герб

ГОСТы

флаг

ГОСТ Р 50779.21-96 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение

ГОСТ Р 50779.21-96

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Часть 1. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

МОСКВА

Предисловие

1 РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации «Стандартизация статистических методов управления качеством» ТК 125

АО «Нижегородский научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО НИЦ КД)

2 ПРИНЯТ И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 14 августа 1996 г. № 513

3 В настоящем стандарте учтены требования международного стандарта ИСО 2854-76 «Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях»

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1 область применения . 2

2 нормативные ссылки . 2

3 определения . 2

4 обозначения и сокращения . 3

5 общие требования . 4

6 точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности . 5

7 точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности . 11

8 точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале . 14

Приложение а (справочное) Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения . 22

Приложение б (справочное) Таблица значений квантилей распределения стьюдента . 24

Приложение в (справочное) Таблица значений квантилей c2-распределения . 25

Приложение г (справочное) Таблицы значений квантилей распределения фишера . 26

Введение

Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.

В стандарте изложены методы решения следующих задач:

а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;

б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;

в) интервального (доверительного) оценивания параметров и величин, указанных в подпунктах а и б;

г) проверки гипотез об этих же величинах.

Все приводимые процедуры используют ограниченный ряд статистических независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т. п.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Часть 1. Нормальное распределение

Statistical methods . Determination rules and methods for calculation of statistical characteristics based on sample data. Part 1. Normal distribution

Дата введения 1997-07-01

1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ

Стандарт устанавливает методы, применяемые для:

- оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;

- проверки гипотез относительно значений этих параметров;

- оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Примечание - Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайном величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», которое далее используют в данном стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

- элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем должен составлять не более 10 % объема генеральной совокупности;

- наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако, если распределение вероятностей не сильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ

В настоящем стандарте использована ссылка на ГОСТ 15895-77 Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения

3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В настоящем стандарте применяют термины по ГОСТ 15895, а также приведенные ниже:

Точечное оценивание параметра - получение оценки параметра в виде одного численного значения.

Интервальное (доверительное) оценивание параметра - получение оценки параметра в виде доверительного интервала.

Доверительный интервал - интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее (1 - a ), где (1 - a ) - доверительная вероятность.

Примечание - Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним.

Нулевая гипотеза - предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяется по статистическим данным. В частности, в данном стандарте рассматривают предположения о значениях параметров распределения.

4 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

m - математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности);

Примечание - Далее по тексту - среднее значение.

m 0 - известное значение параметра m ;

m 1 , m 2 - математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;

 - точечная оценка параметра m ;  = .

m в , m н - верхняя и нижняя доверительные границы параметра m ;

( m 1 - m 2 ) Ù - точечная оценка разности значений параметров m 1 и m 2 ;

s - стандартное (среднее квадратическое) отклонение нормально распределенной случайной величины;

D - дисперсия генеральной совокупности, D = s 2 ;

D 0 - известное значение дисперсии генеральной совокупности, D 0 = s 2 0 ;

s 0 - конкретное численное значение параметра s ;

s 01 , s 02 - известные значения параметров s 1 и s 2 для двух генеральных совокупностей;

 - точечная оценка параметра s ,  = S ;

s в , s н - верхняя и нижняя доверительные границы параметра s ;

 - точечная оценка дисперсии;

х - выборочное значение наблюдаемой случайной величины;

х1 - выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;

х2 - то же, из второй генеральной совокупности;

n , n 1 , n 2 - объемы выборок;

 - средние арифметические значения (выборочные средние);

 - выборочное стандартное (среднее квадратическое) отклонение;

S 1 , S 2 - то же, для двух выборок соответственно;

a - риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна);

(1 - a ) - доверительная вероятность, где a , 0 < a < 1, - уровень значимости при проверке гипотез;

v - число степеней свободы;

u 1- a , u 1- a /2 - квантили стандартного нормального закона распределения уровней 1 - a и 1 - a /2 соответственно;

t 1- a ( v ), t 1- a /2 ( v ) - квантили распределения Стьюдента с v степенями свободы уровней 1- a и 1 - a /2 соответственно;

F 1- a ( v 1 , v 2 ) - квантиль распределения Фишера уровня 1 - a с v1 и v2 степенями свободы;

c 2 1- a ( v ), c 2 1- a /2 ( v ), c 2 a /2 ( v ) - квантили c 2 -распределения c v степенями свободы уровней 1 - a , 1 - a /2 и a /2 соответственно;

L , М - нижняя и верхняя границы заданного интервала;

р - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале [ L , М ];

q - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины вне интервала [L , М ], причем q + р = 1;

 - точечные оценки р и q ;

p н , q н - нижние односторонние доверительные границы для р и q ;

p в , q в - верхние односторонние доверительные границы для р и q ;

С - случайное событие, например: попадание случайной величины в заданный интервал;

Prob {С} - вероятность случайного события С ;

S х - сумма выборочных значений х.

5 ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ

5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач и процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:

- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятности попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения ( разделы 6, 7, 8), включающие в себя:

1) исходные и статистические данные;

2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений ( приложения А, Б, В, Г), а также проведения вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;

3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.

5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что исходные статистические данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.2 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам ( разделы 6, 7, 8).

Для удобства пользования таблицами разделов 6, 7, 8 задачи соответствующих разделов перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.

Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения ( раздел 6)

Задача оценки среднего значения

Номер таблицы

D известна

D неизвестна

Оценка

6.1

6.2

Сравнение среднего значения с заданной величиной

6.3

6.4

Сравнение двух средних

6.5

6.6

Оценка разности двух средних

6.7

6.8

Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии ( раздел 7)

Задача оценки дисперсии

Номер таблицы

Оценка дисперсии

7.1

Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной

7.2

Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений

7.3

Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале ( раздел 8)

Номер таблицы

D известна

D неизвестна

8.2

8.3

Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале

Заданные границы интервала

Искомая величина

Номер таблицы

L

pн, qв

8.4

М

pн, qв

8.5

L , М

pн, qв

8.6

L

pв , qн

8.7

М

pв , qн

8.8

L , М

pв , qн

8.9

5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые не приводятся в настоящем стандарте.

6 ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.

Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u 1- a =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u 1- a /2 =

3 Известное значение дисперсии:

s20

3 Вычисляем:

4 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

4 Вычисляем:

5 Вычисляем:

Результаты:

1 Точечная оценка параметра m:

 =  =

2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для m:

 - К2 s0 £ m £  + К2 s0

3 Односторонние доверительные интервалы для m:

m £  + К1 s0 или

m ³  - К1 s0

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А

Примеры

1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки m требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения  или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение m . Интервал может быть:

- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью в каких пределах может лежать m ;

- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что m не выше какого-то значения:

- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что m не ниже какого-то значения.

2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т. е. известным параметром s 2 0 ), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую и меньшую стороны от центра настройки m . Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.

Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t 1- a ( v ) =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t 1- a /2 ( v ) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

3 Вычисляем:

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

4 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

5 Вычисляем:

6 Вычисляем:

7 Вычисляем :

Результаты: 1 Точечная оценка параметра m:

 =  =

2 Точечная оценка параметра D:

 = S2

3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра m:

 - l2 S £ m £  + l2 S

4 Односторонние доверительные интервалы для параметра m:

m £  + l1S или (1)

m ³  - l1S (2)

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Пример - Примеры те же, что и в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.

6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением m 0 при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.

Таблица 6.3 - Сравнение среднего значения с заданным значением m 0 при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u1- a =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u1- a/2 =

3 Заданное значение:

m0 =

3 Вычисляем:

4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности:

s20 =

или стандартного отклонения:

s0 =

5 Выбранный уровень значимости:

a =

Результаты:

Сравнение выборочного среднего значения  с заданным значением m0:

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 В одностороннем случае:

а) Предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что выборочное среднее не больше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.1

Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т. е. значение s 2 0 известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.

6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением m 0 при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.

Таблица 6.4 - Сравнение среднего значения с заданным значением m 0 при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t 1- a ( v ) =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t 1- a /2 ( v ) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

3 Вычисляем:

4 Заданное значение:

m0 =

4 Вычисляем:

5 Степени свободы:

v = n - 1

5 Вычисляем:

6 Выбранный уровень значимости:

a =

Результаты:

Сравнение выборочного среднего значения  с заданным значением m0:

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 В одностороннем случае:

а) Предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что выборочное среднее не больше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Примеры

1 То же, что и в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.

2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.

Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос:

являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.

То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т. п.

6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.

Таблица 6.5 - Сравнение двух средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u1- a =

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u1- a/2 =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

S x1 =

S x2 =

3 Вычисляем:

;

3 Известные значения дисперсий генеральных совокупностей:

s201 =

s202 =

4 Вычисляем:

4 Выбранный уровень значимости:

a =

Результаты:

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том, что первое среднее не меньше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что первое среднее не больше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А

Примеры

1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т. е. известны параметры s 01 и s 02 . Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.

2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержание кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т. е. дисперсии) для каждого из двух заводов.

6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значении при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.

Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t1- a( v) =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

S x1 =

S x2 =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t1- a/2( v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x21 =

S x22 =

3 Вычисляем:

;

4 Степени свободы

v = n1 + n2 - 2 =

4 Вычисляем:

5 Выбранный уровень значимости: a

5 Вычисляем:

Результаты:

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

а) Предположение о том, что m1 ³ m2 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 < 2 - t1- a (v)Sd

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том. что m1 £ m2 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 > 2 + t1- a (v)Sd

б) Предположение о том, что первое среднее не больше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

/ 1 - 2/ > t1- a /2 (v)Sd

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Примечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.

Примеры

1 Примеры те же, что и для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем задач в 6.5, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.

2 Пример 2 из 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.

6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.

Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u1- a =

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u1- a/2 =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

S x1 =

S x2 =

3 Вычисляем:

;

3 Известное значение дисперсий генеральной совокупности:

s201 =

s202 =

4 Вычисляем:

4 Выбранный уровень значимости:

a =

тогда доверительная вероятность равна 1 - a

Результаты:

1 Точечная оценка разности между средними значениями параметров m1 и m2 для двух совокупностей:

( m1 - m2) Ù = 1 - 2

2 Односторонний доверительный интервал для разности ( m1 - m2):

( m1 - m2) < ( 1 - 2) + u1- a s d или

( m1 - m2) > ( 1 - 2) - u1- a s d

3 Двусторонний доверительный интервал для разности ( m1 - m2):

( 1 - 2) - u1- a /2 s d < ( m 1 - m 2 ) < ( 1 - 2) + u1- a /2 s d

4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

/ 1 - 2/ > u1- a /2 (v) s d

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А

Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.

Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т. п.

6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.

Таблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях

___________

* Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t1- a( v) =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

S x1 =

S x2 =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t1- a/2( v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x21 =

S x22 =

3 Вычисляем:

;

4 Степени свободы

v = n1 + n2 - 2 =

4 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

5 Вычисляем:

Результаты:

1 Точечная оценка разности между средними значениями параметров m1 и m2 для двух совокупностей:

( m1 - m2) Ù = 1 - 2

2 Двусторонний доверительный интервал для разности :

( 1 - 2) - t1- a /2 (v)Sd < m 1 - m 2 < ( 1 - 2) + t1- a /2 (v)Sd

3 Односторонний доверительный интервал для разности ( m1 - m2):

m1 - m2 < ( 1 - 2) + t1- a( v) Sd или

m 1 - m 2 > ( 1 - 2) - t1- a (v)Sd

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Пример - Пример тот же; что и в 6.7, но дисперсии неизвестны. Применение этих оценок может встречаться чаще, чем оценки в 6.7, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.

7 ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДИСПЕРСИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.

Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантили c2-распределения с v степенями свободы уровней a, (1 - a), a/2 и (1 - a/2) соответственно

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

c2 a( v) =

c21- a( v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

c2 a/2( v) =

c21- a/2( v) =

4 Степени свободы:

v = n - 1

2 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

3 Вычисляем:

 =

Результаты:

1 Точечные оценки дисперсии D и стандартного отклонения s генеральной совокупности:

 = S2;

2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D:

3 Односторонний доверительный интервал* для дисперсии D:

 или (3)

 (4)

_____________

* Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения s являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии D.

Примечание - Квантили c2-распределения определяют по таблице В.1 приложения В

Примеры

1 Оценка точности (т. е. средней величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.

2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температуры в печи).

Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то делается точечная оценка s 2 или s , а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то делается интервальная оценка s 2 или s с верхней доверительной границей.

7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.

Таблица 7.2 - Сравнений дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантили c2-распределения с v степенями свободы уровней a, (1 - a), a/2 и (1 - a/2) соответственно

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

c2 a( v) =

c21- a( v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

c2 a/2( v) =

c21- a/2( v) =

4 Заданное значение:

s20 = D0 =

2 Вычисляем:

5 Степени свободы:

v = n - 1

3 Вычисляем:

 =

6 Выбранный уровень значимости:

a =

Результаты:

Сравнение дисперсии D с заданным значением D0 = s20; или сравнение стандартного отклонения s с заданным s0:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

 или

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том. что дисперсия (стандартное отклонение) не больше заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не меньше заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили c2-распределения определяют по таблице В.1 приложения В

Примеры

1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т. е. известным параметром s 0 ) другого оборудования или технологического процесса.

