; 0,1188; 0,1100)

Su (-2,1046; 1,4364; 0,0929; 0,1301)

ln N (-1,1043; 0,4692)

Логистическое

Sl (0,3223; 1,1159; 0,6836; 0,0953)

Su (-2,3007; 1,0135; 0,0906; 0,1593)

Su (-2,6212; 1,4318; 0,0932; 0,1370)

Su (-3,0152; 1,7751; 0,0800; 0,0898)

Наибольшего значения

Su (-2,4454; 1,1083; 0,0968; 0,1459)

Su (-2,6557; 1,4282; 0,1024; 0,1254)

Su (-2,1580; 1,5446; 0,0941; 0,1279)

Наименьшего значения

Su (-2,4454; 1,1083; 0,0968; 0,1459)

Su (-2,6557; 1,4282; 0,1024; 0,1254)

Su (-2,1580; 1,5446; 0,0941; 0,1279)

Вейбулла

Su (-2,4454; 1,1083; 0,0968; 0,1459)1)

Su (-2,6557; 1,4282; 0,1024; 0,1254)2)

Su (-2,1580; 1,5446; 0,0941; 0,1279)

1) Оценивали параметр формы распределения Вейбулла.

2) Оценивали параметр масштаба распределения Вейбулла.

Таблица А.20 - Процентные точки распределения минимума статистики Ω2 Мизеса (при использовании MD - оценок, минимизирующих статистику S Ω )

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Экспоненциальное

Масштабный

0,7892

0,9172

1,1527

1,4122

1,7967

Полунормальное

Масштабный

0,8308

0,9690

1,2245

1,5075

1,9292

Рэлея

Масштабный

0,7871

0,9160

1,1553

1,4218

1,8206

Максвелла

Масштабный

0,7710

0,8916

1,1135

1,3582

1,7211

Лапласа

Масштабный

1,3751

1,6440

2,1787

2,6035

3,3197

Сдвиг

0,7642

0,8795

1,0888

1,3160

1,6476

Два параметра

0,4960

0,5607

0,6763

0,7996

0,9765

Нормальное

Масштабный

1,3994

1,7302

2,2526

2,8345

3,5978

Сдвиг

0,7575

0,8705

1,0745

1,2945

1,6137

Два параметра

0,4832

0,5419

0,6451

0,7534

0,9061

Логнормальное

Масштабный

1,3994

1,7302

2,2526

2,8345

3,5978

Сдвиг

0,7575

0,8705

1,0745

1,2945

1,6137

Два параметра

0,4832

0,5419

0,6451

0,7534

0,9061

Коши

Масштабный

1,3487

1,6287

2,0930

2,7014

3,4728

Сдвиг

0,8026

0,9257

1,1483

1,3893

1,7399

Два параметра

0,5386

0,6164

0,7586

0,9142

1,1435

Логистическое

Масштабный

1,3917

1,7101

2,3316

3,0612

4,2139

Сдвиг

0,7329

0,8454

1,0516

1,2778

1,6115

Два параметра

0,4778

0,5363

0,6392

0,7470

0,8986

Наибольшего значения

Масштабный

1,2638

1,5415

2,0840

2,7220

3,7319

Сдвиг

0,8007

0,9285

1,1628

1,4200

1,7997

Два параметра

0,4941

0,5590

0,6757

0,8014

0,9832

Наименьшего значения

Масштабный

1,2638

1,5415

2,0840

2,7220

3,7319

Сдвиг

0,8007

0,9285

1,1628

1,4200

1,7997

Два параметра

0,4941

0,5590

0,6757

0,8014

0,9832

Вейбулла

Формы

1,2638

1,5415

2,0840

2,7220

3,7319

Масштаба

0,8007

0,9285

1,1628

1,4200

1,7997

Два параметра

0,4941

0,5590

0,6757

0,8014

0,9832

Таблица А.21 - Аппроксимация предельных распределений статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Значение параметра формы

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра формы

двух параметров

0,3

Su (-3,1261; 2,4210; 0,2564; 0,3176)

Su (-2,5800; 2,3573; 0,2522; 0,3652)

Su (-2,4004; 2,2110; 0,2222; 0,3679)

0,5

γ (3,8019; 0,1122; 0,3426)

Su (-2,5116; 2,4317; 0,2624; 0,3737)

Su (-2,8715; 2,5280; 0,2325; 0,3296)

1,0

γ (4,4861; 0,0961; 0,3093)

γ (4,4582; 0,0888; 0,3178)

Su (-2,4192; 2,2314; 0,2037; 0,3707)

2,0

Su (-2,2691; 2,2383; 0,2323; 0,3958)