2 Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т. е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением s 0 .

7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.

Таблица 7.3 - Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Вычисляем:

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

;

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x1 =

S x2 =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x21 =

S x22 =

2 Вычисляем:

4 Степени свободы

v1 = n1 - 1 =

v2 = n2 – 1 =

5 Выбранный уровень значимости:

a =

3 Квантили распределения Фишера:

F1- a /2 (v1, v2) =

F1- a (v1, v2) =

Результаты:

Сравнение дисперсий двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

 или

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том, что D1 £ D2 ( s1 £ s2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что D1 ³ D2 ( s1 ³ s2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1- Г.9 приложения Г

Примеры

1 Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.

2 Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.

8 ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДОЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В ЗАДАННОМ ИНТЕРВАЛЕ*

___________

* Доля распределения случайной величины в заданном. интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», используемый в данном стандарте, хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для «вероятности попадания случайной величины в интервал».

(Измененная редакция, Изм. № 1).

8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.

Таблица 8.1 - Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [ L , М] и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)

Исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Среднее значение (математическое ожидание):

m0 =

1 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:

2 Стандартное отклонение

s0 =

или дисперсия

D0 = s20 =

2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:

3 Границы интервала:

нижняя L =

верхняя М =

3 Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы L:

qL = Ф (uL)

Если L не задано, то qL = 0

4 Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы М:

qM = Ф (-uM)

Если М не задано, то qM = 0

Результаты:

1 Доля распределения случайной величины вне интервала [L, M]:

q = qL + qM

1 Доля распределения случайной величины в интервале [L, M]:

p = 1 - q

Примечание - Величины Ф( uL) и Ф(- uM) представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А

Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров m и s 2 считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач 8.2-8.9.

Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или номинальное значение и известной точности s 2 0 .

8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L , М ] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.

Та блица 8.2 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L , М ] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Стандартное отклонение:

s0 =

или дисперсия D0 = s20 =

2 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

нижняя:

верхняя:

3 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

3 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1)

Если L не задана, то

4 Границы интервала:

нижняя L =

верхняя M =

4 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М (см. таблицу 8.1)

Если М не задана, то

Результаты:

1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L, М]:

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, М]:

Примечание - Величины  и  представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице A.1 приложения А

Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.

8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L , М ] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.

Таблица 8.3 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L , М ] и вне его при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

2 Вычисляем:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

3 Точечная оценка стандартного отклонения:

4 Границы интервала:

нижняя L =

верхняя М =

4 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала

нижняя:

верхняя:

5 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1):

Если L не задана, то

6 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М (см. таблицу 8.1):

Если М не задана, то 0

Результаты:

1 Точечная оценки доли распределения случайной величины вне интервала [L, М]:

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, М]:

Примечание - Величины  и  представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице A.1 приложения А

Пример тот же, что и в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.

8.4 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале выше заданной нижней границы L приведен в таблице 8.4. Таким образом определяют верхнюю доверительную границу q в для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L , а также нижнюю доверительную границу рн для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Примечание - Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины Х и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и М для случайной величины измеряются в тех же единицах физических величин, что и случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т. п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.

Примеры

1 Определение уровня несоответствий для показателя «толщина гальванопокрытия». Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

2 Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества «твердость после термической обработки». Требование (допуск) одностороннее: L = 45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы q в на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница рн на долю продукции, соответствующей требованию, т. е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки рн и q в , в отличие от точечных, имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1 - a ):

истинная доля годной продукции не менее рн ;

истинная доля несоответствующей продукции не более q в .

Таблица 8.4 - Определение верхней q в и нижней рн доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{ q £ qв} ³ 1 - a, Prob { p ³ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

 - для m и

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

 - для s, причем

 = 1 - a,

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

где j = 1, 2, 3, тогда

a1 m = 1/4 a

a2 m = 1/2 a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a3 m = 3/4 a

a j s = /

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

L =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью ( 1 - a m)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - a s)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjв =

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1в, q2в, q3в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qв = min( q1в, q2в, q3в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

рн = 1 - qв

8.5 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале ниже заданной верхней границы М приведен в таблице 8.5. Таким образом определяют верхнюю доверительную границу q в для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М , а также нижнюю доверительную границу рн для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.5 - Определение верхней q в и нижней рн доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{ q £ qв} ³ 1 - a, Prob { p ³ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

 - для m и

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

 - для s, причем

 = 1 - a,

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

где j = 1, 2, 3, тогда

a1 m = 1/4 a

a2 m = 1/2 a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a3 m = 3/4 a

a j s = /

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью ( 1 - a m)

(см. формулу (1) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - a s)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjв =

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1в, q2в, q3в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qв = min( q1в, q2в, q3в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

рн = 1 - qв

Пример - Определение уровня несоответствий для показателя «процент примесей» в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [ L , М ] приведен в таблице 8.6. Таким образом определяют верхнюю доверительную границу q в для доли распределения вне интервала [L , М ], а также нижнюю доверительную границу p н для доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.6 - Определение верхней q в и нижней p н доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L , М ] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{ q £ qв} ³ 1 - a, Prob { p ³ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1 m = 1/4 a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2 m = 1/2 a

a3 m = 3/4 a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a j s = /

6 Границы интервала:

L =

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - a m)

,

(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2)

2.2 Наихудшая точка :

 = mн, если mнА £ В - mв

 = mв, если mнА > В - mв

2.3 Интервальная оценка параметра s, соответствующая доверительной вероятности (1 - a s)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjв =

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1в, q2в, q3в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qв = min( q1в, q2в, q3в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

рн = 1 - qв

Пример из 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.

8.7 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале выше заданной нижней границы L приведен в таблице 8.7. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу q н для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L , а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.7 - Определение нижней q н и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{ q ³ qн} ³ 1 - a, Prob { p £ pв} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1 m = 1/4 a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2 m = 1/2 a

a3 m = 3/4 a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

L =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью ( 1 - a m)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - a s)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjн =

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1н, q2н, q3н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qн = max( q1н, q2н, q3н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

рв = 1 – qн

Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.

8.8 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале ниже заданной верхней границы М приведен в таблице 8.8. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу q н для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М , а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.8 - Определение нижней q н и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{ q ³ qн} ³ 1 - a, Prob { p £ pв} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1 m = 1/4 a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2 m = 1/2 a

a3 m = 3/4 a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью ( 1 - a m)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - a s)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjн =

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1н, q2н, q3н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qн = max( q1н, q2н, q3н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

рв = 1 – qн

8.9 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [ L , М ] приведен в таблице 8.9. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу q н для доли распределения вне интервала [L , М ], а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.9 - Определение нижней q н и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [ L , М ] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{ q ³ qв} ³ 1 - a, Prob { p £ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

S x =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

S x2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1 m = 1/4 a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2 m = 1/2 a

a3 m = 3/4 a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a j s = /

6 Границы интервала:

L =

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - a m)

 или

,

(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2)

2.2 Наихудшая точка :

 = mв, если  (2.2.1)

 = mн, если  (2.2.2)

, если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются

2.3 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - a s)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjн =

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1н, q2н, q3н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qн = max( q1н, q2н, q3н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

рв = 1 – qн

ПРИЛОЖЕНИЕ А
(справочное)

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ СТАНДАРТНОГО НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

A .1 В таблице A .1 даны значения функции стандартного нормального закона распределения

,

т. е. значения площади под кривой

,

лежащей левее точки и.

А.2 В левой колонке таблицы A.1 приведены значения аргумента и от 0,00 до 0,49, обозначение буквой z . Во второй колонке приведены значения функции Ф для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф для значении аргумента и от 0,50 и выше. При этом значение аргумента и находят как сумму значения z и величин::   0,50; 1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 3,00.

Пример - Для и = 1,86 = (1,5 + 0,36) находим: Ф (1,86) = 0,96856.

А.3 Значения функции Ф (и ) для отрицательных и рассчитывают по формуле:

Ф ( ) = 1 - Ф ( u ).

А.4 Значение квантили U a уровня a находится как значение аргумента U , соответствующего значению функции Ф (и ) = а.

Пример - Значению a = 0,99 соответствует ближайшее табличное значение Ф = 0,99010. По таблице A .1 для этого значения функции находят значение аргумента и :

и = 2,0 + 0,33 = 2,33.

Таблица A .1 - Значения функции стандартного нормального закона распределения

z

Ф( z)

Ф(0,5 + z)

Ф(1,0 + z)

Ф( l,5 + z)

Ф(2,0 + z)

Ф(2,5 + z)

Ф(3,0 + z)

0,00

0,50000

0,69146

0,84134

0,93319

0,97725

0,99379

0,99865

0,01

0,50399

0,69497

0,84375

0,93448

0,97778

0,99396

0,99869

0,02

0,50798

0,69847

0,84614

0,93574

0,97831

0,99413

0,99874

0,03

0,51197

0,70194

0,84850

0,93699

0,97882

0,99430

0,99878

0,04

0,51595

0,70540

0,85083

0,93822

0,97932

0,99446

0,99882

0,05

0,51994

0,70884

0,85314

0,93943

0,97982

0,99461

0,99886

0,06

0,52392

0,71226

0,85543

0,94062

0,98030

0,99477

0,99889

0,07

0,52790

0,71566

0,85769

0,94179

0,98077

0,99492

0,99893

0,08

0,53188

0,71904

0,85993

0,94295

0,98124

0,99506

0,99896

0,09

0,53586

0,72240

0,86214

0,94408

0,98169

0,99520

0,99900

0,10

0,53983

0,72575

0,86433

0,94520

0,98214

0,99534

0,99903

0,11

0,54380

0,72907

0,86650

0,94630

0,98257

0,99547

0,99906

0,12

0,54776

0,73237

0,86864

0,94738

0,98300

0,99560

0,99910

0,13

0,55172

0,73565

0,87076

0,94845

0,98341

0,99573

0,99913

0,14

0,55567

0,73891

0,87286

0,94950

0,98382

0,99585

0,99916

0,15

0,55962

0,74215

0,87493

0,95053

0,98422

0,99598

0,99918

0,16

0,56356

0,74537

0,87698

0,95154

0,98461

0,99609

0,99921

0,17

0,56750

0,74857

0,87900

0,95254

0,98500

0,99621

0,99924

0,18

0,57142

0,75175

0,88100

0,95352

0,98537

0,99632

0,99926

0,19

0,57535

0,75490

0,88298

0,95449

0,98574

0,99643

0,99929

0,20

0,57926

0,75804

0,88493

0,95543

0,98610

0,99653

0,99931

0,21

0,58317

0,76115

0,88686

0,95637

0,98645

0,99664

0,99934

0,22

0,58706

0,76424

0,88877

0,95728

0,98679

0,99674

0,99936

0,23

0,59095

0,76731

0,89065

0,95818

0,98713

0,99683

0,99938

0,24

0,59483

0,77035

0,89251

0,95907

0,98745

0,99693

0,99940

0,25

0,59871

0,77337

0,89435

0,95994

0,98778

0,99702

0,99942

0,26

0,60257

0,77637

0,89617

0,96080

0,98809

0,99711

0,99944

0,27

0,60642

0,77935

0,89796

0,96164

0,98840

0,99720

0,99946

0,28

0,61026

0,78230

0,89973

0,96246

0,98870

0,99728

0,99948

0,29

0,61409

0,78524

0,90147

0,96327

0,98899

0,99736

0,99950

0,30

0,61791

0,78814

0,90320

0,96407

0,98928

0,99744

0,99952

0,31

0,62172

0,79103

0,90490

0,96485

0,98956

0,99752

0,99953

0,32

0,62552

0,79389

0,90658

0,96562

0,98983

0,99760

0,99955

0,33

0,62930

0,79673

0,90824

0,96638

0,99010

0,99767

0,99957

0,34

0,63307

0,79955

0,90988

0,96712

0,99036

0,99774

0,99958

0,35

0,63683

0,80234

0,91149

0,96784

0,99061

0,99781

0,99960

0,36

0,64058

0,80511

0,91308

0,96856

0,99086

0,99788

0,99961

0,37

0,64431

0,80785

0,91466

0,96926

0,99111

0,99795

0,99962

0,38

0,64803

0,81057

0,91621

0,96995

0,99134

0,99801

0,99964

0,39

0,65173

0,81327

0,91774

0,97062

0,99158

0,99807

0,99965

0,40

0,65542

0,81594

0,91924

0,97128

0,99180

0,99813

0,99966

0,41

0,65910

0,81859

0,92073

0,97193

0,99202

0,99819

0,99968

0,42

0,66276

0,82121

0,92220

0,97257

0,99224

0,99825

0,99969

0,43

0,66640

0,82381

0,92364

0,97320

0,99245

0,99831

0,99970

0,44

0,67003

0,82639

0,92507

0,97381

0,99266

0,99836

0,99971

0,45

0,67364

0,82894

0,92647

0,97441

0,99286

0,99841

0,99972

0,46

0,67724

0,83147

0,92785

0,97500

0,99305

0,99846

0,99973

0,47

0,68082

0,83398

0,92922

0,97558

0,99324

0,99851

0,99974

0,48

0,68439

0,83646

0,93056

0,97615

0,99343

0,99856

0,99975

0,49

0,68793

0,83891

0,93189

0,97670

0,99361

0,99861

0,99976

Примечание - z - значение аргумента и от 0,00 до 0,49. Значение аргумента и от 0,50 и выше находят как сумму z и величин 0,5; 1,0; 1,5 и т. д. (см. заголовки колонок таблицы)

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(справочное)

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА

Б.1 В таблице Б.1 приведены значения квантилей t a ( v ) распределения Стьюдента уровня a с v степенями свободы.

Пример - Для v = 9 квантиль уровня a = 0,99 имеет значение 2,821.

Б.2 Квантили уровня a = 0,5 при любом v имеют значение t = 0.

Б.3 Квантили уровня a < 0,5 находятся по формуле

t a (v) = -t a -1 (v).

(Измененная редакция, Изм. № 1).

Б.4 Для промежуточных значений а , лежащих между двумя соседними табличными значениями a 1 и a 2 :

a 1 < a < a 2 ,

значение квантиля t a ( v ) может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

.

(Измененная редакция, Изм. № 1).

Пример - Для v = 9 требуется найти квантиль уровня a = 0,992. Полагаем: a 1 = 0,99, a 2 = 0,995; находим по таблице t 0,99 = 2,821, t 0,995 = 3,250 и вычисляем:

,

(Измененная редакция, Изм. № 1).

для v = 9 степеней свободы.

Таблица Б.1 - Значения квантилей распределения Стьюдента

v

Значения квантилей распределения Стьюдента при уровне доверия а

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0, 9

0,95

0, 975

0,99

0,995

0, 9995

1

0,158

0,325

0,510

0,727

1,000

1,376

1,963

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

636,619

2

0,142

0,289

0,445

0,617

0,816

1,061

1,386

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

31,598

3

0,137

0,277

0,424

0,584

0,765

0,978

1,250

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

12,924

4

0,134

0,271

0,414

0,569

0,741

0,941

1,190

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

8,610

5

0,132

0,267

0,408

0,559

0,727

0,920

1,156

1,476

2,015

2.571

3.365

4,032

6,869

6

0,131

0,265

0,404

0,543

0,718

0,906

1,134

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,959

7

0,130

0,263

0,402

0,549

0,711

0,896

1,119

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

5.408

S

0,130

0,262

0,399

0,546

0,706

0,889

1,108

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

5,041

9

0,129

0,261

0,398

0,543

0,703

0,883

1,100

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,781

10

0,129

0,260

0,397

0,542

0,700

0,879

1,093

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,587

11

0,129

0,260

0,396

0,540

0,697

0,876

1,088

1,363

1.796

2,201

2.718

3,106

4,437

12

0,128

0,259

0,395

0,539

0,695

0,873

1,083

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

4,318

13

0,128

0,259

0,394

0,538

0,694

0,870

1,079

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

4,221

14

0,128

0,258

0,393

0,537

0,692

0,868

1,076

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

4,140

13

0,128

0,258

0,393

0,536

0,691

0,866

1,074

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

4,173

16

0,128

0,258

0,392

0,535

0,690

0,865

1,071

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

4,015

17

0,128

0,257

0,392

0,534

0,689

0,863

1,069

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,965

18

0,127

0,257

0,392

0,534

0,688

0,862

1,067

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,922

19

0,127

0257

0,391

0,533

0,688

0,861

1,066

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,883

20

0,127

0,2a7

0,391

0,533

0,687

0,860

1,064

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,850

21

0,127

0,257

0,391

0,532

0,686

0,859

1,063

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,819

22

0,127

0,256

0,390

0,532

0,686

0,858

1,061

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,792

23

0,127

0,256

0,390

0,532

0,685

0,858

1,060

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,767

24

0,127

0,256

0,390

0,531

0,685

0,857

1,059

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,745

25

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,725

26

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,315

1,706

2.056

2,479

2,779

3,707

27

0,127

0,256

0,389

0,531

0,684

0,855

1,057

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,690

28

0,127

0,256

0,339

0,530

0,683

0,855

1,056

1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

3,674

29

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

3,659

30

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,646

40

0,126

0,255

0,388

0,529

0,681

0,851

0,050

1,303

1,684

2,021

2,423

2,704

3,551

60

0,126

0,254

0,387

0,527

0,679

0,848

0,046

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

3,460

120

0,126

0,254

0,386

0,526

0,677

0,845

0,041

1,289

1,658

1,980

2.358

2,617

3,373

¥

0,126

0,253

0,385

0,524

0,674

0,842

0,036

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,291

ПРИЛОЖЕНИЕ В
(справочное)

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ c2-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

B .1 В таблице B.1 приведены значения квантилей c2 a ( v ), т. е. квантилей c2 -распределения уровня a с v степенями свободы.

Пример - Для v = 9 и a = 0,98 квантиль c20,98 = 19,679.

В.2 Для промежуточных значений a , лежащих между двумя соседними табличными значениями a 1 и a 2 :

a 1 < a < a 2 ,

значение квантиля c2 a может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

.

(Измененная редакция, Изм. № 1).

Пример - Для v = 14 требуется найти квантиль уровня 0,988. Полагаем: a 1 = 0,98; a 2 = 0,99, находим по таблице B .1 c 2 0,98 = 26,873; c 2 0,99 = 29,141 и вычисляем:

для v = 14 степеней свободы.

Таблица В.1 - Значения квантилей c2 -распределения

v

Значения квантилей c2-распределения при уровне доверия a

0,01

0,02

0,05

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

1

0,0157

0,0628

0,0393

0,0158

0,0642

0,148

0,455

1,074

1,642

2,706

3,841

5,412

6,635

2

0,0201

0,0404

0,103

0,211

0,446

0,713

1,386

2,408

3,219

4,605

5,991

7,824

9,210

3

0,115

0,185

0,352

0,584

1,005

1,424

2,366

3,665

4,642

6,251

7,815

9,837

11,345

4

0,297

0,429

0,711

1,064

1,649

2,195

3,357

4,878

5,989

7,779

9,488

11,668

13,277

5

0,554

0,752

1,145

1,160

2,343

3,000

4,351

6,064

7,289

9,233

11,070

13,388

15,086

6

0,872

1,134

1,635

2,204

3,070

3,828

5,348

7,231

8,558

10,645

12,592

15,033

16,812

7

1,239

1,564

2,167

2,833

3,822

4,671

6,346

8,383

9,803

12,017

14,067

16,622

18,475

8

1,646

2,032

2,733

3,490

4,594

5,527

7,344

9,524

11,030

13,362

15,507

18,168

20,090

9

2,088

2,532

3,325

4,168

5,380

6,393

8,343

10,656

12,242

14,684

16,919

19,679

21,666

10

2,358

3,059

3,940

4,865

6,179

7,267

9,342

11,781

13,442

15,987

18,307

21,161

23,209

11

3,053

3,609

4,575

5,578

6,989

8,148

10,341

12,899

14,631

17,275

19,675

22,618

24,725

12

3,571

4,178

5,226

6,304

7,807

9,034

11,340

14,011

15,821

18,549

21,026

24,054

26,217

13

4,107

4,765

5,892

7,042

8,634

9,926

12,340

15,119

16,985

19,812

22,362

25,472

27,688

14

4,660

5,368

6,571

7,790

9,467

10,821

13,339

16,222

18,151

21,064

23,585

26,873

29,141

15

5,229

5,985

7,261

8,547

10,307

11,721

14,339

17,322

19,311

22,307

24,996

28,259

30,578

16

5,812

6,614

7,962

9,312

11,152

12,624

15,333

18,418

20,465

23,542

26,296

29,633

32,000

17

6,408

7,255

8,672

10,035

12,002

13,531

16,338

19,511

21,615

24,769

27,587

30,995

33,409

18

7,015

7,906

9,390

10,865

12,857

14,440

17,338

20,601

22,760

25,989

28,869

32,346

34,805

19

7,633

8,567

10,117

11,651

13,716

15,352

18,338

21,689

23,900

27,204

30,144

33,687

36,191

20

8,260

9,237

10,851

12,443

14,578

16,266

19,337

22,775

25,038

28,412

31,410

35,020

37,566

21

8,897

9,915

11,591

13,240

15,445

17,182

20,337

23,858

26,171

29,615

32,671

36,343

38,932

22

9,542

10,600

12,338

14,041

16,314

18,101

21,337

24,939

27,301

30,813

33,924

37,659

40,289

23

10,196

11,293

13,091

14,848

17,187

19,021

22,337

26,018

28,429

32,007

35,172

38,968

41,638

24

10,856

11,992

13,848

15,659

18,062

19,943

23,337

27,096

29,553

33,196

36,415

40,270

42,980

25

11,524

12,697

14,611

16,473

18,940

20,867

24,337

28,172

30,675

34,382

37,652

41,566

44,314

26

12,198

13,409

15,379

17,292

19,820

21,792

25,336

29,246

31,795

35,563

38,885

42,856

45,642

27

12,879

14,125

16,151

18,114

20,703

22,719

26,336

30,319

32,912

36,741

40,113

44,140

46,963

28

13,565

14,847

16,928

18,939

21,588

23,647

27,336

31,391

34,027

37,916

41,337

45,419

48,278

29

14,256

15,574

17,708

19,768

22,475

24,577

28,336

32,461

35,139

39,087

42,557

46,693

49,588

30

14,953

16,306

18,493

20,599

23,364

25,508

29,336

33,530

36,250

40,256

43,773

47,962

50,892

ПРИЛОЖЕНИЕ Г
(справочное)

ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИШЕРА

Г.1 В таблицах Г.1- Г.9 содержатся значения квантилей F a ( v 1 , v2) заданных уровней a для различных сочетаний степеней свободы v 1 и v2. Каждая таблица соответствует одному уровню a , значение которого указано в заголовке таблицы, и различным значениям v1 и v2.

Г.1.1 Для определения квантилей уровней a меньше 0,5 следует использовать соотношение:

.

Г.1.2 Для промежуточных значений a , лежащих между двумя соседними значениями a 1 и a 2 :

a 1 < a < a 2 ,

значение квантиля F a может быть вычислено приближенно по формуле

.

Г.1.3 Для промежуточных значений v1 и v2, лежащих между двумя соседними табличными значениями v ¢ 1 и v 1 или v ¢ 2 и v2, т. е.

v ¢ 1 < v < v 1 или v ¢ 2 < v < v2,

значения квантилей F a ( v 1 ), F a ( v 2 ) могут быть приближенно вычислены по формулам

;

.

(Измененная редакция, Изм. № 1).


ТАБЛИЦА Г.1 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,5

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,5 для степеней свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