Su (-3,0644; 2,6833; 0,2531; 0,3159)

Su (-2,2110; 2,1457; 0,1988; 0,3872)

3,0

Su (-2,4869; 2,4779; 0,2655; 0,3742)

Su (-2,5510; 2,4430; 0,2430; 0,3640)

Su (-2,1298; 2,1802; 0,2103; 0,3897)

4,0

Su (-2,4229; 2,4457; 0,2627; 0,3696)

Su (-2,0448; 2,2821; 0,2494; 0,4140)

Su (-2,4946; 2,2762; 0,2023; 0,3589)

5,0

Su (-2,4152; 2,3901; 0,2475; 0,3818)

Su (-2,2143; 2,2844; 0,2367; 0,3932)

Su (-2,0501; 2,1119; 0,2016; 0,3985)

Таблица А.22 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Значение параметра формы

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,3

Масштабный

1,0101

1,0885

1,2196

1,3497

1,5231

Формы

0,9228

0,9895

1,1012

1,2120

1,3602

Два параметра

0,8702

0,9343

1,0424

1,1508

1,2970

0,5

Масштабный

0,9890

1,0625

1,1808

1,2927

1,4341

Формы

0,9076

0,9704

1,0748

1,1780

1,3151

Два параметра

0,8503

0,9081

1,0040

1,0984

1,2233

1,0

Масштабный

0,9461

1,0131

1,1204

1,2214

1,3483

Формы

0,9031

0,9649

1,0638

1,1569

1,2740

Два параметра

0,8283

0,8862

0,9836

1,0813

1,2128

2,0

Масштабный

0,9115

0,9694

1,0620

1,1466

1,2859

Формы

0,8719

0,9301

1,0260

1,1196

1,2425

Два параметра

0,8168

0,8738

0,9703

1,0674

1,1989

3,0

Масштабный

0,8924

0,9527

1,0525

1,1509

1,2812

Формы

0,8636

0,9220

1,0190

1,1148

1,2421

Два параметра

0,8144

0,8704

0,9650

1,0598

1,1879

4,0

Масштабный

0,8781

0,9381

1,0377

1,1361

1,2665

Формы

0,8628

0,9207

1,0174

1,1136

1,2423

Два параметра

0,8146

0,8711

0,9659

1,0606

1,1877

5,0

Масштабный

0,8771

0,9366

1,0357

1,1338

1,2645

Формы

0,8558

0,9143

1,0123

1,1099

1,2408

Два параметра

0,8098

0,8659

0,9608

1,0565

1,1865

Таблица А.23 - Аппроксимация предельных распределений статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Значение параметра формы

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра формы

двух параметров

0,3

Su (3,1901; 1,1381; 0,1399; 0,0081)

Su (-2,8117; 1,3517; 0,2973; 0,1474)

Su (-2,4288; 1,2878; 0,2749; 0,2074)

0,5

Su (-2,8625; 1,1796; 0,2003; 0,079)

Su (-2,8816; 1,4625; 0,3377; 0,1280)

Su (-2,4027; 1,3861; 0,3389; 0,2290)

ln N (-0,1506; 0,6511)

1,0

ln N (0,2062; 0,7337)

Su (-2,5635; 1,2797; 0,2922; 0,1584)

Su (-2,5861; 1,4818; 0,4130; 0,174)

Su (-2,2666; 1,3824; 0,3515; 0,2731)

2,0

Su (-2,5372; 1,3749; 0,3464; 0,2162)

Su (-2,3222; 1,4442; 0,4335; 0,2845)

Su (-2,2109; 1,3527; 0,3317; 0,3149)

3,0

Su (-2,3014; 1,3875; 0,3991; 0,2750)

Su (-2,3895; 1,4817; 0,4344; 0,2824)

Su (-2,4295; 1,4110; 0,3163; 0,2784)

4,0

Su (-2,3759; 1,4418; 0,4149; 0,2480)

Su (-2,2574; 1,4921; 0,4694; 0,3216)

Su (-2,4153; 1,4306; 0,3318; 0,2604)

5,0

Su (-2,4574; 1,4599; 0,3976; 0,2712)

Su (-2,2611; 1,4644; 0,4393; 0,3231)

Su (-2,1345; 1,3945; 0,3655; 0,3263)

Таблица А.24 - Процентные точки распределения статистики Смирнова при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Значение параметра формы