¥

1

1,0000

1,5000

1,7092

1,8227

1,8937

1,9422

1,9774

2,0041

2,0250

2,0419

2,0674

2,0931

2,1190

2,1321

2,1452

2,1584

2,1716

2,1848

2,1981

2

0,66667

1,0000

1,1349

1,2071

1,2519

1,2824

1,3045

1,3213

1,3344

1,3450

1,3610

1,3771

1,3933

1,4014

1,4096

1,4178

1,4261

1,4344

1,4427

3

0,58506

0,88110

1,0000

1+ ,0632

1,1024

1 ,1289

1 ,1482

1 ,1627

1 ,1741

1 ,1833

1 ,1972

1 ,2111

1 ,2252

1 ,2322

1,2393

1,2464

1,2536

1 ,2608

1 ,2680

4

0,54863

0,82843

0,94054

1,0000

1,0367

1 ,0617

1 ,0797

1 ,0933

1 ,1040

1 ,1126

1 ,1255

1 ,1386

1 ,1517

1 ,1583

1,1649

1,1716

1,1782

1 ,1849

1 ,1916

5

0,52807

0,79877

0,90715

0,96456

1,0000

1 ,0240

1 ,0414

1 ,0545

1 ,0648

1 ,0730

1 ,0855

1 ,0980

1 ,1106

1 ,1170

1,1234

1,1297

1,1361

1 ,1426

1 ,1490

6

0,5148 9

0,77976

0,88578

0,94191

0,97654

1 ,0000

1 ,0169

1 ,0298

1 ,0398

1 ,0478

1 ,0600

1 ,0722

1 ,0845

1 ,0907

1,0969

1,1031

1,1093

1 ,1156

1 ,1219

7

0,50572

0,76655

0,87095

0,92619

0,96026

0,98334

1 ,0000

1 ,0126

1 ,0224

1 ,0304

1 ,0423

1 ,0543

1 ,0664

1 ,0724

1,0785

1,0846

1,0908

1 ,0969

1 ,1031

8

0,498 98

0,75683

0,86004

0,91464

0,94831

0,97111

0,98757

1 ,0000

1 ,0097

1 ,0175

1 ,0293

1 ,0412

1 ,0531

1 ,0591

1,0651

1,0711

1,0771

1,0832

1 ,0893

9

0,49382

0,74938

0,85168

0,90580

0,93916

0,96175

0,97805

0,99037

1 ,0000

1 ,0077

1 ,0194

1 ,0311

1 ,0429

1 ,0489

1,0548

1,0608

1,0667

1,0727

1 ,0788

10

0,48 973

0,74349

0,84508

0,89882

0,93193

0,95436

0,97054

0,98276

0,99232

1,0000

1 ,0116

1,0232

1,0349

1 ,0408

1,0467

1,0526

1,0585

1,0645

1,0705

11

0,48644

0,73872

0,83973

0,89316

0,92608

0,94837

0,96445

0,97661

0,98610

0,99373

1 ,0052

1,0168

1,0284

1 ,0343

1,0401

1,0460

1,0519

1,0578

1,0637

12

0,48369

0,73477

0,83530

0,88848

0,92124

0,94342

0,95943

0,97152

0,9809 7

0,98856

1 ,0000

1,0115

1,0 231

1 ,0289

1,0347

1,0405

1,0464

1,0523

1,0582

13

0,48141

0,73145

0,83159

0,88454

0,91718

0,93926

0,95520

0,96724

0,97665

0,98421

0,99560

1,0071

1,0186

1,0243

1,0301

1,0360

1,0418

1,0476

1,0535

14

0,47944

0,72862

0,82842

0,88119

0,91371

0,93573

0,95161

0,96360

0,97298

0,98051

0,99186

1,0033

1,0147

1,0205

1,0263

1,0321

1,0379

1,0437

1,0495

15

0,47775

0,72619

0,82569

0,87830

0,91073

0,93627

0,94850

0,96046

0,96981

0,97732

0,98863

1,0000

1 ,0114

1,0172

1,0229

1,0287

1,0345

1,0403

1,0461

16

0,47628

0,72406

0,82330

0,87578

0,90812

0,93001

0,94580

0,95773

0,96705

0,97454

0,98582

0,99716

1 ,0086

1,0143

1,0200

1,0258

1,0315

1,0373

1,0431

17

0,47499

0,72219

0,82121

0,87357

0,90584

0,92767

0,94342

0,95532

0,96462

0,97203

0,98334

0,99466

1 ,0060

1,0117

1,0174

1,0232

1,0289

1,0347

1 ,0405

18

0,47385

0,72053

0,81936

0,87161

0,90381

0,92560

0,94132

0,95319

0,96247

0,96993

0,98116

0,99245

1 ,0038

1,0095

1,0152

1,0209

1,0267

1,0324

1 ,0382

19

0,47284

0,71906

0,81771

0,86987

0,90200

0,92375

0,93944

0,95129

0,96056

0,96800

0,97920

0,99047

1 ,0018

1,0075

1,0132

1,0189

1,0246

1,0304

1 ,0361

20

0,47192

0,71773

0,81621

0,86830

0,90038

0,92210

0,93776

0,94959

0,95884

0,96626

0,97746

0,98870

1,0000

1,0057

1,0114

1,0171

1,0228

1,0285

1 ,0343

21

0,47108

0,71653

0,81487

0,86688

0,89891

0,92060

0,93624

0,94805

0,95728

0,96470

0,97587

0,98710

0,99838

1,0040

1,0097

1,0154

1,0211

1,0268

1 ,0326

22

0,47033

0,71545

0,81365

0,86559

0,89759

0,91924

0,93486

0,94665

0,95588

0,96328

0,97444

0,98565

0,99692

1,0026

1,0082

1,0139

1,0196

1,0253

1 ,0311

23

0,46965

0,71446

0,81255

0,86442

0,89638

0,91800

0,93360

0,94538

0,95459

0,96199

0,97313

0,98433

0,99558

1,0012

1,0069

1,0126

1,0183

1,0240

1 ,0297

24

0,46902

0,71356

0,81153

0,86335

0,89527

0,91687

0,93245

0,94422

0,95342

0,96081

0,97194

0,98312

0,99436

1,0000

1,0057

1,0113

1,0170

1,0227

1 ,0284

25

0,46844

0,71272

0,81061

0,86236

0,89425

0,91583

0,93140

0,94315

0,95234

0,95972

0,97084

0,98201

0,99324

0,99887

1,0045

1,0102

1,0159

1,0215

1,0273

26

0,46793

0,71195

0,80975

0,86145

0,89331

0,91487

0,93042

0,94217

0,95135

0,95872

0,96983

0,98099

0,99220

0,99783

1,0035

1,0091

1,0148

1,0205

1,0262

27

0,46744

0,71124

0,80894

0,86061

0,89244

0,91399

0,92952

0,94126

0,95044

0,95779

0,96889

0,98004

0,99125

0,99687

1,0025

1,0082

1,0138

1,0195

1,0252

28

0,46697

0,71059

0,80820

0,85983

0,89164

0,91317

0,92869

0,94041

0,94958

0,95694

0,96802

0,97917

0,99036

0,99598

1,0016

1,0073

1,0129

1,0186

1,0243

29

0,46654

0,70999

0,80753

0,85911

0,89089

0,91241

0,92791

0,93963

0,94879

0,95614

0,96722

0,97835

0,98954

0,99515

1,0008

1,0064

1,0121

1,0177

1,0234

30

0,46616

0,70941

0,80689

0,85844

0,89019

0,91169

0,92719

0,93889

0,94805

0,95540

0,96647

0,97759

0,98877

0,99438

1,0000

1,0056

1,0113

1,0170

1,0226

40

0,46330

0,70531

0,80228

0,85357

0,88516

0,90654

0,92197

0,93361

0,94272

0,95003

0,96104

0,97211

0,98323

0,988 80

0,99440

1,0000

1,0056

1,0113

1,0169

60

0,46053

0,70122

0,79770

0,84873

0,88017

0,90144

0,91679

0,92838

0,93743

0,94471

0,95566

0,96667

0,97773

0,98328

0,98884

0,99411

1,0000

1,0056

1,0112

120

0,45774

0,69717

0,79314

0,84392

0,87521

0,89637

0,91164

0,92318

0,93218

0,93943

0,95032

0,96128

0,97228

0,97780

0,98333

0,98887

0,99443

1,0000

1,0056

¥

0,45494

0,69315

0,78866

0,83918

0,87029

0,89135

0,90654

0,91802

0,92698

0,93418

0,94503

0,95593

0,96687

0,97236

0,97787

0,98339

0,98891

0,99445

1,0000

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.2 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,75

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,75 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

¥

1

5,8285

7,5000

8,1999

8,5810

8,8198

8,9833

9,1021

9,1922

9,2631

9,3202

9,4064

9,4934

9,5813

9,6255

9,6698

9,7144

9,7591

9,8041

9,8492

2

2,5714

3,0000

3,1534

3,2320

3,2799

3,3121

3,3352

3,3526

3,3661

3,3770

3,3934

3,4098

3,4263

3,4345

3,4428

3,4511

3,4594

3,4677

3,4761

3

2,0239

2,2798

2,3555

2,3901

2,4095

2,4218

2,4302

2,4364

2,4410

2,4447

2,4500

2,4552

2,4602

2,4626

2,4650

2,4674

2,4697

2,4720

2,4742

4

1,8074

2,0000

2,0467

2,0642

2,0723

2,0766

2,0790

2,0805

2,0814

2,0820

2,0826

2,0829

2,0828

2,0827

2,0825

2,0821

2,0817

2,0812

2,0806

5

1,6925

1,8528

1,8843

1,8927

1,8947

1,8945

1,8935

1,8923

1,8911

1,8899

1,8877

1,8851

1,8820

1,8802

1,8784

1,8763

1,8742

1,8719

1,8694

6

1,6214

1,7622

1,7844

1,7872

1,7852

1,7821

1,7789

1,7760

1,7733

1,7708

1,7668

1,7621

1,7569

1,7540

1,7510

1,7477

1,7443

1,7407

1,7368

7

1,5732

1,7010

1,7169

1,7157

1,7111

1,7059

1,7011

1,6969

1,6931

1,6898

1,6843

1,6781

1,6712

1,6675

1,6635

1,6593

1,6548

1,6502

1,6452

8

1,5384

1,6569

1,6683

1,6642

1,6575

1,6508

1,6448

1,6396

1,6350

1,6310

1,6244

1,6170

1,6088

1,6043

1,5996

1,5945

1,5892

1,5836

1,5777

9

1,5121

1,6236

1,6315

1,6253

1,6170

1,6091

1,6022

1,5961

1,5909

1,5863

1,5788

1,5705

1,5611

1,5560

1,5506

1,5450

1,5389

1,5325

1,5257

10

1,4915

1,5975

1,6028

1,5949

1,5863

1,5765

1,5688

1,5621

1,5563

1,5513

1,5430

1,5338

1 ,5235

1,5179

1,5119

1,5056

1,4990

1,4919

1,4843

11

1,4749

1,5767

1,5798

1,5794

1,5598

1,5502

1,5418

1,5346

1,5284

1,5230

1,5140

1,5041

1 ,4930

1,4869

1,4805

1,4737

1,4664

1,4587

1,4504

12

1,4613

1,5595

1,5609

1,5503

1,5389

1,5286

1,5197

1,5120

1,5054

1,4996

1,4902

1,4796

1 ,4678

1,4613

1,4544

1,4471

1,4393

1,4310

1,4221

13

1,4500

1,5452

1,5451

1,5336

1 ,5214

1 ,5105

1,5011

1 ,4931

1,4861

1,4801

1,4701

1,4590

1 ,4465

1,4397

1,4324

1,4247

1,4164

1,4075

1,3980

14

1,4403

1,5331

1,5317

1,5194

1 ,5066

1 ,4952

1,4854

1 ,4770

1,4697

1,4634

1,4530

1,4414

1 ,4284

1,4212

1,4136

1,4055

1,3967

1,3874

1,3772

15

1,4321

1,5227

1,5202

1,5071

1 ,4938

1 ,4820

1,4718

1 ,4631

1,4556

1,4491

1,4383

1,4263

1,4127

1,4052

1,3973

1,3888

1,3796

1,3698

1,3591

16

1,4249

1,5137

1,5103

1,4965

1 ,4827

1 ,4705

1,4601

1 ,4511

1,4433

1,4366

1,4255

1,4130

1,3990

1,3913

1,3830

1,3742

1,3646

1,3543

1,3432

17

1,4186

1,5057

1,5015

1,4873

1 ,4730

1 ,4605

1,4497

1 ,4405

1,4325

1,4256

1,4142

1,4014

1,3869

1,3790

1,3704

1,3613

1,3514

1,3406

1,3290

18

1,4130

1,4988

1,4938

1,4790

1,4644

1 ,4516

1,4406

1 ,4312

1,4230

1,4159

1,4042

1,3911

1,3762

1,3680

1,3592

1,3497

1,3395

1,3284

1,3162

19

1,4081

1,4925

1,4870

1,4717

1,4568

1,4437

1,4325

1 ,4228

1,4145

1,4073

1,3953

1,3819

1,3666

1,3582

1,3492

1,3394

1,3289

1,3174

1,3048

20

1,4037

1,4870

1,4808

1,4652

1,4500

1,4366

1,4252

1,4153

1,4069

1,3995

1 ,3873

1,3736

1 ,3580

1,3494

1,3401

1,3301

1,3193

1,3074

1,2943

21

1,3997

1,4820

1,4753

1,4593

1,4438

1,4302

1,4186

1,4086

1,4000

1,3925

1 ,3801

1,3661

1 ,3502

1,3414

1,3319

1,3217

1,3105

1,2983

1,2848

22

1,3961

1,4774

1,4703

1,4540

1,4382

1,4244

1,4126

1,4025

1,3937

1,3861

1 ,3735

1,3593

1 ,3431

1,3341

1,3245

1,3140

1,3025

1,2900

1,2761

23

1,3928

1,4733

1,4657

1,4491

1,4331

1,4191

1,4072

1,3969

1,3880

1,3803

1 ,3675

1,3531

1 ,3366

1,3275

1,3176

1,3069

1,2952

1,2824

1,2681

24

1, 3898

1,4695

1,4615

1,4447

1,4285

1,4143

1,4022

1,3918

1,3828

1,3750

1 ,3621

1,3474

1 ,3307

1,3214

1,3113

1,3004

1,2885

1,2754

1,2607

25

1,3870

1,4661

1,4577

1,4406

1,4242

1,4099

1,3976

1,3871

1,3780

1,3701

1 ,3570

1,3422

1,3252

1 ,3158

1,3056

1,2945

1,2823

1,2689

1,2538

26

1,38 45

1,4629

1,4542

1,4368

1,4203

1,4058

1,3935

1,3828

1,3737

1,3656

1 ,3524

1 ,3374

1 ,3202

1 ,3106

1,3002

1,2889

1,2765

1,2628

1,2474

27

1,3,S22

1,4600

1,4510

1,4334

1,4166

1,4021

1,3896

1,3788

1,3696

1,3615

1 ,3481

1 ,3329

1 ,3155

1 ,3058

1,2953

1,2838

1,2712

1,2572

1,2414

28

1,3800

1,4573

1,4480

1,4302

1,4133,

1,3986

1, 38 60

1,3752

1,3658

1,3576

1 ,3441

1 ,3288

1,3,112

1 ,3013

1,2906

1,2790

1,2662

1,2519

1,2358

29

1,3780

1,4547

1,4452

1,4272

1,4102

1,3953

1,3826

1,3717

1,3623

1,3541

1 ,3404

1 ,3249

1,3071

1 ,2971

1,2863

1,2745

1,2615

1,2470

1,2306

30

1,3761

1,4524

1,4426

1,4244

1,4073

1,3923

1,3795

1,3685

1,3590

1,3507

1 ,3369

1 ,3213

1 ,3033

1 ,2933

1,2823

1,2703

1,2571

1,2424

1,2256

40

1,3626

1,4355

1,4239

1,4045

1,3863

1,3706

1,3571

1,3455

1,3354

1,3266

1 ,3119

1 ,2952

1 ,2758

1 ,2649

1,2529

1,2397

1,2249

1,2080

1,1883

60

1,3493

1,4188

1,4055

1,3848

1,3657

1,3491

1,3349

1,3226

1,3119

1,3026

1 ,2870

1 ,2691

1 ,2481

1 ,2361

1,2229

1,2081

1,1912

1,1715

1,1474

120

1,3362

1,4024

1,3873

1,3654

1,3453

1,3278

1,3128

1,2999

1,2886

1,2787

1 ,2621

1,2428

1 ,2200

1 ,2068

1,1921

1,1752

1,1555

1,1314

1,0987

¥

1,3233

1,3863

1,3694

1,3463

1,3251

1,3068

1,2910

1,2774

1,2654

1,2549

1,2371

1,2163

1,1914

1,1767

1,1600

1,1404

1,1164

1,0838

1,0000

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.3 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,999