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,3

Масштабный

2,8746

3,5643

4,9025

6,4644

8,9168

Формы

2,7006

3,2114

4,1601

5,2162

6,7967

Два параметра

2,2246

2,6511

3,4520

4,3543

5,7217

0,5

Масштабный

2,8051

3,4363

4,6490

6,0496

8,2255

Формы

2,5766

3,0273

3,8498

4,7480

6,0664

Два параметра

2,2406

2,6348

3,3620

4,1659

5,3609

1,0

Масштабный

2,6291

3,1471

4,1084

5,1770

6,7737

Формы

2,5364

2,9673

3,7509

4,6036

5,8510

Два параметра

2,1738

2,5483

3,2393

4,0035

5,1400

2,0

Масштабный

2,5334

2,9902

3,8349

4,7709

6,1652

Формы

2,4813

2,8949

3,6506

4,4775

5,6940

Два параметра

2,1292

2,4951

3,1737

3,9281

5,0563

3,0

Масштабный

2,4691

2,8995

3,6930

4,5698

5,8727

Формы

2,4538

2,8516

3,5745

4,3608

5,5106

Два параметра

2,1092

2,4613

3,1083

3,8204

4,8743

4,0

Масштабный

2,4404

2,8534

3,6084

4,4348

5,6514

Формы

2,4299

2,8149

3,5130

4,2708

5,3768

Два параметра

2,0978

2,4463

3,0847

3,7850

4,8178

5,0

Масштабный

2,4296

2,8303

3,5611

4,3589

5,5299

Формы

2,3877

2,7717

3,4709

4,2333

5,3511

Два параметра

2,0833

2,4276

3,0613

3,7602

4,7972

Таблица А.25 - Аппроксимация предельных распределений статистики ω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Значение параметра формы

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра формы

двух параметров

0,3

Su (-1,6653; 0,9957; 0,0213; 0,0286)

Su (-1,4885; 1,0365; 0,0196; 0,0305)

Su (-1,4703; 1,0481; 0,0167; 0,0258)

0,5

Su (-2,1013; 1,0964; 0,0172; 0,0233)

Su (-1,7133; 1,1339; 0,0203; 0,0267)

ln N (-2,6112; 0,6152)

Su (-1,5811; 1,1193; 0,0164; 0,0243)

ln N (-2,8269; 0,5922)

1,0

Su (-1,8467; 1,0824; 0,0179; 0,0250)

Su (-1,5966; 1,0899; 0,0191; 0,0281)

Su (-1,5388; 1,0487; 0,0131; 0,0249)

ln N (-2,8658; 0,5850)

2,0

Su (-1,6042; 1,1125; 0,0207; 0,0281)

ln N (-2,6123; 0,6231)

Su (-1,6693; 1,1076; 0,0181; 0,0264)

ln N (-2,6844; 0,6119)

Su (-1,3082; 1,0059; 0,0146; 0,0269)

3,0

Su (-2,1337; 1,1654; 0,015; 0,0217)

Su (-1,5872; 1,0916; 0,0181; 0,0272)

Su (-1,4044; 1,0562; 0,0148; 0,026)

4,0

Su (-1,5813; 1,1339; 0,0206; 0,0273)

ln N (-2,6668; 0,6097)

Su (-1,5748; 1,1003; 0,0183; 0,0275)

ln N (-2,6947; 0,6012)

Su (-1,4222; 1,0519; 0,0143; 0,0260)

5,0

Su (-1,6144; 1,1468; 0,0202; 0,0265)

ln N (-2,6732; 0,6052)

Su (-1,7641; 1,1417; 0,0172; 0,0238)

ln N (-2,7198; 0,6001)

Su (-1,2912; 1,0213; 0,0144; 0,0274)

Таблица А.26 - Процентные точки распределения статистики ω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Знамение параметра формы