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,999 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

¥

1

405300

500000

540400

562500

576400

585900

592900

598100

602300

605600

610700

615800

620900

623500

626100

628700

631300

634000

636600

2

998,5

999,0

999,2

999,2

999,3

999,3

999,4

999,4

999,4

999,4

999,4

999,4

999,4

999,5

999,5

999,5

999,5

999,5

999,5

1

167,0

148,5

141,1

137,1

134,6

132,8

131,6

130,6

129,9

129,2

128,3

127,4

126,4

125,9

125,4

125,0

124,5

124,0

123,5

4

74,14

61,25

56,18

53,44

51,71

50,53

49,66

49,00

48,47

48,05

47,41

46,76

46,10

45,77

45,43

45,09

44,75

44,40

44,05

5

47,18

37,12

33,20

31,09

29,75

28,5 4

28,16

27,64

27,24

26,92

26,42

25,91

25,39

25,14

24,87

24,60

24,33

24,06

23,79

6

35,51

27,00

23,70

21,92

20,81

20,03

19,46

19,03

18,69

18,41

17,99

17,56

17,12

16,89

16,67

16,44

16,21

15,99

15,75

7

29,25

21,69

18,77

17,19

16,21

15,52

15,02

14,63

14,33

14,08

13,71

13,32

12,93

12,73

12,53

12,33

12,12

11,91

11,70

8

25,42

18,49

15,83

14,39

13,49

12,86

12,40

12,04

11,77

11,54

11,19

10,84

10,48

10,30

10,11

9,92

9,73

9,53

9,33

9

22,86

16,39

13,90

12,56

11,71

11,13

10,70

10,37

10,11

9,89

9,57

9,24

8,90

8,72

8,55

8,37

8,19

8,00

7,81

10

21,04

14,91

12,55

11,28

10,48

9,92

9,52

9,20

8,96

8,75

8,45

8,13

7,80

7,64

7,47

7,30

7,12

6,94

6,76

11

19,69

13,81

11,56

10,35

9,58

9,05

8,66

8,35

8,12

7,92

7,63

7,32

7,01

6,85

6,68

6,52

6,35

6,17

6,00

12

18,64

12,97

10,80

9,63

8,89

8,38

8,00

7,71

7,48

7,29

7,00

6,71

6,40

6,25

6,09

5,93

5,76

5,59

5,42

13

17,81

12,31

10,21

9,07

8,35

7,86

7,49

7,21

6,98

6,80

6,52

6,23

5,93

5,78

5,63

5,47

5,30

5,14

4,97

14

17,14

11,78

9,73

8,62

7,92

7,43

7,08

6,80

6,58

6,40

6,13

5,85

5,56

5,41

5,25

5,10

4,94

4,77

4,60

15

16,59

11,34

9,34

8,25

7,57

7,09

6,74

6,47

6,26

6,08

5,81

5,54

5,25

5,10

4,95

4,80

4,64

4,47

4,31

16

16,12

10,97

9,00

7,94

7,27

6,81

6,46

6,19

5,98

5,81

5,55

5,27

4,99

4,85

4,70

4,54

4,39

4,23

4,06

17

15,72

10,66

8,73

7,68

7,02

6,56

6,22

5,96

5,75

5,58

5,32

5,05

4,78

4,63

4,48

4,33

4,18

4,02

3,85

18

15,38

10,39

8,49

7,46

6,81

6,35

6,02

5,76

5,56

5,39

5,13

4,87

4,59

4,45

4,30

4,15

4,00

3,84

3,67

19

15,08

10,16

8,28

7,26

6,62

6,18

5,85

5,59

5,39

5,22

4,97

4,70

4,43

4,29

4,14

3,99

3,84

3,68

3,51

20

14,82

9,95

8,10

7,10

6,46

6,02

5,69

5,44

5,24

5,08

4,82

4,56

4,29

4,15

4,00

3,86

3,70

3,54

3,38

21

14,59

9,77

7,94

6,95

6,32

5,88

5,56

5,31

5,11

4,95

4,70

4,44

4,17

4,03

3,88

3,74

3,58

3,42

3,26

22

14,38

9,61

7,80

6,81

6,19

5,76

5,44

5,19

4,99

4,83

4,58

4,33

4,06

3,92

3,78

3,63

3,48

3,32

3,15

23

14,19

9,47

7,67

6,69

6,08

5,65

5,33

5,09

4,89

4,73

4,48

4,23

4,23

3,82

3,68

3,53

3,38

3,22

3,05

24

14,03

9,34

7,55

6,59

5,98

5,55

5,23

4,99

4,80

4,64

4,39

4,14

3,87

3,74

3,59

3,45

3,29

3,14

2,97

25

13,88

9,22

7,45

6,49

5,88

5,46

5,15

4,91

4,71

4,56

4,31

4,06

3,79

3,66

3,52

3,37

3,22

3,06

2,89

26

13,74

9,12

7,36

6,41

5,80

5,38

5,07

4,83

4,64

4,48

4,24

3,99

3,72

3,59

3,44

3,30

3,15

2,99

2,82

27

13,61

9,02

7,27

6,33

5,73

5,31

5,00

4,76

4,57

4,41

4,17

3,92

3,66

3,52

3,38

3,23

3,08

2,92

2,75

28

13,50

8,93

7,19

6,25

5,66

5,24

4,93

4,69

4,50

4,35

4,11

3,86

3,60

3,46

3,32

3,18

3,02

2,86

2,69

29

13,39

8,85

7,12

6,19

5,59

5,18

4,87

4,64

4,45

4,29

4,05

3,80

3,54

3,41

3,27

3,12

2,97

2,8 1

2,64

30

13,29

8,77

7,05

6,12

5,53

5,12

4,82

4,58

4,39

4,24

4,00

3,75

3,49

3,36

3,22

3,07

2,92

2,76

2,59

40

12,61

8,25,

6,60

5,70

5,13

4,73

4,44

4,21

4,02

3,87

3,64

3,40

3,15

3,01

2,87

2,73

2,57

2,41

2,23

60

11,97

7,76

6,17

5,31

4,76

4,37

4,09

3,87

3,69

3,54

3,31

3,08

2,83

2,69

2,55

2,41

2,25

2,08

1,89

120

11,38

7,32

5,79

4,95

4,42

4,04

3,77

3,55

3,38

3,24

3,02

2,78

2,53

2,40

2,26

2,11

1,95

1,76

1,54

¥

10,83

6,91

5,42

4,62

4,10

3,74

3,47

3,27

3,10

2,96

2,74

2,51

2,27

2,13

1,99

1,84

1,66

1,45

1,00

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.4 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ а = 0,9995

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,9995 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

24

30

40

50

60

100

120

200

500

03

1

1620000

2000000

2160000

2250000

2310000

2340000

2370000

2390000

2410000

2420000

2430000

2440000

2460000

2480000

2490000

2500000

2510000

2520000

2520000

2530000

2530000

2530000

2540000

2540000

2

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

3

266

237

225

218

214

211

209

208

207

206

204

204

203

201

200

199

199

198

198

197

197

197

196

196

4

106

87,4

80,1

76,1

73,6

71,9

70,6

69,7

68,9

68,3

67,8

67,4

66,5

65,5

65,1

64,6

64,1

63,8

63,6

63,2

63,1

62,9

62,7

62,6

5

63,6

49,S

44,4

41,5

39,7

38,5

37,6

36,9

36,4

35,9

35,6

35,2

34,6

33,9

33,5

33,1

32,7

32,5

32,3

32,1

32,0

31,8

31,7

31,6

6

46,1

34,8

30,4

28,1

26,6

25,6

24,9

24,3

23,9

23,5

23,2

23,0

22,4

21,9

21,7

21,4

21,1

20,9

20,7

20,5

20,4

20,3

20,2,

20,1

7

37,0

27,2

23,5

21,4

20,2

19,3

18,7

18,2

17,8

17,5

17,2

17,0

16,5

16,0

15,7

15,5

15,2

15,1

15,0

14,7

14,7

14,6

14,5

14,4

8

31,6

22,8

19,4

17,6

16,4

15,7

15,1

14,6

14,3

14,0

13,8

13,6

13,1

12,7

12,5

12,2

12,0

11,8

11,8

11,6

11,5

11,4

11,4

11,3

9

28,0

19,9

16,8

15,1

14,1

13,3

12,8

12,4

12,1

11,8

11,6

11,4

11,0

10,6

10,4

10,2

9,94

9,80

9,1

9,53

9,49

9,40

9,32

9,26

10

25,5

17,9

15,0

13,4

12,4

11,8

11,3

10,9

10,6

10,3

10,1

9,93

9,56

9,16

8,96

8,75

8,54

8,42

8,33

8,16

8,12

8,04

7,96

7,90

11

23,6

16,4

13,6

12,2

11,2

10,6

10,1

9,76

9,48

9,24

9,04

8,88

8,52

8,14

7,94

7,75

7,55

7,43

7,35

7,18

7,14

7,06

6,98

6,93

12

22,2

15,3

12,7

11,2

10,4

9,74

9,28

8,94

8,66

8,43

8,24

8,08

7,74

7,37

7,18

7,00

6,80

6,68

6,61

6,45

6,41

6,33

6,25

6,20

15

19,5

13,2

10,8

9,48

8,66

8,10

7,6 8

7,36

7,11

6,91

6,75

6,60

6,27

5,93

5,75

5,58

5,40

5,29

5,21

5,06

5,02

4,94

4,87

4,83

20

17,2

11,4

9,20

8,02

7,28

6,76

6,38

6,08

5,85

5,66

5,51

5,38

5,07

4,75

4,58

4,42

4,24

4,15

4,07

3,93

3,90

3,82

3,75

3,70

24

16,2

10,6

8,52

7,39

6,68

6,18

5,82

5,54

5,31

5,13

4,98

4,85

4,55

4,25

4,09

3,93

3,76

3,66

3,59

3,44

3,41

3,33

3,27

3,22

30

15,2

9,90

7,90

6,82

6,14

5,66

5,31

5,04

4,82

4,65

4,51

4,38

4,10

3,80

3,65

3,48

3,32

3,22

3,15

3,00

2,97

2,89

2,82

2,78

40

14,4

9,25

7,33

6,30

5,64

5,19

4,85

4,59

4,38

4,21

4,07

3,95

3,68

3,39

3,24

3,08

2,92

2,82

2,74

2,60

2,57

2,49

2,41

2,37

60

13,6

8,65

6,81

5,32

5,20

4,76

4,44

4,18

3,98

3,82

3,69

3,57

3,30

3,02

2,87

2,71

2,55

2,45

2,38

2,23

2,19

2,11

2,03

1,98

120

12,8

8,10

6,34

5,39

4,79

4,37

4,07

3,82

3,63

3,47

3,34

3,22

3,96

2,67

2,53

2,38

2,21

2,11

2,01

1,88

1,84

1,75

1,67

1,60

¥

12,1

7,60

5,91

5,00

4,42

4,02

3,72

3,48

3,30

3,14

3,02

2,90

2,65

2,37

2,22

2,07

1,91

1,79

1,71

1,53

1,48

1,36

1,22

1,00

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.5 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,995

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,995 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

¥

1

16211

20000

21615

22500

23056

23437

23715

23925

24091

24224

24426

24630

24836

24940

25044

25148

25253

25359

25465

2

198,50

199,00

199,17

199,25

199,30

199,33

199,36

199,37

199,39

199,40

199,42

199,43

199,45

199,46

199,47

199,47

199,48

199,49

199,51

3

55,552

49,799

47,467

46,195

45,392

44,838

44,434

44,126

43,882

43,686

43,387

43,085

42,778

42,622

42,466

42,308

42,149

41,989

41,829

4

31,333

26,284

24,259

23,155

22,456

21,975

21,622

21,352

21,139

20,967

20,705

20,438

20,167

20,030

19,892

19,752

19,611

19,468

19,325

5

22,785

18,314

16,530

15,556

14,940

14,513

14,200

13,961

13,772

13,618

13,384

13,146

12,903

12,780

12,656

12,530

12,402

12,274

12,144

6

18,635

14,544

12,917

12,028

11,464

11,073

10,786

10,566

10,391

10,250

10,034

9,8140

9,5888

9,4741

9,3583

9,2408

9,1219

9,0015

8,8793

7

16,236

12,404

10,882

10,050

9,5221

9,1554

8,8854

8,6781

8,5138

8,3803

8,1764

7,9678

7,7540

7,6450

7,5345

7,4225

7,3088

7,1933

7,0760

8

14,688

11,042

9,5965

8,8051

8,3018

7,9520

7,6942

7,4960

7,3386

7,2107

7,0149

6,8143

6,6082

6,5029

6,3961

6,2875

6,1772

6,0649

5,9505

9

13,614

10,107

8,7171

7,9559

7,4711

7,1338

6,8849

6,6933

6,5411

6,4171

6,2274

6,0325

5,8318

5,7292

5,6248

5,5186

5,4104

5,3001

5,1875

10

12,826

9,4270

8,0807

7,3428

6,8723

6,5446

6,3025

6,1159

5,9676

5,8467

5,6613

5,4707

5,2740

5,1732

5,0705

4,9659

4,8592

4,7501

4,6385

11

12,226

8,9122

7,6004

6,8809

6,4217

6,1015

5,8648

5,6821

5,5368

5,4182

5,2363

5,0489

4,8552

4,7557

4,6543

4,5508

4,4450

4,3367

4,2256

12

11,754

8,5096

7,2258

6,5211

6,0711

5,7570

5,5245

5,3451

5,2021

5,0855

4,9063

4,7214

4,5299

4,4315

4,3309

4,2282

4,1229

4,0149

3,9039

13

11,374

8,1865

6,9257

6,2335

5,7910

5,4819

5,2529

5,0761

4,9351

4, 8199

4,6429

4,4600

4,2703

4,1726

4,0727

3,9704

3,8665

3,7577

3,6465

14

11,060

7,9216

6,6803

5,9984

5,5623

5,2574

5,0313

4,8566

4,7173

4,6034

4,4281

4,2468

4,0585

3,9614

3,8619

3,7600

3,6553

3,5473

3,4359

15

10,798

7,7008

6,4760

5,8029

5,3721

5,0708

4,8473

4,6743

4,5364

4,4236

4,2498

4,0698

3,8826

3,7859

3,6867

3,5850

3,4803

3,3722

3,2602

16

10,575

7,5138

6,3034

5,6378

5,2117

4,9134

4,6920

4,5207

4,3838

4,2719

4,0994

3,9205

3,7342

3,6378

3,5388

3,4372

3,3324

3,2240

3,1115

17

10,384

7,3536

6,1556

5,4967

5,0746

4,7789

4,5594

4,3893

4,2535

4,1423

3,9709

3,7929

3,6073

3,5112

3,4124

3,3107

3,2058

3,0971

2,9839

18

10,218

7,2148

6,0277

5,3746

4,9560

4,6627

4,4448

4,2759

4,1410

4,030 5

3,8599

3,6827

3,4977

3,4017

3,3030

3,2014

3,0962

2,9871

2,8732

19

10,073

7,0935

5,9161

5,2681

4,8526

4,5614

4,3448

4,1770

4,0428

3,9329

3,7631

3,5866

3,4020

3,3062

3,2075

3,1058

3,0004

2, 8908

2,7762

20

9,9439

6,9865

5,8177

5,1743

4,7616

4,4721

4,2569

4,0900

3,9564

3,8470

3,6779

3,5020

3,3178

3,2220

3,1234

3,0215

2,9159

2,8058

2,6904

21

9,8295

6,8914

5,7304

5,0911

4,6808

4,3931

4,1789

4,0128

3,8799

3,7709

3,6024

3,4270

3,2431

3,1474

3,0488

2,9467

2,8408

2,7302

2,6140

22

9,7271

6,8064

5,6524

5,0168

4,6088

4,3225

4,1094

3,9440

3,8116

3,7030

3,5350

3,3600

3,1764

3,0807

2,9821

2,8799

2,7736

2,6625

2,5455

23

9,6348

6,7300

5,5823

4,9500

4,5441

4,2591

4,0469

3,8822

3,7502

3,6420

3,4745

3,2999

3,1165

3,0208

2,9221

2,8198

2,7132

2,6016

2,4837

24

9,5513

6,6609

5,5190

4,8898

4,4857

4,2019

3,9905

3,8264

3,6949

3,5870

3,4199

3,2456

3,0624

2,9667

2,8679

2,7654

2,6585

2,5463

2,4276

25

9,4753

6,5982

5,4615

4,8351

4,4327

4,1500

3,9394

3,7758

3,6447

3,5370

3,3704

3,1963

3,0133

2,9176

2,8187

2,7160

2,6088

2,4960

2,3765

26

9,4059

6,5409

5,4091

4,7852

4,3844

4,1027

3,8928

3,7297

3,5989

3,4916

3,3252

3,1515

2,9685

2,8728

2,7738

2,6709

2,5633

2,4501

2,3297

27

9,3423

6,4885

5,3611

4,7396

4,3402

4,0594

3,8501

3,6875

3,5571

3,4499

3,2839

3,1104

2,9275

2,8318

2,7327

2,6296

2,5217

2,4079

2,2867

28

9,2838

6,4403

5,3170

4,6977

4,2996

4,0197

3,8110

3,6487

3,5186

3,4117

3,2460

3,0727

2,8899

2,7941

2,6949

2,5916

2,4834

2,3690

2,2469

29

9,2297

6,3958

5,2764

4,6591

4,2622

3,9830

3,7749

3,6130

3,4832

3,3765

3,2111

3,0379

2,8551

2,7594

2,6601

2,5565

2,4479

2,3331

2,2102

30

9,1797

6,3547

5,2388

4,6233

4,2276

3,9492

3,7416

3,5801

3,4505

3,3440

3,1787

3,0057

2,8230

2,7272

2,6278

2,5241

2,4151

2,2998

2,1760

40

8,8278

6,0664

4,9759

4,3738

3,9860

3,7129

3,5088

3,3498

3,2220

3,1167

2,9531

2,7811

2,5984

2,5020

2,4015

2,2958

2,1838

2,0635

1,9318

60

8,4946

5,7950

4,7290

4,1399

3,7600

3,4918

3,2911

3,1344

3,0083

2,9042

2,7419

2,5705

2,3872

2,2898

2,1874

2,0789

1,9622

1,8341

1,6885

120

8,1790

5,5393

4,4973

3,9207

3,5482

3,2849

3,0874

2,9330

2,8083

2,7052

2,5439

2,3727

2,1881

2,0890

1,9839

1,8709

1,7469

1,6055

1,4311

¥

7,8794

5,2983

4,2794

3,7151

3,3499

3,0913

2,8968

2,7444

2,6210

2,5188

2,3583

2,1868

1,9998

1,8983

1,7891

1,6691

1,5325

1,3637

1,0000

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.6 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,9

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,9 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9


10

12

15

20

24

30

40

60

120

¥

1

39,864

49,500

53,593

55,833

57,241

58,204

58,906

59,439

59,858

60,195

60,705

61,220

61,740

62,002

62,265

62,529

62,794

63,061

63,328

2

8,5263

9,0000

9,1618

9,2434

9,2926

9,3255

9,3491

9,3668

9,3805

9,3916

9,4081

9,4247

9,4413

9,4496

9,4579

9,4663

9,4746

9,4829

9,4913

3

5,5383

5,4624

5,3908

5,3427

5,3092

5,2847

5,2662

5,2517

5,2400

5,2304

5,2156

5,2003

5,1845

5,1764

5,1681

5,1597

5,1512

5,1425

5,1337

4

4,5448

4,3246

4,1908

4,1073

4,0506

4,0098

3,9790

3,9549

3,9357

3,9199

3,8955

3,S703

3,8443

3,8310

3,8174

3,8036

3,7896

3,7753

3,7607

5

4,0604

3,7797

3,6195

3,5202

3,4530

3,4045

3,3679

3,3393

3,3163

3,2974

3,2682

3,2380

3,2067

3,1905

3,1741

3,1573

3,1402

3,1228

3,1050

6

3,7760

3,4633

3,2888

3,1808

3,1075

3,0546

3,0145

2,9830

2,9577

2,9369

2,9047

2,8712

2,8363

2,8183

2,8000

2,7812

2,7620

2,7423

2,7222

7

3,5894

3,2574

3,0741

2,9605

2,8833

2,8274

2,7849

2,7516

2,7247

2,7025

2,6681

2,6322

2,5947

2,5753

2,5555

2,5351

2,5142

2,4928

2,4708

8

3,4579

3,1131

2,9238

2,8064

2,7265

2,6683

2,6241

2,5893

2,5612

2,5380

2,5020

2,4642

2,4246

2,4041

2,3830

2,3614

2,3391

2,3162

2,2926

9

3,3603

3,0065

2,8129

2,6927

2,6106

2,5509

2,5053

2,4694

2,4403

2,4163

2,3789

2,3396

2,2983

2,2768

2,2547

2,2320

2,2085

2,1843

2,1592

10

3,2850

2,9245

2,7277

2,6053

2,5216

2,4606

2,4140

2,3772

2,3473

2,3226

2,2841

2,2435

2,2007

2,1784

2,1554

2,1317

2,1072

2,0818

2,0554

11

3,2252

2,8595

2,6602

2,5362

2,4512

2,3891

2,3416

2,3040

2,2735

2,2482

2,2087

2,1671

2,1230

2,1000

2,0762

2,0516

2,0261

1,9997

1,9721

12

3,1765

2,8068

2,6055

2,4801

2,3940

2,3310

2,2828

2,2446

2,2135

2,1878

2,1474

2,1049

2,0597

2,0360

2,0115

1,9861

1,9597

1,9323

1,9036

13

3,1362

2,7632

2,5603

2,4337

2,3467

2,2830

2,2341

2,1953

2,1638

2,1376

2,0966

2,0532

2,0070

1,9827

1,9576

1,9315

1,9043

1,8759

1,8462

14

3,1022

2,7265

2,5222

2,3947

2,3069

2,2426

2,1931

2,1539

2,1220

2,0954

2,0537

2,0095

1,9625

1,9377

1,9119

1,8852

1,8572

1,8280

1,7973

15

3,0732

2,6952

2,4898

2,3614

2,2730

2,2081

2,1582

2,1185

2,0862

2,0593

2,0171

1,9722

1,9243

1,8990

1,8728

1,8454

1,8168

1,7867

1,7551

16

3,0481

2,6682

2,4618

2,3327

2,2438

2,1783

2,1280

2,0880

2,0553

2,0281

1,9854

1,9399

1,8913

1,8656

1,8388

1,8108

1,7816

1,7507

1,7182

17

3,0262

2,6446

2,4374

2,3077

2,2183

2,1524

2,1017

2,0613

2,0284

2,0009

1,9577

1,9117

1,8624

1,8362

1,8090

1,7805

1,7506

1,7191

1,6856

18

3,0070

2,6239

2,4160

2,2858

2,1958

2,1296

2,0785

2,0379

2,0047

1,9770

1,9333

1,8 868

1,8368

1,8103

1,7827

1,7537

1,7232

1,6910

1,6567

19

2,9899

2,6056

2,3970

2,2663

2,1760

2,1094

2,0580

2,0171

1,9836

1,9557

1,9117

1,8647

1,8142

1,7873

1,7592

1,7298

1,6988

1,6659

1,6308

20

2,9747

2,5893

2,3801

2,2489

2,1582

2,0913

2,0397

1,9985

1,9649

1,9367

1,8924

1,8449

1,7938

1,7667

1,7382

1,7083

1,6768

1,6433

1,6074

21

2,9609

2,5746

2,3649

2,2333

2,1423

2,0751

2,0232

1,9819

1,9480

1,9197

1,8750

1,8272

1,7756

1,7481

1,7193

1,6890

1,6569

1,6228

1,5862

22

2,9486

2,5613

2,3512

2,2193

2,1279

2,0605

2,0084

1,9668

1,9327

1,9043

1,8593

1,8111

1,7590

1,7312

1,7021

1,6714

1,6389

1,6042

1,5668

23

2,9374

2,5493

2,3387

2,2065

2,1149

2,0472

1,9949

1,9531

1,9189

1,8903

1,8450

1,7964

1,7439

1,7159

1,6864

1,6554

1,6224

1,5871

1,5490

24

2,9271

2,5383

2,3274

2,1949

2,1030

2,0351

1,9826

1,9407

1,9063

1,3775

1,8319

1,7831

1,7302

1,7019

1,6721

1,6407

1,6073

1,5715

1,5327

25

2,9177

2,5283

2,3170

2,1843

2,0922

2,0241

1,9714

1,9292

1,8947

1,8658

1,8200

1,7708

1,7175

1,6890

1,6589

1,6272

1,5934

1,5570

1,5176

26

2,9091

2,5191

2,3075

2,1745

2,0822

2,0139

1,9610

1,9188

1,8841

1,8550

1,8090

1,7596

1,7059

1,6771

1,6468

1,6147

1,5805

1,5437

1,5036

27

2,9012

2,5106

2,2987

2,1655

2,0730

2,0045

1,9515

1,9091

1,8743

1,8451

1,7989

1,7492

1,6951

1,6662

1,6356

1,6032

1,5686

1,5313

1,4906

28

2,8939

2,5028

2,2906

2,1571

2,0645

1,9959

1,9427

1,9001

1,8652

1,8359

1,7895

1,7395

1,6852

1,6560

1,6252

1,5925

1,5575

1,5198

1,4784

29

2,8871

2,4955

2,2831

2,1494

2,0566

1,9878

1,9345

1,8918

1,8568

1,8274

1,7808

1,7306

1,6759

1,6465

1,6155

1,5825

1,5472

1,5090

1,4670

30

2,8807

2,4887

2,2761

2,1422

2,0492

1,9803

1,9269

1,8841

1,8490

1,8195

1,7727

1,7223

1,6673

1,6377

1,6065

1,5732

1,5376

1,4989

1,4564

40

2,8354

2,4404

2,2261

2,0909

1,9968

1,9269

1,8725

1,8289

1,7929

1,7627

1,7146

1,6624

1,6052

1,5741

1,5411

1,5056

1,4672

1,4248

1,3769

60

2,7914

2,3933

2,1774

2,0410

1,9457

1,8747

1,8194

1,7748

1,7380

1,7070

1,6574

1,6034

1,5435

1,5107

1,4755

1,4373

1,3952

1,3476

1,2915

120

2,7478

2,3473

2,1300

1,9923

1,8959

1,8238

1,7675

1,7220

1,6843

1,6524

1,6012

1,5450

1,4821

1,4472

1,4094

1,3676

1,3203

1,2646

1,1926

¥

2,7055

2,3026

2,0838

1,9449

1,8473

1,7741

1,7167

1,6702

1,6315

1,5987

1,5458

1,4871

1,4206

1,3832

1,3419

1,2951

1,2400

1,1686

1,0000

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.7- КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,95