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,3

Масштабный

0,1885

0,2335

0,3241

0,4344

0,6151

Формы

0,1416

0,1717

0,2314

0,3031

0,4190

Два параметра

0,1163

0,1405

0,1885

0,2458

0,3381

0,5

Масштабный

0,1733

0,2110

0,2851

0,3724

0,5110

Формы

0,1405

0,1684

0,2224

0,2853

0,3843

Два параметра

0,1085

0,1295

0,1702

0,2179

0,2932

1,0

Масштабный

0,1528

0,1856

0,2499

0,3262

0,4477

Формы

0,1342

0,1613

0,2145

0,2773

0,3771

Два параметра

0,1017

0,1220

0,1623

0,2107

0,2888

2,0

Масштабный

0,1383

0,1658

0,2195

0,2825

0,3821

Формы

0,1297

0,1557

0,2063

0,2658

0,3599

Два параметра

0,1007

0,1209

0,1609

0,2088

0,2859

3,0

Масштабный

0,1351

0,1618

0,2133

0,2730

0,3660

Формы

0,1265

0,1519

0,2015

0,2601

0,3533

Два параметра

0,1000

0,1196

0,1584

0,2047

0,2790

4,0

Масштабный

0,1299

0,1551

0,2039

0,2608

0,3502

Формы

0,1248

0,1495

0,1977

0,2544

0,3444

Два параметра

0,0993

0,1189

0,1576

0,2038

0,2781

5,0

Масштабный

0,1274

0,1519

0,1991

0,2541

0,3400

Формы

0,1230

0,1471

0,1937

0,2479

0,3329

Два параметра

0,0970

0,1162

0,1546

0,2008

0,2759

Таблица А.27 - Аппроксимация предельных распределений статистики Ω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке согласия с гамма-распределением

Знамение параметра формы

При оценивании

только масштабного параметра

только параметра сдвига

двух параметров

0,3

Su (-2,4570; 1,2601; 0,1187; 0,1380)

Su (-2,8799; 1,4942; 0,1088; 0,1149)

Su (-2,4649; 1,5188; 0,1035; 0,1141)

0,5

Su (-2,5752; 1,3505; 0,1078; 0,1355)

Su (-2,6867; 1,4854; 0,1155; 0,1193)

Su (-2,6917; 1,6334; 0,0970; 0,1067)

1,0

Su (-2,5752; 1,3505; 0,1078; 0,1355)

Su (-2,6867; 1,4854; 0,1155; 0,1193)

Su (-2,6917; 1,6334; 0,0970; 0,1067)

2,0

Su (-2,4667; 1,4180; 0,1207; 0,1416)

Su (-2,7782; 1,4780; 0,1041; 0,1181)

Su (-2,5083; 1,6002; 0,0992; 0,1150)

3,0

Su (-2,7121; 1,4220; 0,1007; 0,1321)

Su (-2,6425; 1,4834; 0,1132; 0,1224)

Su (-2,4614; 1,6592; 0,1106; 0,1125)

4,0

Su (-2,6722; 1,4316; 0,1036; 0,1315)

Su (-3,1020; 1,5114; 0,0884; 0,1041)

Su (-2,9531; 1,7024; 0,0902; 0,0935)

5,0

Su (-2,7351; 1,4967; 0,1109; 0,1187)

Su (-2,6935; 1,5149; 0,1123; 0,1184)

Su (-3,0056; 1,7207; 0,0895; 0,0912)

Таблица А.28 - Процентные точки распределения статистики Ω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия и проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением

Значение параметра формы

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,3

Масштабный

1,0837

1,2882

1,6743

2,1120

2,7791

Формы

0,8589

0,9929

1,2362

1,5006

1,8867

Два параметра

0,6279

0,7195

0,8852

1,0645

1,3251

0,5

Масштабный

1,0067

1,1869

1,5242

1,9028

2,4744

Формы

0,8501

0,9811

1,2190

1,4777

1,8556

Два параметра

0,5987

0,6822

0,8322

0,9932

1,2257

1,0

Масштабный

0,9134

1,0696

1,3597

1,6825

2,1656

Формы

0,8230

0,9508

1,1832

1,4359

1,8055

Два параметра

0,5771

0,6547

0,7931

0,9405

1,1515

2,0

Масштабный

0,8507

0,9863

1,2352

1,5088

1,9133

Формы

0,8014

0,9259

1,1527

1,3997

1,7613

Два параметра

0,5641

0,6401

0,7760

0,9214

1,1302

3,0

Масштабный

0,8313

0,9641

1,2079

1,4758

1,8716

Формы

0,7935

0,9157

1,1378

1,3795

1,7330

Два параметра

0,5611

0,6345

0,7648

0,9030

1,1001

4,0

Масштабный

0,8185

0,9481

1,1857

1,4464

1,8309

Формы

0,7846

0,9054

1,1243

1,3616

1,7074

Два параметра

0,5590

0,6324

0,7622

0,8993

1,0938

5,0

Масштабный

0,8036

0,9269

1,1508

1,3940

1,7489

Формы

0,7723

0,8887

1,0995

1,3277

1,6598

Два параметра

0,5557

0,6281

0,7558

0,8905

1,0813

Таблица А.29 - Модели предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Sb - Джонсона

Оцениваемый параметр

Распределение статистики

Колмогорова

ω2 Мизеса

Ω2 Мизеса

θ0

ln N (-0,4138; 0,2289)

ln N (-2,7500; 0,5649)

Su (-2,7925; 1,5513; 0,1138; 0,1165)

θ 1

ln N (-0,2220; 0,3031)

Sl (0,9845; 1,1812; 0,2354; 0,0053)