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,95 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

30

40

60

120

¥

1

161,45

199,50

215,71

224,58

230,16

233,99

236,77

238,88

240,54

241,88

243,91

245,95

248,01

249,05

250,09

251,14

252,20

253,25

254,32

2

18,513

19,000

19,164

19,247

19,296

19,330

19,353

19,371

19,385

19,396

19,413

19,429

19,446

19,454

19,462

19,471

19,479

19,487

19,496

3

10,128

9,5521

9,2766

9,1172

9,0135

8,9406

8,8868

8,8452

8,8123

8,7855

8,7446

8,7029

8,6602

8,6385

8,6166

8,5944

8,5720

8,5494

8,5265

4

7,7086

6,9443

6,5914

6,3883

6,2560

6,1631

6,0942

6,0410

5,9988

5,9644

5,9117

5,8578

5,8025

5,7744

5,7459

5,7170

5,6878

5,6581

5,6281

5

6,6079

5,7861

5,4095

5,1922

5,0503

4,9503

4,8759

4,8183

4,7725

4,7351

4,6777

4,6188

4,5581

4,5272

4,4957

4,4638

4,4314

4,3984

4,3650

6

5,9874

5,1433

4,7571

4,5337

4,3874

4,2839

4,2066

4,1468

4,0990

4,0600

3,9999

3,9381

3,8742

3,8415

3,8082

3,7743

3,7398

3,7047

3,6688

7

5,5914

4,7374

4,3468

4,1203

3,9715

3,8660

3,7870

3,7257

3,6767

3,6365

3,5747

3,5108

3,4445

3,4105

3,3758

3,3404

3,3043

3,2674

3,2298

8

5,3177

4,4590

4,0662

3,8378

3,6875

3,5806

3,5005

3,4381

3,3881

3,3472

3,2840

3,2184

3,1503

3,1152

3,0794

3,0428

3,0053

2,9669

2,9276

9

5,1174

4,2565

3,8626

3,6331

3,4817

3,3738

3,2927

3,2296

3,1789

3,1373

3,0729

3,0061

2,9365

2,9005

2,8637

2,8259

2,7872

2,7475

2,7067

10

4,9646

4,1028

3,7083

3,4780

3,3258

3,2172

3,1355

3,0717

3,0204

2,9782

2,9130

2,8450

2,7740

2,7372

2,6996

2,6609

2,6211

2,5801

2,5379

11

4,8443

3,9823

3,5874

3,3567

3,2039

3,0946

3,0123

2,9480

2,8962

2,8536

2,7876

2,7186

2,6464

2,6090

2,5705

2,5309

2,4901

2,4480

2,4045

12

4,7472

3,8853

3,4903

3,2592

3,1059

2,9961

2,9134

2,8486

2,7964

2,7534

2,6866

2,6169

2,5436

2,5055

2,4663

2,4259

2,3842

2,3410

2,2962

13

4,6672

3,8056

3,4105

3,1791

3,0254

2,9153

2,8321

2,7669

2,7144

2,6710

2,6037

2,5331

2,4589

2,4202

2,3803

2,3392

2,2966

2,2524

2,2064

14

4,6001

3,7389

3,3439

3,1122

2,9582

2,8477

2,7642

2,6987

2,6458

2,6021

2,5342

2,4630

2,3879

2,3487

2,3082

2,2664

2,2230

2,1778

2,1307

15

4,5431

3,6823

3,2874

3,0556

2,9013

2,7905

2,7066

2,6408

2,5876

2,5437

2,4753

2,4035

2,3275

2,2878

2,2468

2,2043

2,1601

2,1141

2,0658

16

4,4940

3,6337

3,2389

3,0069

2,8524

2,7413

2,6572

2,5911

2,5377

2,4935

2,4247

2,3522

2,2756

2,2354

2,1938

2,1507

2,1058

2,0589

2,0096

17

4,4513

3,5915

3,1968

2,9647

2,8100

2,6987

2,6143

2,5480

2,4943

2,4499

2,3807

2,3077

2,2304

2,1898

2,1477

2,1040

2,0584

2,0107

1,9604

18

4,4139

3,5546

3,1599

2,9277

2,7729

2,6613

2,5767

2,5102

2,4563

2,4117

2,3421

2,2686

2,1906

2,1497

2,1071

2,0629

2,0166

1,9681

1,9168

19

4,3808

3,5219

3,1274

2,8951

2,7401

2,6283

2,5435

2,4768

2,4227

2,3779

2,3080

2,2341

2,1555

2,1141

2,0712

2,0264

1,9796

1,9302

1,8780

20

4,3513

3,4928

3,0984

2,8661

2,7109

2,5990

2,5140

2,4471

2,3928

2,3479

2,2776

2,2033

2,1242

2,0825

2,0391

1,9938

1,9464

1,8963

1,8432

21

4,3248

3,4668

3,0725

2,8401

2,6848

2,5727

2,4876

2,4205

2,3661

2,3210

2,2504

2,1757

2,0960

2,0540

2,0102

1,9645

1,9165

1,8657

1,8117

22

4,3009

3,4434

3,0491

2,8167

2,6613

2,5491

2,4638

2,3965

2,3419

2,2967

2,2258

2,1508

2,0707

2,0283

1,9842

1,9380

1,8895

1,8380

1,7831

23

4,2793

3,4221

3,0280

2,7955

2,6400

2,5277

2,4422

2,3748

2,3201

2,2747

2,2036

2,1282

2,0476

2,0050

1,9605

1,9139

1,8649

1,8128

1,7570

24

4,2597

3,4028

3,0088

2,7763

2,6207

2,5082

2,4226

2,3551

2,3002

2,2547

2,1834

2,1077

2,0267

1,9838

1,9390

1,8920

1,8424

1,7897

1,7331

25

4,2417

3,3852

2,9912

2,7587

2,6030

2,4904

2,4047

2,3371

2,2821

2,2365

2,1649

2,0889

2,0075

1,9643

1,9192

1,8718

1,8217

1,7684

1,7110

26

4,2252

3,3690

2,9751

2,7426

2,5868

2,4741

2,3883

2,3205

2,2655

2,2197

2,1479

2,0716

1,9898

1,9464

1,9010

1,8533

1,8027

1,7488

1,6906

27

4,2100

3,3541

2,9604

2,7278

2,5719

2,4591

2,3732

2,3053

2,2501

2,2043

2,1323

2,0558

1,9736

1,9299

1,8842

1,8361

1,7851

1,7307

1,6717

28

4,1960

3,3404

2,9467

2,7141

2,5581

2,4453

2,3593

2,2913

2,2360

2,1900

2,1179

2,0411

1,9586

1,9147

1,8687

1,8203

1,7689

1,7138

1,6541

29

4,1830

3,3277

2,9340

2,7014

2,5454

2,4324

2,3463

2,2782

2,2229

2,1768

2,1045

2,0275

1,9446

1,9005

1,8543

1,8055

1,7537

1,6981

1,6377

30

4,1709

3,3158

2,9223

2,6896

2,5336

2,4205

2,3343

2,2662

2,2107

2,1646

2,0921

2,0148

1,9317

1,8874

1,8409

1,7918

1,7396

1,6835

1,6223

40

4,0848

3,2317

2,8387

2,6060

2,4459

2,3359

2,2400

2,1802

2,1240

2,0772

2,0035

1,9245

1,8389

1,7929

1,7444

1,6928

1,6373

1,5766

1,5089

60

4,0012

3,1504

2,7581

2,5252

2,3683

2,2540

2,1665

2,0970

2,0401

1,9926

1,9174

1,8364

1,7480

1,7001

1,6491

1,5943

1,5343

1,4673

1,3893

120

3,9201

3,0718

2,6802

2,4472

2,2900

2,1750

2,0867

2,0164

1,9588

1,9105

1,8337

1,7505

1,6587

1,6084

1,5543

1,4952

1,4290

1,3519

1,2539

¥

3,8415

2,9957

2,6049

2,3719

2,2141

2,0986

2,0096

1,9384

1,8799

1,8307

1,7522

1,6664

1,5705

1,5173

1,4591

1,3940

1,3180

1,2214

1,0000

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.8 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,975

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,975 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