Su (-3,2608; 1,2469; 0,0836; 0,0883)

θ 0 , θ1

γ (5,2261; 0,0663; 0,2886)

Su (-2,5137; 1,5524; 0,0159; 0,0118)

Su (-2,1210; 1,5490; 0,1113; 0,1325)

Таблица А.30 - Модели предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Sl -Джонсона

Оцениваемый параметр

Распределение статистики

Колмогорова

ω2 Мизеса

Ω 2 Мизеса

θ0

ln N (-0,4138; 0,2289)

ln N (-2,7500; 0,5649)

Su (-2,7925; 1,5513; 0,1138; 0,1165)

θ 1

ln N (-0,2220; 0,3031)

Sl (0,9845; 1,1812; 0,2354; 0,0053)

Su (-3,2608; 1,2469; 0,0836; 0,0883)

θ 2

ln N (-0,4138; 0,2289)

ln N (-2,7500; 0,5649)

Su (-2,7925; 1,5513; 0,1138; 0,1165)

θ 0 , θ1

γ (5,1416; 0,0672; 0,2886)

Su (-1,8744; 1,2526; 0,0142; 0,0198)

Su (-2,3550; 1,5797; 0,1050; 0,1179)

θ 0 , θ2

ln N (-0,4226; 0,2266)

ln N (-2,7644; 0,5569)

Su (-3,0997; 1,5568; 0,0937; 0,1023)

θ 1 , θ2

γ (5,1416; 0,0672; 0,2886)

Su (-1,8744; 1,2526; 0,0142; 0,0198)

Su (-2,3550; 1,5797; 0,1050; 0,1179)

θ 0 , θ1, θ 2

ln N (-0,4733; 0,2271)

ln N (-2,9537; 0,5251)

Su ( -1,9900; 1,5211; 0,1145; 0,1445)

Таблица А.31 - Модели предельных распределений статистик непараметрических критериев при проверке гипотез о согласии с распределением Su -Джонсона

Оцениваемый параметр

Распределение статистики

Колмогорова

ω2 Мизеса

Ω 2 Мизеса

θ0

ln N (-0,4138; 0,2289)

ln N (-2,7500; 0,5649)

Su (-2,7925; 1,5513; 0,1138; 0,1165)

θ 1

ln N (-0,2220; 0,3031)

Sl (0,9845; 1,1812; 0,2354; 0,0053)

Su (-3,2608; 1,2469; 0,0836; 0,0883)

θ 2

ln N (-0,2594; 0,2990)

Sl (1,0352; 1,1218; 0,2284; 0,0070)

Su (-3,0091; 1,1753; 0,0787; 0,1050)

θ 3

ln N (-0,4316; 0,2341)

Su (-1,7738; 1,2418; 0,0173; 0,0232)

Su (-2,7823; 1,5327; 0,1140; 0,1125)

θ 0 , θ1

γ (5,2263; 0,0658; 0,2886)

Su (-1,7649; 1,2854; 0,0151; 0,0208)

Su (-2,3262; 1,5422; 0,0964; 0,1235)

θ 0 , θ2

Su (-2,5586; 2,4112; 0,1908; 0,3411)

ln N (-3,1024; 0,5069)

Su (-2,1247; 1,4688; 0,0863; 0,1339)

θ 0 , θ3

Su (-2,3187; 2,2729; 0,1888; 0,3607)

Su (-1,4187; 1,0120; 0,0117; 0,0232)

Su (-2,2356; 1,2901; 0,0799; 0,1327)

θ 1 , θ2

ln N (-0,2836; 0,3039)

Sl (1,0334; 1,1037; 0,2220; 0,0060)

Su (-3,1039; 1,1372; 0,062; 0,0950)

θ 1 , θ3

ln N (-0,5199; 0,2184)

ln N (-3,0545; 0,5152)

Sl (0,6951; 1,4454; 0,4295; 0,0818)

θ 2 , θ3

Su (-2,5904; 2,5548; 0,1859; 0,3300)

Su (-1,6883; 1,2861; 0,0121; 0,0187)

Su (-2,1944; 1,3600; 0,0804; 0,1262)

θ 0 , θ1, θ 2

Su (-2,1848; 2,1100; 0,1651; 0,3611)

Su (-1,2247; 1,0971; 0,0120; 0,0228)

Su (-2,2549; 1,4569; 0,0715; 0,1163)

θ 0 , θ1, θ 3

γ (4,8573; 0,0568; 0,2890)

ln N (-3,2677; 0,4767)

ln N ( - 1,3166; 0,4065)

θ 0 , θ2, θ 3

ln N (-0,6615; 0,1929)

γ (2,6159; 0,0097; 0,0098)

ln N (-1,4121; 0,3753)

θ 1 , θ2, θ 3

ln N (-0,6101; 0,2020)

Su (-1,5455; 1,2383; 0,0108; 0,0186)

Su (-2,2203; 1,3198; 0,0646; 0,1203)

θ 0 , θ1, θ 2 , θ 3

ln N (-0,7128; 0,1923)

ln N (-3,5836; 0,4154)

γ (3,6074; 0,0429; 0,0629)

Таблица А.32 - Процентные точки распределения статистики Колмогорова при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Sb -Джонсона

θ0

0,8381

0,8865

0,9634

1,0354

1,1260

θ1

1,0965

1,1811

1,3186

1,4507

1,6211

θ0, θ 1

0,7889

0,8379

0,9161

0,9892

1,0808

Sl-Джонсона

θ0

0,8381

0,8865

0,9634

1,0354

1,1260

θ1

1,0965

1,1811

1,3186

1,4507

1,6211

θ2

0,8381

0,8865

0,9634

1,0354

1,1260

θ0, θ 1

0,7887

0,8381

0,9168

0,9906

1,0829

θ0, θ 2

0,8288

0,8762

0,9513

1,0218

1,1102

θ1, θ 2

0,7887

0,8381

0,9168

0,9906

1,0829

θ0, θ 1 , θ2

0,7883

0,8334

0,9051

0,9722

1,0566

Su-Джонсона

θ0

0,8381

0,8865

0,9634

1,0354

1,1260

θ1

1,0965

1,1811

1,3186

1,4507

1,6211

θ2

1,0518

1,1318

1,2616

1,3863

1,5468

θ3

0,8278

0,8767

0,9545

1,0276

1,1196

θ0, θ 1

0,7852

0,8338

0,9113

0,9840

1,0749

θ0, θ 2

0,7433

0,7907

0,8697

0,9479

1,0520

θ0, θ 3

0,7522

0,8015

0,8841

0,9665

1,0771

θ1, θ 2

1,0319

1,1117

1,2414

1,3662

1,5271

θ1, θ 3

0,7456

0,7866

0,8516

0,9122

0,9882

θ2, θ 3

0,6919

0,7327

0,8000

0,8661

0,9533

θ0, θ 1 , θ2

0,7231

0,7719

0,8546

0,9381

1,0516

θ0, θ 1 , θ3

0,6917

0,7325

0,7977

0,8590

0,9357

θ0, θ 2 , θ3

0,6303

0,6608

0,7088

0,7532

0,8084

θ1, θ 2 , θ3

0,6698

0,7038

0,7574

0,8072

0,8692

θ0, θ 1 , θ2, θ3

0,5984

0,6273

0,6727

0,7147

0,7669

Таблица А.33 - Процентные точки распределения статистики ω2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Sb -Джонсона

θ0

0,1148

0,1319

0,1619

0,1934

0,2379

θ1

0,2513

0,3080

0,4170

0,5429

0,7384

θ0, θ 1

0,0893

0,1028

0,1271

0,1532

0,1911

Sl-Джонсона

θ0

0,1148

0,1319

0,1619

0,1934

0,2379

θ1

0,2513

0,3080

0,4170

0,5429

0,7384

θ2

0,1148

0,1319

0,1619

0,1934

0,2379

θ0, θ 1

0,0916

0,1074

0,1373

0,1711

0,2227

θ0, θ 2

0,1122

0,1286

0,1575

0,1877

0,2302

θ1, θ 2

0,0916

0,1074

0,1373

0,1711

0,2227

θ0, θ 1 , θ2

0,0899

0,1022

0,1237

0,1459

0,1769

Su-Джонсона

θ0

0,1148

0,1319

0,1619

0,1934

0,2379

θ1

0,2513

0,3080

0,4170

0,5429

0,7384

θ2

0,2357

0,2915

0,4003

0,5278

0,7290

θ3

0,1054

0,1238

0,1584

0,1977

0,2578

θ0, θ 1

0,0867

0,1009

0,1274

0,1573

0,2026

θ0, θ 2

0,0760

0,0861

0,1035

0,1214

0,1461

θ0, θ 3

0,0889

0,1071

0,1437

0,1878

0,2598

θ1, θ 2

0,2286

0,2840

0,3923

0,5200

0,7223

θ1, θ 3

0,0804

0,0912

0,1100

0,1294

0,1563

θ2, θ 3

0,0683

0,0790

0,0990

0,1216

0,1557

θ0, θ 1 , θ2

0,0692

0,0811

0,1044

0,1318

0,1753

θ0, θ 1 , θ3

0,0624

0,0702

0,0834

0,0970

0,1155

θ0, θ 2 , θ3

0,0507

0,0562

0,0652

0,0739

0,0849

θ1, θ 2 , θ3

0,0614

0,0710

0,0892

0,1099

0,1415

θ0, θ 1 , θ2, θ3

0,0427

0,0473

0,0550

0,0627

0,0730

Таблица А.34 - Процентные точки распределения статистики Ω 2 Мизеса при использовании метода максимального правдоподобия