15

20

24

30

40

60

120

¥

1

647,79

799,50

864,16

899,58

921,85

937,11

948,22

956,66

963,28

968,63

976,71

984,87

993,10

997,25

1001,4

1005,6

1009,8

1014,0

1018,3

2

38,506

39,000

39,165

39,248

39,298

39,331

39,355

39,373

39,387

39,398

39,415

39,431

39,448

39,456

39,465

39,473

39,481

39,490

39,498

3

17,443

16,044

15,439

15,101

14,885

14,735

14,624

14,540

14,473

14,419

14,337

14,253

14,167

14,124

14,081

14,037

13,992

13,947

13,902

4

12,218

10,649

9,9792

9,6045

9,3645

9,1973

9,0741

8,9796

8,9047

8,8439

8,7512

8,6565

8,5599

8,5109

8,4613

8,4111

8,3604

8,3092

8,2573

5

10,007

8,4336

7,7636

7,3879

7,1464

6,9777

6,8531

6,7572

6,6810

6,6192

6,5246

6,4227

6,3285

6,2780

6,2269

6,1751

6,1225

6,0693

6,0153

6

8,8131

7,2598

6,5988

6,2272

5,9876

5,8197

5,6955

5,5996

5,5234

5,4613

5,3662

5,2687

5,1684

5,1172

5,0652

5,0125

4,9589

4,9045

4,8491

7

8,0727

6,5415

5,8898

5,5226

5,2852

5,1186

4,9949

4,8994

4,8232

4,7611

4,6658

4,5678

4,4667

4,4150

4,3624

4,3089

4,2544

4,1989

4,1423

8

7,5709

6,0595

5,4160

5,0526

4,8173

4,6517

4,5286

4,4332

4,3572

4,2951

4,1997

4,1012

3,9995

3,9472

3,8940

3,8398

3,7844

3,7279

3,6702

9

7,2093

5,7147

5,0781

4,7181

4,4844

4,3197

4,1971

4,1020

4,0260

3,9639

3,8682

3,7694

3,6669

3,6142

3,5604

3,5055

3,4493

3,3918

3,3329

10

6,9367

5,4564

4,8256

4,4683

4,2361

4,0721

3,9498

3,8549

3,7790

3,7168

3,6209

3,5217

3,4186

3,3654

3,3110

3,2554

 3,1984

3,1399

3,0798

11

6,7241

5,2559

4,6300

4,2751

4,0440

3,8807

3,7586

3,6638

3,5879

3,5257

3,4296

3,3299

3,2261

3,1725

3,1176

3,0613

3,0035

2,9441

2,8828

12

6,5538

5,0959

4,4742

4,1212

3,8911

3,7283

3,6065

3,5118

3,4358

3,3736

3,2773

3,1772

3,0728

3,0187

2,9633

2,9063

2,8478

2,7874

2,7249

13

6,4143

4,9653

4,3472

3,9959

3,7667

3,6043

3,4827

,3,3880

3,3120

3,2497

3,1532

3,0527

2,9477

2,8932

2,8373

2,7797

2,7204

2,6590

2,5955

14

6,2979

4,8567

4,2417

3,8919

3,6634

3,5014

3,3799

3,2853

3,2093

3,1469

3,0501

2,9493

2,8437

2,7888

2,7324

2,6742

2,6142

2,5519

2,4872

15

6,1995

4,7650

4,1528

3,8043

3,5764

3,4147

3,2934

3,1987

3,1227

3,0602

2,9633

2,8621

2,7551

2,7006

2,6437

2,5850

2,5242

2,4611

2,3953

16

6,1151

4,6867

4,0768

3,7294

3,5021

3,3406

3,2194

3,1248

3,0488

2,9862

2,8890

2,7875

2,6808

2,6252

2,5678

2,5085

2,4471

2,3831

2,3163

17

6,0420

4,6189

4,0112

3,6648

3,4379

3,2767

3,1556

3,0610

2,9849

2,9222

2,8249

2,7230

2,6158

2,5598

2,5021

2,4422

2,3801

2,3153

2,2474

18

5,9781

4,5597

3,9539

3,6083

3,3820

3,2209

3,0999

3,0053

2,9291

2, S664

2,7689

2,6667

2,5590

2,5027

2,4445

2,3842

2,3214

2,2558

2,1869

19

5,9216

4,5075

3,9034

3,5587

3,3327

3,1718

3,0509

2,9563

2,8800

2,8173

2,7196

2,6171

2,5089

2,4523

2,3937

2,3329

2,2695

2,2032

2,1333

20

5,8715

4,4613

3,8587

3,5147

3,2891

3,1283

3,0074

2,9128

2,8365

2,7737

2,6758

2,5731

2,4645

2,4076

2,3486

2,2873

2,2234

2,1562

2,0853

21

5,8266

4,4199

3,8188

3,4754

3,2501

3,0895

2,9686

2,8740

2,7977

2,7348

2,6368

2,5338

2,4247

2,3675

2,3082

2,2465

2,1819

2,1141

2,0422

22

5,7863

4,3828

3,7829

3,4401

3,2151

3,0546

2,9338

2,8392

2,7628

2,6998

2,6017

2,4984

2,3890

2,3315

2,2718

2,2097

2,1446

2,0760

2,0032

23

5,7498

4,3492

3,7505

3,4083

3,1835

3,0232

2,9024

2,8077

2,7313

2,6682

2,5699

,2,4665

2,3567

2,2989

2,2389

2,1763

2,1107

2,0415

1,9677

24

5,7167

4,3187

3,7211

3,3794

3,1548

3,9946

2,8738

2,7791

2,7027

2,6396

2,5412

2,4374

2,3273

2,2693

2,2090

2,1460

2,0799

2,0099

1,9353

25

5,6864

4,2909

3,6943

3,3530

3,1287

2,9685

2,8478

2,7531

2,6766

2,6135

2,5149

2,4110

2,3005

2,2422

2,1816

2,1183

2,0517

1,9811

1,9055

26

5,6586

4,2655

3,6697

3,3289

3,1048

2,9447

2,8240

2,7293

2,6528

2,5895

2,4909

2,3867

2,2759

2,2174

2,1565

2,0928

2,0257

1,9545

1,8781

27

5,6331

4,2421

3,6472

3,3067

3,0828

2,9228

2,8021

2,7074

2,6309

2,5676

2,4688

2,3644

2,2533

2,1946

2,1334

2,0693

2,0018

1,9299

1,8527

28

5,6096

4,2205

3,6264

3,2863

3,0625

2,9027

2,7820

2,6872

2,6106

2,5473

2,4484

2,3438

2,2324

2,1735

2,1121

2,0477

1,9796

1,9072

1,8291

29

5,5878

4,2006

3,6072

3,2674

3,0438

2,8840

2,7633

2,6686

2,5919

2,5286

2,4295

2,3248

2,2131

2,1540

2,0923

2,0276

1,9591

1,8861

1,8072

30

5,5675

4,1821

3,5894

3,2499

3,0265

2,8667

2,7460

2,6513

2,5746

2,5112

2,4120

2,3072

2,1952

2,1359

2,0739

2,0089

1,9400

1,8664

1,7867

40

5,4239

4,0510

3,4633

3,1261

2,9037

2,7444

2,6238

2,5289

2,4519

2,3382

2,2882

2,1819

2,0677

2,0069

1,9429

1,8752

1,8028

1,7242

1,6371

60

5,2857

3,9253

3,3425

3,0077

2,7863

2,6274

2,5068

2,4117

2,3344

2,2702

2,1692

2,0613

1,9445

1,8817

1,8152

1,7440

1,6668

1,5810

1,4822

120

5,1524

3,8046

3,2270

2,8943

2,6740

2,5154

2,3948

2,2994

2,2217

2,1570

2,0548

1,9450

1,8249

1,7597

1,6899

1,6141

1,5299

1,4327

1,3104

¥

5,0239

3,6889

3,1161

2,7858

2,5665

2,4082

2,2875

2,1918

2,1136

2,0483

1,9447

1,3326

1,7085

1,6402

1,5660

1,4835

1,3883

1,2684

1,0000

(Измененная редакция, Изм. № 1).

ТАБЛИЦА Г.9 - КВАНТИЛИ F -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,99

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,99 для степени свободы v1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

30

40

60

120

¥

1

4052,2

4999,5

5403,3

5624,6

5763,7

5859,0

5928,3

5981,1

6022,5

6055,8

6106,3

6157,3

6208,7

6234,6

6260,7

6286,8

6313,0

6339,4

6366,0

2

98,503

99,000

99,166

99,249

99,299

99,332

99,356

99,374

99,388

99,399

99,416

99,432

99,449

99,458

99,466

99,474

99,483

99,491

99,499

3

34,116

30,817

29,457

28,710

28,237

27,911

27,672

27,489

27,345

27,229

27,052

26,872

26,690

26,598

26,505

26,411

26,316

26,221

26,125

4

21,198

18,000

16,694

15,977

15,522

15,207

14,976

14,799

14,659

14,546

14,374

14,198

14,020

13,929

13,838

13,745

13,652

13,558

13,463

5

16,258

13,274

12,060

11,392

10,967

10,672

10,456

10,289

10,158

10,051

9,8883

9,7222

9,5527

9,4665

9,3793

9,2912

9,2020

9,1118

9,0204

6

13,745

10,925

9,7795

9,1483

8,7459

8,4661

8,2600

8,1016

7,9761

7,8741

7,7183

7,5590

7,3958

7,3127

7,2285

7,1432

7,0568

6,9690

6,8861

7

12,246

9,5466

8,4513

7,8467

7,4604

7,1914

6,9928

6,8401

6,7188

6,6201

6,4691

6,3143

6,1554

6,0743

5,9921

5,9084

5,8236

5,7372

5,6495

8

11,259

8,6491

7,5910

7,0060

6,6318

6,3707

6,1776

6,0289

5,9106

5,8143

5,6668

5,5151

5,3591

5,2793

5,1981

5,1156

5,0316

4,9460

4,8588

9

10,561

8,0215

6,9919

6,4221

6,0569

5,8018

5,6129

5,4671

5,3511

5,2565

5,1114

4,9621

4,8080

4,7290

4,6486

4,5667

4,4831

4,3978

4,3105

10

10,044

7,5594

6,5523

5,9943

5,6363

5,3858

5,2001

5,0567

4,9424

4,8492

4,7059

4,5582

4,4054

4,3269

4,2469

4,1653

4,0819

3,9965

3,9090

11

9,6460

7,2057

6,2167

5,6683

5,3160

5,0692

4,8861

4,7445

4,6315

4,5393

4,3974

4,2509

4,0990

4,0209

3,9411

3,8596

3,7761

3,6904

3,6025

12

9,3302

6,9266

5,9526

5,4119

5,0643

4,8206

4,6395

4,4994

4,3875

4,2961

4,1553

4,0096

3,8584

3,7805

3,7008

3,6192

3,5355

3,4494

3,3608

13

9,0738

6,7010

5,7394

5,2053

4,8616

4,6204

4,4410

4,3021

4,1911

4,1003

3,9603

3,8154

3,6646

3,5868

3,5070

3,4253

3,3413

3,2548

3,1654

14

8,8616

6,5149

5,5639

5,0354

4,6950

4,4558

4,2779

4,1399

4,0297

3,9394

3,8001

3,6557

3,5052

3,4274

3,3476

3,2656

3,1813

3,0942

3,0040

15

8,6831

6,3589

5,4170

4,8932

4,5556

4,3183

4,1415

4,0045

3,8948

3,8049

3,6662

3,5222

3,3719

3,2940

3,2141

3,1319

3,0471

3,2995

2,8684

16

8,5310

6,2262

5,2922

4,7726

4,4374

4,2016

4,0259

3,8896

3,7804

3,6909

3,5527

3,4089

3,2588

3,1808

3,1007

3,0182

2,9330

2,8447

2,7528

17

8,3997

6,1121

5,1850

4,6690

4,3359

4,1015

3,9267

3,7910

3,6822

3,5931

3,4552

3,3117

3,1615

3,0835

3,0032

2,9205

2,8348

2,7459

2,6530

18

8,2854

6,0129

5,0919

4,5790

4,2479

4,0146

3,8406

3,7054

3,5971

3,5082

3,3706

3,2273

3,0771

2,9990

2,9185

2,8354

2,7493

2,6597

2,5660

19

8,1850

5,9259

5,0103

4,5003

4,1708

3,9386

3,7653

3,6305

3,5225

3,4338

3,2965

3,1533

3,0031

2,9249

2,8442

2,7608

2,6742

2,5839

2,4893

20

8,0960

5,8489

4,9382

4,4307

4,1027

3,8714

3,6987

3,5644

3,4567

3,3682

3,2311

3,08 80

2,9377

2,8594

2,7785

2,6947

2,6077

2,5168

2,4212

21

8,0166

5,7804

4,8740

4,3688

4,0421

3,8117

3,6396

3,5056

3,3981

3,3098

3,1729

3,0299

2,8796

2,8011

2,7200

2,6359

2,5484

2,4568

2,3603

22

7,9454

5,7190

4,8166

4,3134

3,9880

3,7583

3,5867

3,4530

3,3458

3,2576

3,1209

2,9780

2,8274

2,7488

2,6675

2,5831

2,4951

2,4029

2,3055

23

7,8811

5,6637

4,7649

4,2635

3,9392

3,7102

3,5390

3,4057

3,2986

3,2106

3,0740

2,9311

2,7805

2,7017

2,6202

2,5355

2,4471

2,3542

2,2559

24

7,8229

5,6136

4,7181

4,2184

3,8951

3,6667

3,4959

3,3629

3,2560

3,1681

3,0316

2,8887

2,7380

2,6591

2,5773

2,4923

2,4035

2,3099

2,2107

25

7,7698

5,5680

4,6755

4,1774

3,8550

3,6272

3,4568

3,3239

3,2172

3,1294

2,9931

2,8502

2,6993

2,6203

2,5383

2,4530

2,3637

2,2695

2,1694

26

7,7213

5,5263

4,6366

4,1400

3,8183

3,5911

3,4210

3,2884

3,1818

3,0941

2,9579

2,8150

2,6640

2,5848

2,5026

2,4170

2,3273

2,2325

2,1315

27

7,6767

5,4881

4,6009

4,1056

3,7848

3,5580

3,3882

3,2558

3,1494

3,0618

2,9256

2,7827

2,6316

2,5522

2,4699

2,3840

2,2938

2,1984

2,0965

28

7,6356

5,4529

4,5681

4,0740

3,7539

3,527(

3,3581

3,2259

3,1195

3,0320

2,8959

2,7530

2,6017

2,5223

2,4397

2,3535

2,2629

2,1670

2,0642

29

7,5976

5,4205

4,5378

4,0449

3,7254

3,4993

3,3302

3,1982

3,0920

3,0045

2,8685

2,7256

2,5742

2,4946

2,4118

2,3253

2,2344

2,1378

2,0342

30

7,5625

5,3903

4,5097

4,0179

3,6990

3,4735

3,3045

3,1726

3,0665

2,9791

2,8431

2,7002

2,5487

2,4689

2,3860

2,2992

2,2079

2,110 7

2,0062

40

7,3141

5,1785

4,3126

3,8283

3,5138

3,2910

3,1238

2,9930

2,8876

2,8005

2,6648

2,5216

2,3689

2,2880

2,2034

2,1142

2,0194

1,9172

1,8047

60

7,0771

4,9774

4,1259

3,6491

3,3389

3,1187

2,9530

2,8233

2,7185

2,6318

2,4961

2,3523

2,1978

2,1154

2,0285

1,9360

1,8363

1,7263

1,6006

120

6,8510

4,7865

3,9491

3,4796

3,1735

2,9559

2,7918

2,6629

2,5586

2,4721

2,3363

2,1915

2,0346

1,9500

1,8600

1,7628

1,6557

1,5330

1,3805

¥

6,6349

4,6052

3,7816

3,3192

3,0173

2,8020

2,6393

2,5113

2,4073

2,3209

2,1848

2,0385

1,8783

1,7908

1,6964

1,5923

1,4730

1,3246

1,0000

(Измененная редакция, Изм. № 1).


Ключевые слова: статистические методы, прикладная статистика, точечное и интервальное оценивание, проверка гипотез, нормальное распределение

Еще документы скачать бесплатно

Интересное

Автобусные Остановки Гост 12820 80 Гост 520 89 Гост 9833 73 Гост р 21 1101 2009 Гост р 6 30 2003 Железобетонные водоотбойные плиты Маршрутная карта Общий журнал работ пример заполнения Плотность газа Позиционный допуск Размеры дорожных знаков Расход топлива Расчет экономической эффективности Технологическая карта