Распределение случайной величины

Оцениваемый параметр

Верхние процентные точки

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

Sb -Джонсона

θ0

0,7832

0,8988

1,1072

1,3317

1,6567

θ1

1,3989

1,6841

2,2245

2,8391

3,7791

θ0, θ 1

0,5525

0,6269

0,7605

0,9041

1,1119

Sl-Джонсона

θ0

0,7832

0,8988

1,1072

1,3317

1,6567

θ1

1,3989

1,6841

2,2245

2,8391

3,7791

θ2

0,7832

0,8988

1,1072

1,3317

1,6567

θ0, θ 1

0,5611

0,6374

0,7741

0,9207

1,1318

θ0, θ 2

0,7667

0,8810

1,0870

1,3088

1,6298

θ1, θ 2

0,5611

0,6374

0,7741

0,9207

1,1318

θ0, θ 1 , θ2

0,5553

0,6297

0,7638

0,9086

1,1187

Su-Джонсона

θ0

0,7832

0,8988

1,1072

1,3317

1,6567

θ1

1,3989

1,6841

2,2245

2,8391

3,7791

θ2

1,3336

1,6190

2,1680

2,8028

3,7900

θ3

0,7963

0,9164

1,1334

1,3677

1,7079

θ0, θ 1

0,5446

0,6189

0,7527

0,8969

1,1057

θ0, θ 2

0,5001

0,5683

0,6924

0,8274

1,0253

θ0, θ 3

0,6342

0,7403

0,9395

1,1637

1,5032

θ1, θ 2

1,2760

1,5604

2,1124

2,7568

3,7689

θ1, θ 3

0,6257

0,7262

0,9104

1,1122

1,4095

θ2, θ 3

0,5549

0,6409

0,8003

0,9771

1,2412

θ0, θ 1 , θ2

0,4549

0,5182

0,6336

0,7595

0,9445

θ0, θ 1 , θ3

0,4085

0,4513

0,5231

0,5946

0,6901

θ0, θ 2 , θ3

0,3595

0,3941

0,4517

0,5084

0,5833

θ1, θ 2 , θ3

0,4985

0,5767

0,7226

0,8859

1,1316

θ0, θ 1 , θ2, θ3

0,2994

0,3269

0,3713

0,4135

0,4667

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

(справочное)

Библиография

[1] Денисов В. И., Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим: Методические рекомендации. Часть I . Критерии типа χ2. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - С. 126

[2] Kolmogoroff A.N. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione. // G. Ist. Ital. attuar. - 1933. - Vol. 4. - № 1.-P. 83-91

[3] Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416 с.

[4] Anderson Т . W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «Goodness of fit» criteria based on stochastic processes. - AMS, 1952, 23. - P. 193-212

[5] Орлов А. И. Распространенная ошибка при использовании критериев Колмогорова и омега-квадрат // Заводская лаборатория. - 1985. - Т. 51. - № 1. - С. 60-62

[6] Бондарев Б. В. О проверке сложных статистических гипотез // Заводская лаборатория. - 1986.- Т. 52. - № 10.-С. 62-63

[7] Кулинская Е. В., Саввушкина Н. Е. О некоторых ошибках в реализации и применении непараметрических методов в пакете для IBM PC // Заводская лаборатория. - 1990. - Т. 56. - № 5. - С. 96-99

[8] Ка c М ., Kiefer J., Wolfowitz J. On tests of normality and other tests of goodness of fit based on distance methods // Ann. Math. Stat. - 1955. - V. 26. - P. 189-211

[9] Durbin J. Kolmogoriv - Smirnov test when parameters are estimated // Lect. Notes Math. - 1976. - V. 566. - P. 33-44

[10] Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. - М.: Наука, 1978. - 80 с.

[11] Pearson Е . S., Hartley Н . O. Biometrica tables for Statistics. V. 2. - Cambridge: University Press, 1972. - 634 p.

[12] Stephens M. A. Use of Kolmogorov - Smirnov, Cramer - von Mises and related statistics - without extensive table // J. R. Stat. Soc. - 1970. - B. 32. - P. 115-122

[13] Stephens M. A. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons // J. Am. Statist. Assoc. - 1974. - V. 69. - P. 730-737

[14] Chandra M., Singpurwalla N. D., Stephens M. A. Statistics for Test of Fit for the Extrem-Value and Weibull Distribution // J. Am. Statist. Assoc. - 1981. - V. 76. - P. 375

[15] Тюрин Ю. Н. О предельном распределении статистик Колмогорова - Смирнова для сложной гипотезы // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1984. - Т. 48. - № 6. - С. 1314 - 1343

[16] Тюрин Ю. Н., Саввушкина Н. Е. Критерии согласия для распределения Вейбулла - Гнеденко // Изв. АН СССР. Сер. Техн. Кибернетика. - 1984. - № 3. - С. 109-112

[17] Тюрин Ю. Н. Исследования по непараметрической статистике (непараметрические методы и линейная модель): Автореф. дисс. д-ра физ.-мат. наук. - М., 1985. - 33 с. - (МГУ)

[18] Саввушкина Н. Е. Критерий Колмогорова - Смирнова для логистического и гамма-распределения // Сб. тр. ВНИИ систем. исслед. - 1990, № 8

[19] Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере. - М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995.-384 с.

[20] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Прикладные аспекты использования критериев согласия в случае проверки сложных гипотез // Надежность и контроль качества. - 1997. - № 11. - С. 3-17

[21] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О распределениях статистик непараметрических критериев согласия при оценивании по выборкам параметров наблюдаемых законов // Заводская лаборатория. - 1998.-Т. 64. - № 3.- С. 61-72

[22] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Исследование допредельных распределений статистик критериев согласия при проверке сложных гипотез // Тр. IV международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». - Новосибирск. - 1998. - Т. 3. - С. 12 - 16

[23] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости распределений статистик непараметрических критериев и их мощности от метода оценивания параметров // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2001. - Т. 67. - № 7

[24] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Применение непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез // Автометрия. - 2001, - № 2.- С. 88-102

[25] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. О зависимости предельных распределений статистик χ2 Пирсона и отношения правдоподобия от способа группирования данных // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 5. - С. 56-63

[26] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Статистический анализ одномерных наблюдений по частично группированным данным // Изв. вузов. Физика. - Томск, 1995. - № 9. - С. 39-45

[27] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Статистический анализ смесей распределений по частично группированным данным // Сб. научных трудов НГТУ. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1995. - № 1. - С. 25-31

[28] Орлов А. И. Методы оценки близости допредельных и предельных распределений статистик // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 5. - С. 64-67

[29] Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. - М.: Наука, 1982. - 296 с.

[30] Орлов А. И. Неустойчивость параметрических методов отбраковки резко выделяющихся наблюдений // Заводская лаборатория. - 1992. - Т. 58. - № 7. - С. 40-42

[31] Денисов В. И., Лемешко Б. Ю., Цой Е. Б. Оптимальное группирование, оценка параметров и планирование регрессионных экспериментов: В 2 ч. / Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 1993. - 346 с.

[32] Лемешко Б. Ю., Постовалов С. Н. Вопросы обработки выборок одномерных случайных величин // Научный вестник НГТУ. - Новосибирск, 1996. - № 2. - С. 3-24

[33] Лемешко Б. Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений - это обеспечение максимальной мощности критериев // Надежность и контроль качества. - 1997. - № 8. - С. 3-14

[34] Лемешко Б. Ю. Асимптотически оптимальное группирование наблюдений в критериях согласия // Заводская лаборатория. - 1998. - Т. 64. - № 1. - С. 56-64

[35] Rao С . R. Criteria of estimation in large samples // Sankhua, 1962. - V. 25. - P. 189-206

[36] Pao С. Р. Линейные статистические методы и их применения. - М.: Наука, 1968. - 548 с.

[37] Губарев В. В. Вероятностные модели: Справочник. В 2 ч. / Новосиб. электротехн. ин-т. - Новосибирск, 1992. - 422 с.

Ключевые слова: проверка гипотез, критерии согласия, простые и сложные гипотезы, статистика критерия, распределение статистики, уровень значимости, конкурирующая гипотеза, мощность критерия, статистическое моделирование

Еще документы скачать бесплатно

Интересное

Армирование Виды пожарных рукавов Гост 15150 Гост 1759 0 87 Гост 8240 97 Допуски и посадки таблица Катет сварного шва Плиты покрытия размеры Позиционный допуск Проточка Сортамент уголков Состав рабочей документации в строительстве Схема подключения однофазного счетчика Температура наиболее холодной пятидневки Швеллер сортамент